SUPPLÉMENT À L'ESSAI

6 L Sur les moyens de décomposer un nombre donné en quatre carrés , de manière ‘que la somme de leurs racines soit égale

à un nombre donné.

(1) 1 s’agit en général de satisfaire æux deux équations

S+éeHLu Ho, @) b $s Hié+u +»,

dans lesquelles a et à sont des nombres donnés, et où l’on suppose les quatre racines s, t, u, v positives.

J'observe d’abord que x°+x étant toujours un nombre pair, il faut que ab soit aussi un nombre pair; ainsi les nombres donnés a et » devront être de la méme espèce, c'est-à-dire tous deux pairs,

I Il

ou tous deux impairs.

En second lieu, si les quatre nombres s, 1, u, v étaient égaux ; on aurait a— 45°, b—4s, d'où b—V/a; et si, de ces qualre nombres , trois étaient nuls, on aurait 4a—5°, b—5s, ce qui donnerait b— ya; donc en général à doit toujours être compris entre les limites y/a et V4a. 2

Ces conditions ne sont pas les seules qui doivent avoir lieu pour que le problème soit possible; mais avant de le considérer dans toute

Gars THÉORIE.DES NOMBRES. sa généralité, nous examinerons d’abord le cas où l’un des nombres s, {, uw, v serait zéro.

(2) Nous aurons, dans ce cas, à résoudre les deux équations

= L+u+ v?, (2) b=it+u+s,

et voici les conditions de leur possibilité.

1°. Il faut que a ne soit pas de la forme 4'(82<+7); car on sait qu’aucun nombre de cette forme n’est la somme dé trois carrés.

2°. Le nombre à doit toujours être de même espèce que 4; mais il faudra de plus, dans ce cas, que à soit compris entre les limites y/a et ÿ/5a. En effet, si les trois nombres #4, w, » étaient égaux, on aurait a — 34, b = 51, ce qui donnerait b —4/3a; c’est la plus grande valeur de D; la plus petite est, comme dans le cas général, b— 4/4.

Cela posé, des trois nombres 4, w, v, l'un au moins sera de même espèce que a. Soit & ce nombre, les deux autres z et » devront être tous deux pairs ou tous deux impairs. Faisant donc u+v=—2p, u—v—2q, ce qui donne u=p+q, 9 —=p—q, t—=b—2p, il restera, à satisfaire à l'équation a = (b—2p} + (p+q) +(p—q), ou à la suivante :

BE — (ap by + 59.

De là on voit que la troisième condition nécessaire pour la possibilité de

ÿ c 3a — b? Rs AR se la solution, est que le nombre —— se réduise à la forme x° + 5y*,