OC AD

ce qui aura lieu si RS

n'a que des facteurs simples de la forme

Gn +1, auxquels peuvent se joindre le facteur 5, si à est divisible par 3, et le facleur 4, si a est de la forme 82<+3, ou si à est divisible par 4‘, auquel cas à doit être divisible par 2*. A d HAE 2150 irer 0 PER.

yant donc fai 5 f°+53g", on en tirera 9 —=2£, p RS. et si les trois valeurs 4—b—2p, u—=p+4q, v—=p—q, sont toutes posilives, on aura la solution des équations (2).

(5) Exemple I. Soit a — 678, b—40, les deux premières conditions seront salisfaites; on aura ensuite. 3(3a —b*) = 217 — 7.51, et

SUPPLÉMENT. 7 puisque les facteurs 7 et 51 sont de la forme 621, la troisième condition est encore remplie.

Il reste à mettre 7.51 sous la forme late ce qu'on peut faire de deux manières, soit par les valeurs f—5, g—8, soit par les valeurs f — 15, eu, et parce que, dans Fe deux cas, on trouve des valeurs positives pour les indéterminées t, u, v, il en résulte les deux solutions suivantes :

(4) Exemple IT. Soit a=—8003, b—= 121, les deux premières conditions sont remplies; la troisième l’est également, puisqu'on a Z(Ba—0?) = 4684 — 4.117: , et que 1171 est un nombre premier de la forme 62 + 1. Ce nombre peut se mettre sous la forme 32° + 5.7, et son produit par 4 ou 1°+-3.1°, prend les deux formes 53°-+3.25: et 11°+5.50°; mais ces deux formes ne conduisent qu'à une seule so-

Il |

lution, laquelle est 8003 — 83° 33: 5°,

(5) Au moyen des formules précédentes on pourra, dans beaucoup de cas, non-seulement décomposer en trois carrés un nombre donné qui n’est pas de la forme 48247), mais de plus, faire ensorte que la somme des racines de ces carrés soit égale à un nombre donné.

Si on veut décomposer un nombre donné !V en trois triangulaires dont les côtés pris ensemble fassent une somme donnée c , il faudra satisfaire aux deux équations

NE THE YHy LH

Or il est visible que ce problème est renfermé dans celui que nous venons de résoudre. Il faudra faire a=—8N+5, b—2c+5, ct après avoir trouvé les valeurs de £, uw, », on en déduira celles de

t— 1 U— 1] RTS

LM LL AS AN ON se 0 DUAES ia — ;

2 2 2 - Par exemple, soit N—1000 et c—59, on aura a—8063 et b— 121, ce qui donnera, d’après l'exemple If, la solution x = 41,

J —=16, 3—=72. On a enceffet,

(6) Venons maintenant à la résolution générale des équations (1); elles donnent d’abord ce résultat remarquable,

ab = (s+i—u— 0) + (sut 0) + (s+o—i—u);

d'où l’on voit que 4a—b* doit être décomposable en trois carrés, et qu'ainsi une troisième condition nécessaire pour la possibilité du problème, est que 4a— lb? me soit pas de la forme 4*(8n +7).

Si 4a—b® n'est pas de cette forme, il sera toujours possible de satisfaire , d’une ou de plusieurs manières, à l'équation

hab = x Hp Hz;

on regardera donc x, y, z comme connus, et en supposant que s, t,u, v soient rangés par ordre de grandeur, ainsi que x, ÿ, z, On aura, pour déterminer s, £, u, v, les quatre équations

situe = D, SHi—u—v—= x, S+u—t—Vv#=7Y, Shp—it—u—=2Ez.

Ona mis dans la troisième 3, parce que, quoiqu'ôn ait par hypothèse s>1t>œu>v, 1l n’arrivera cependant pas toujours que la somme s—+v soit plus grande que +4.

Il faut maintenant que les valeurs de s, £,u, », déduites des équations précédentes, soient positives, sans quoi le problème ne serait qu'improprement résolu. Or cette condition peut toujours être remplie en limitant convenablement la valeur de £. Pour le faire voir, il faut examiner successivement le cas où æet à sont impairs,, et celui où ils sont pairs.

Premier cas, a et b impairs. +.

(7) Dans ce cas, 4a—Ü* sera de la forme 8z+5, et on pourra tou jours satisfaire à l'équation

(5) ja = a + tr,

SUPPLÉMENT. 9 où x y? 7? désigne l’une des formes trinaires du nombre 4a— 1°. Ensuite on déduira des équations de l’article précédent les valeurs des indéterminées $, £, , », comme il suit :

+Hxty+z En b+x £ b+y bz

Puisque les nombres D, x, y, z sont tous impairs, il faudra que lun des nombres b&x+y+z, bHx+y—3 soit de la forme 4n, et l’autre de la forme 42+2; donc, en prenant convenablement le signe de 2, dans l'expression de s, on aura un nombre entier pour la valeur de s, ce qui donnera ensuite des nombres entiers pour les valeurs des trois autres indéterminées. On voit par là qu'il n’y a qu’un des deux signes de z qui puisse être employé, et qu’ainsi on n’a qu'une solution pour chaque forme trinaire de 4a — 6°,

(8) Maintenant, puisque nous avons supposé x>y>3, il est clair que les valeurs de s, t, u, » seront toujours positives, si celle de v Ce . , A . ŒT b— l’est dans le cas le moins favorable, c’est-à-dire si l'on a ——s>0,

Il suffit, pour cela, qu'on ait x+y—+s 04; car b—x—y—x doit toujours être divisible par 4, dans le cas dont il-s’agit. Or, d’après l'équation 4a—b= x +" +2, on a x Hy+z< V3(4a—#), et en faisant (b+ 4) = 3(4a—0*), on tirera de cette équation

ou

Si donc b, qui doit toujours être plus petit que ÿ/4a, est supposé en même temps plus grand que la limite (34 —3 )— 1, on sera assuré que les valeurs des indéterminées s, £, u, » , déduites des formules précédentes , seront toutes posilives , et qu'ainsi le problème

sera résolu.

Un seul cas fait exception, c’est celui où l’on aurait à-la-fois-

“ep ë x=)=2:— ) et b— y/(5a—5)— 1; car alors il en ré-

sulterait x +y +z=0<+4, et par conséquent # —— 1. Mais il est

facile de faire ensorte que ce cas particulier ne puisse avoir lieu , il suffit

pour cela d'augmenter aussi peu qu'on voudra la limite inférieure de à.

Nous supposerons donc désormais que les limites de à sont

b>y(Ba— 2) —1, b<V/4a;

et dans cette hypothèse les formules (4) donneront toujours des valeurs positives pour les quatre indéterminées s, 1, u, », mème quand b serait égale à sa limite inférieure.

(9) En admettant la limite > y/(5a—2)—1# on a la certitude que la solution sera donnée toujours en nombres positifs. Mais il ne s’ensuit pas que si on preuait 2 plus petit que cette limite (et cependant plus grand que ya), le problème ne pourrait être résolu en nombres: positifs. Il arrivera, au contraire, assez souvent, surtout si a est un grand nombre, que des valeurs de 2 plus petites que la limite assignée donneront des solutions en nombres positifs ; et ces solutions se trouveront également par les formules (4), toutes les fois qu’elles pourront avoir lieu. C’est ce dont on verra un grand nombre d’exemples ci-après.

Second cas. a et b pairs. À

(1x0) Les nombres & et D étant pairs, 4a — 0° sera divisible par 4; et puisque celle quantité est représentée par æx°+- 7° + 2°, il faudra que les trois nombres x, y, z soient pairs. On simplifiera donc l'équation en mettant 2x, 2y , 27 à la place de x ,y, z, ce qui donnera

Cela posé , si a—(+b)" n’est pas de la forme 4* (82 +7), cette équation sera satisfaite par toute forme trinaire, propre ou impropre , du nombre a— (:b}. Connaissant donc les trois nombres x , y, z, On aura pour déterminer s,£,u, », les quatre équagions

s+t+u+vo—= D,

SHi—u—9v—= 2x,

SH ul = 9 2;

Sp —i{t— u = ÆE 22,

d'où l’on tire les valeurs