PREMIÈRE PARTIE

$ IIT. Wéfhode pour résoudre en nombres rationnels les quations tndéterminées du second degré.

(15) Sox proposée l'équation générale ax® + bay + eo +dx ter fs, dans laquelle x et y sont des indéterminées, et 4, b, c, d, e, f des: nombres entiers donnés positifs ou négatifs; on tire d’abord de cette équation 2aù + by + d= Tr +d)—4a(o" +er+f)].

Ensuite si l’on fait, pour abréger, le radical —+t, b— 4ac—AÀ, bd—2ue=g, d'— 4af—h, on aura les deux équations 2 2ax + d—=t | AP + 2gy +h=e..

Multiplions la dernière par : 4, et faisons de nouveau 4y+g=u, g° — Ah= B ; nous aurons la transformée

w— AP = BP.

Réciproquement si on peut trouver des valeurs de x et £ qui satisfassent

à l'équation # — 4#—B, on en tirera les valeurs des indéterminées x et y de l’équation proposée, savoir :

u—=g = {—by—d JT En Dr PSE aa ne?

où l'on doit observer que w et # peuvent être pris l’un et l’autre avec le signe qu'on voudra.

.. Si on cherche la solution de l'équation proposée en nombres ration= nels, il suflira de résoudre par de tels nombres la transformée 2° —4#=B ; mais si on veut résoudre la proposée en nombres entiers , il faudra nonseulement que £ et w soient des entiers, mais que les valeurs de £ et w substituées dans celles de x et y donnent pour celles-ci des nombres entiers. Dans ce moment nous ne nous occuperons que de la-résolution en nombres rationnels, :

(16) Toute équation indéterminée du second degré peut se réduire, comme nous venons de le voir, à la forme w— 4€ — B; or quels que soient les nombres rationnels £ et w, on peut supposer qu'ils sont ré-

duits à un même dénominateur. Ainsi, en faisant u=T j (=? ; Où aura

à résoudre léquation du AY = Br,

dans laquelle maintenant x, y, 3 sont des nombres entiers.

On peut supposer que ces trois nombres n’ont pas entre eux un même commun diviseur; car s'ils en avaient un, on le ferait disparaître par la division. De même on peut supposer que les nombres Z et B n’ontaucun diviseur quarré; car si On avait, par exemple, 4=—4'k°, B=P'PF, on ferait ky=y", (37, et l'équation à résoudre deviendrait

x —Ay°—=PB'e?,

dans laquelle Z’ et B” n’ont plus de facteur quarré.

« L’équation x°— 4y°— Bz° étant ainsi préparée, on observera que deux quelconques des indéterminées x, gg ne peuvent avoir de commun diviseur; car si 8 divisait x*.et J' exemple , il faudrait qu'il divisät Bz°; or il ne peut diviser z*, puisque les trois nombres x, y, 3 nont point de commun diviseur ; il ne peut diviser non plus B, puisque B n’a aucun facteur quarré. Donc x et y sont premiers entre eux; par la même raison x et 3 le-sont, ainsi que y et z.

Je dis de plus, que À et B peuvent être supposés positifs ; car on ne peut faire à l'égard des signes des termes de notre équation, que les trois HR suivantes :

2 — AP = + Bz° x — A7 =— Br x° + Ay° = +. Bz° (J'omets la combinaison x°+ 4y°=—Bz, parce qu on voit bien qu’elle est impossible.) De ces trois combinaisons, la seconde coïncide avec la troisième par

une ‘simple transposition; or si on multiplie celle-ci par B, et qu'on fasse B:=—7, 4AB— 4", on aura

23 — À! ie —= Ba.

Donc l'équation à résoudre peut toujours étre ramenée à la forme 7, te arte PB = As,

: PREMIÈRE PARTIE. 29 dans laquelle Æ4'et B sont des nombres pos et. dégagés de tout fac-teur quarré:

(17) La méthode qe nous allons suivre pour la DEAR de cette. équation’, est celle qu’a donnée Lagrange dans les Mémoires de Berlin, année 1767 : elle consiste à opérer par des transformations la diminution successive des coefliciens À et B, jusqu'à ce que l’un de ces coefliciens soit égal à l'unité, auquel cas la solution : se déduit immédiatement des formules connues.

En effet, l'équation ainsi réduite est de la forme x*— Te en ou x°—Py* = 7° ; mais ces deux formules n’en font qu'une, et ainsril sufira d'indiquer la solution de la première x°—y°=— 427. Poe cela, décomposons 4 en deux facteurs «, 6 (lesquels seront toujours premiers entre eux, puisque À n’a pas de diviseur quarré), et imaginons que 3 soit décomposé aussi en deux facteurs p, 9, de sorte que l’on ait 4=a6, 2=—=pq, on aura l'équation (x+-y) (x —7) = «6p°q°, à laquelle on satisfera généralement, en prenant x+y=ap", x—7#==69q", ce qui donnera

: pps TT, JT, 2 =pq; de sorte que les trois imdéterminées x, y , z seront exprimées au moyen de deux autres arbitraires p et g; et s’il arrivait que les valeurs de x et de y continssent la fraction £, on multiplierait à-la-fois x,.7,2 par 2.

Telle est la solution générale de l'équation x°— y°— 42°, laquelle comprendra autant de formules particulières, qu'il y à de manières de décomposer 4 en deux-facteurs.

Par exemple, si 4=— 50, il y a quatre manières de décomposer 30 en deux facteurs, savoir: 1.30, 2.15, 3.10, 5.6, et de là résulteront ces quatre solutions de l'équation x°—7°=—30z",

1% ZX p°+30q, y p—5%$0q, 2—2pq 2. x 2p#F169, J—2p — 157"; 3— 2p 3°.: x—3p°+i0g, y = 3p° — 109, ..3—= 2p4q, &. x=5p + 67, 7 —=5p— 69, 23—2pq.

(18) Venons à l'équation générale x? — By°—42, et observons d’abord que cette équation étant la même que x°—4z°=—By°, on peut, sans diminuer la généralité, supposer que le coefficient du second membre. est le plus grand des deux. En cas d'égalité, la réduction- que nous allons indiquer aurait toujours son effet.

is THÉORIE DES NOMBRES.

Soit donc proposée l'équation x°—By°= 42, dans laquelle on sup= pose à-la-fois 4> B, 4 et B positifs et Le de tout facteur quarré.

Nous ayons déjà prouvé que x et y sont premiers entre eux; de là il suit que net-1 sont également premiers entre eux, car siy* et 4 avaient un commun diviseur 6, il faudrait que x* füt aussi divisible par 0; ainsi x*.et y” ne seraient pas premiers entre eux.

Mais puisque y et À sont premiers entre eux, Si on-suppose que l’équation proposée soit résoluble , et qu’ainsi on puisse trouver des valeurs déterminées de x etde y, telles que x— M, y=N, on pourra aussi (n° 12) satisfaire à l'équation du premier degré

M=nN— 74, dans laquelle NW, N, 4 seraient des nombres donnés, premiers entre éux, et », 7 deux imdéterminées.

Donc en général, sans connaître ces solutions particulières x—=W, Ÿÿ=N, on peut supposer x—7y — y", n et y” étant deux indéterminées, et en substituant cette valeur dans ec proposée, on aura, après avoir divisé par 4,

2—2n)y + Ay°=2.

Mais puisque y et Z sont premiers entre eux, cette équation ne peut LS

M . ‘“ . LÀ — BP . ’ ‘ « . e subsister, à moims que —— ne soit égal à un entier. Soit cet entier

— A'}3, 12 étant le plus grand quarré qui peut en être diviseur, on aura n—B—AARk, et l'équation à résoudre deviendra

A7" — onÿy + Ay° =.

Nous donnerons ci-après les moyens les plus simples pour détermi-

ner un nombre z, de mamière que = Soit un entier. Il suflit, pour

le présent, d'observer que s’il y a une valeur quelconque de 7 qui rende n°— B divisible par À, cette valeur peut être augmentée où diminuée “- d'un multiple quelconque de 4, sans que #°— B cesse d’être divisible par À; ainsi on peut supposer que la valeur dont il s’agit est comprise entre les limites o et Z/, ou même entre les limites plus étroites —+ 4 et +:4.

De là il suit, qu’en essayant successivement pour » tous les nombres entiers depuis —:4 jusqu'à + ?4, on en rencontrera nécessairement

RP ne TS in pee mins ele —S RAR |

: PREMIÈRE PARTIE. : 3x

un ou plusieurs qui rendront 2° —.B divisible par À, si toutefois l’équation est résoluble; et dans le cas où aucun de ces met ne rendrait n° — B divisible par 4, on en conclura avec ‘certitude qe l'équation proposée n’est pas olibteS

(x9) Supposons donc qu’on a trouvé üne ou plusieurs valeurs, de 7 qui aient la condition requise , 1l faudra, d’après chacune de ces 8 ;valeurs g continuer le calcul de la manière RS

Reprenons l'équation 4'Æy°—2nyy +A4y=z, si on la Jane par d'A, et qu'on fasse pour abrécët,

Aky=ny =x, k3=3, la transformée sera x'x — Byy = 4'7%.

Cette transformée serait résolue, si on connaissail la solution de l'équation proposée, puisque les ee de x’, y’, 3° se concluent facilement de celles de x, 7, z; réciproquement la proposée sera résolue, si on trouve la solution de sa transformée. Car des valeurs corinues..de.æ', #, 3° on peut également conclure celles de +, y,:5 : et ihimporte peu que celles-ci soient sous une forme entière ou .fractionnaire, puisqu'il ne s’agit que de la résolution en nombres rationnels, et qu'après avoir trouvé des valeurs quelconques fractionnaires de x, y, z, on peut les réduire au même dénominateur , et supprimer le dénominateur commun.

Puisqu’ on peut supposer de nombre <3 Ailes clair que — 5 :

TA <yB, puisqu’autrement 7*—2B serait B, et ne pourrait être divisible par 4. Donc l'équation proposée sera ramenée à une équation toute semblable, dans laquelle le coeficient 4’ qui tient lieu de Z est moindre que +4. *

ou 4’ sera 14 et en même temps positif; Car 7 ne peut étre

(20) Si on a encore 4'> B, ot pourra « sriflabI me de équation x —Py°=A4'r, déduire we. seconde transformée

LT AE #a

dans laquelle 4” sera 2 A! et toujours positif. Il n'y aura point de nouvelle condition à SE pour obtenir cette seconde transformée ;:

car ayant déjà trouvé — B

Se THÉORIE DES NOMBRES.

si on Lt n=pA' Lx) et qu’ on prenne aise [2 de manière

que x soit <2-A',il est facile de voir que — — sera un entier posi-

tif moindre que +4’; on fera en Re nt B= AA; AVétant plus petit que + 4° et ne renfermant aucun facteur quarré. S'il arrive que 4” soit encore plus grand que B, on continuera ce système de transformées ; où B est constant, jusqu'à ce qu'on en trouve une e |

x— By = Cr,

dans laquelle € sera positif et < 2.

(21) Mais après avoir fait passer dans le second membre le terme qui a le plus grand coefficient, ce qui donne

| É x*— Cz = By, on peut procéder semblablement à la réduction du CORRE B par un second système de transformées

x? —= Cr = y

Sen Ve; | etc...

dans lesquelles les coeñficiens B, B", etc. seront positifs, et diminueront suivant une raison au moins ME seu et ainsi on parviendra bientôt à une. transformée

2° == Cr = Dy°,

dans laquelle le coefficient 2 sera moindre que C.

Or la suite des nombres positifs et décroissans 4, B; C, D, etc. ne saurait aller à l'infini; elle se terminera nécessairement par l'unité, et lorsqu'on sera arrivé:a ce terme, la résolution de la dernière transformée, qui est donnée immédiatement, fera connaître celle de toutes les précédentes , et par conséquent celle de l'équation proposée.

Cette méthode n’est pas donnée ici comme la plus simple ni la plus eourte, pour arriver à la résolution effective de l'équation proposee : mais la marche qu’elle prescrit pour opérer la diminution successive des coefficiens , est très-lumineuse, et nous en déduirons bientôt un théorème général sur la possibilité des équations indéterminées du second

degré.

RS es - A — En etes ui 2 MERE À

ÉRREMIÈRE BARBIER LE & ?{29) Mest bon de prévenir une difficulté qui aurait lieu, si deux sure étaient égaux. Len

RER ENS it un

entier , il semble qu'on doit fire n—0 , et alors on aurait 44 —=251, ou A'——1, ce qui ne s'accorde pasavec la supposition qu'on fait toujours que A’.est positif. Mais cette difficulté est facile à résoudre,

G =AÂ—1,

ce qui serait la valeur de-4’k°. On voit pong que l'équation x°— 4747 aura pour transformée x *— Ay°= 43", dans laquelle 4° sera 4 et positif. On ferait de même, si dans le cours de l'opération, on trouvaut CB; où D=C/;etc.

. Cette remarque fait voir, que dans le cas de 4=B et autres semblables, la méthode n’en est pas moins applicable, et qu'ainsi elle a toute la généralité nécessaire. Au reste, le cas dont il s’agit est susceptible d’être traité d’une manière plus simple et plus directe; car si on a l'équation x°— 4y°= 47, on voit d'abord que x doit être divisible par À, ainsi on peut faire x—= Au, ce qui donnera

J+z = Au.

Dans cette équation, 3 et À sont premiers entre eux (sans quoi y et z

ne le seraient pas); ainsi on peut supposer y —723-+ 47, ce qui donnera

“Soit donc 4— =D ; dans ce cas, pour faire ensorte que

È à * La car si au lieu de prendre 7—0, on prend 2=4, on aura

PDC 2n2y" + Ay'y =.

nm +1 A EE cet entier 4’k°, 4 étant le plus grand quarré qui en est AMEN,

et j'aurai

Celle-ci ne peut subsister, à moins que

ne soit un entier, j'ap-

A'l2z + snzy + AYy =.

Multipliant de part et d'autre par 4’Æ, et faisant Æ4z5Eny =7, ku=uw, on aura zz +r7 = A'UU de sorte que l’équation proposée z°+7°— Au* sera ramenée à une

équation de même forme, dans laquelle Z’ est positif et <?4 ee Continuant ainsi de transformée en transformée, les nombres positifs

et décroissans 4, 4”, 4”, etc. auront nécessairement pour terme l'unité,

et alors la dernière équation étant résoluble immédiatement, on en déduira la solution de toutes les précédentes. Il n’y aura dans ce cas d'autre condition pour la possibilité de l'équation que la première Re , Car les autres sont une suite de celle-là.

Dans. la solution générale, au contraire, outre la première condition Th

= —e; il faut qu'à mesure qu'on passe d'un système de transfor=

mées à un autre système, on puisse satisfaire aux diverses conditions Te me Li RAT

7 €, —p 6e, et ainsi des autres. C'est ce qu'on examinera plus, particulièrement dans le $ suivant.

RL es D nr - AR nue ——én fes Yi RSS sst mines ee

PRÉMICRE PARTIE. 55

SIV. Théorème pour juger de la possibilité ou de l'impossibilité

de toute équation indéterminée du second degré.

(50 x a fait voir dans le paragraphe D écedent , que toute rs indéterminée du second dégré peut se réduire à là forme

a — By° = 4% dans laquelle Æ et B sont des nombres entiers positifs, dégagés dé jont facteur quarré, et l’on a en même temps AP; Cela posé. pour procéder : à la ol Eon. ; il faut d’abord États

— DB un nombre « plus grand que 4, tel qe - —ÿ—s0it ‘un entier. Ge

nombre étant trouvé, on one la suite d'équations :

a? — B — AA " a— B = A'A'K:

c'e — B — A'A"KY% -&tcs- L

MAG dE CAE A dpt LEA" etc.

Dans. fe, premiere , ” Le est le japotient de BD divisé par À, est le plus grand quarré qui divise À k*, énsorte .qué A ne HHEné plus que des facteurs simples, ainsi que Z ét B, ét C'est cé qu'on observera dans les autres valeurs semblables. 4’ AE détérminé, où à d' par l'équation ab pd ia ; ayant: soin de: prendre l'iidétérminée x, de manière que:d° soit <<44';(le signe <-n’'éxcluant pas l'égalité.)..2’ étant connu, æ°— B est nécessairement divisible par 4’; on désigne le quotient par 4’#?, et on continue de même à former les autres équations.

: Ad rnoyén de cés épérations, 14 suite À, 1’, 1") été. dont chaque teimre- est positif ebmomdre: que le: quart du Po ‘décroitra. d’une manière rapide; jusqu'x Ce qu'oit parvienne àuh terme A ou Cmoindre que B; et Féquation: proposéè aurx poui transformées successives les équations suivantes (où pour plus de simplicitéje laisse les-indétermi-

se ÿ :

à i a première remplir, si ce n’est la prem

nées sans gCcens) :

x — By = A4» .

a — By A" |

a — By = C2, équations Menu liées entre elles , que si on connait la solution d'une seule, on aura immédiatement celle de toutes les autres, et par conséquent. celle de l'équation proposée.

Dans ce premier système de Fine il n’y a aucune condition

Mais puisque C est Se la dernière transformée étant mise sous la forme :

PE à VER à. )

— = == By, Le il faudra, pour qu ’elle soit A qu'on puisse irouver un Monbel

tel que 8° — C ‘soit divisible par B; cette condition étant remplie, on procédera à la diminution de ‘8 par un second système de transformées;

a Cr &; jo x — Cz = EF.

x Ci = D}, dans lequel la suite 2, B', B'... sera Fos ee jusqu'à ce qu’on (LE vienne à un terme. D 2 GC. ;

On, continuera ainsi la suite des nombres entiers décroissans Ag B, C, D, etc. jusqu'à ce qu'on payidone, à un terme égal à l'unité, et alors la question sera résolue. VER FPE USE

(24) 11 ést aisé de voir qu'on ne seraarrêté no at dans le cours

de cette opération ; lorsqu'à l'égard d’une transformée onu ÿ pese | ee Lie | Rene 90911 189 À — : }

ces deux conditions sont remplies dans Déquation proposée œ Bye êt dans sa première transformée x°—By* = 43 5je dis qu'elles le-sesont dans toutes les'autres; de Te ÉÈ En l'équation PIGpoñee sera

,néécssairement résoluble; lé ie 9D en anoc 5 ‘