HTx+YyE à (6) se, sb —s+x, u=rb—s ty, v=ib—sÆz

SUPPLÉMENT. it Ces valeurs seront des nombres entiers dans les deux cas que présente le signe ambigu; ainsi il en résultera toujours deux solutions , excepté le cas de 2—0 , où les deux solutions se réduisent à une seule.

(11) Maintenant , pour que ces solutions soient admissibles , il faut que les quatre nombres 5,4, u, »,soient positifs, ce qui aura lieu si dans le cas le moins favorable | » est positif, ou si l'on a 20—x—y—7z

Cette condition sera remplie comme dans le premier cas, en supposant b > y(3a— 2)— 1, D'ailleurs on devra faire les mêmes observations que dans l’art. 9, relativement aux solutions qui peuvent avoir lieu dans certains cas où À serait inférieur à la limite assignée.

(12) “ y a diverses remarques à faire sur la solution du problème pre selon les diverses formes du LOMBRE a.

. Si a est de la forme 47 + 2, le Home a —+b® sera de l’une te Lors 4n +1, 4n +2, lesquelles, sont CURE décomposables en trois Carrés, d’après la théorie exposée dans la troisième partie. Donc dans ce cas, les équations proposées seront toujours résolubles.

2°. Si a est de la forme 82 +4, on pourra satisfaire aux équations proposées de deux manières , les nombres 5,4, w, » étaut tous pairs ou tous impairs : ces deux solutions seront données par les formules (6); mais il faut, dans ce cas, que a— +* ne soit pas de la forme 4" (8n + 7).

3°. Si a est de la forme 8 (27 +- 1 ), les nombres s, £,u, v devront être pairs, et en général si a est de la forme 2**+! (27 +1), ces nombres devront être divisibles par 2*; leur somme devra donc être aussi divisible par 2° et même par 2'*", parce que le quotient devra être pair. SO dOnC ana Ds So u— 20,0 — 20e, la solution des équations proposées se réduira à celle des équations

ns md À / / / d=S + + u + v*, P=Ss +É + +0;

elle sera donc toujours possible , puisqu’alors 4’ est de la forme 47 + 2. Muis on remarquera que dans ce cas il ne suflit pas que à soit compris entre les limites ÿ/4a et y/(3a— 2) — 1, il faut encore que à soit

divisible par 2:+'. Les autres valeurs de comprises entre les linutes ©

assignées , ne pouvant salisfaire, on trouverait qu'elles réduisent 4 — 14: à la forme 4*(8n +7).

On pourra descendre au-dessous de la limite 4/( 34 — 2)—:, pour essayer s’il y a d’autres solutions ; mais il faudra toujours que les valeurs de à soient divisibles par 2*+".

4. Enfin si a est de la forme 2**°( 271), Æ n'étant pas zéro, il faudra que chacun des nombres s, £; u, » soit divisible par 2*, et leur somme à par 2**'. C’est pourquoi faisant a = 2**a!, b—2"b", s—2"s",t—= 2 t,;u—= 2" u", v — 2}y", les équations proposées se réduiront aux suivantes , -

d = SH H us Hot, V=s +é tu +, £

dans lesquelles 4 sera de la forme 82/4 , et qui se rapporter@ht ainsi au second cas, comme le précédent se rapporte au premier.

(13) La théorie exposé® dans ce chapitre , est la base de la démons-

tration générale du théorèmesde Fermat, dont nous nous occuperons dans le chapitre suivant; elle peut être utile dans plusieurs autres recherches d'analyse indéterminée.

On voit déjà que cette théorie donne une extension remarquable aux deux premiers cas du théorème sur les nombres polygones, puisqu'elle offre les moyens non-seulement de décomposer un nombre donné er trois ou en quatre carrés, mais de faire ensorte que la somme des racines de ces carrés soit égale à un nombre donné pris entre certaines.

limites.

6 IE Démonstration du ‘l'héorème de F'ermat, sur les nombres polygones , ét de quelques autres Théorèmes analogues.

| * (14) O, a fait voir ci-dessus (art. 154) qu’un nombre polygone de l’ordre m2, a pour expression générale

—(xt— x) + x,

x désignant le côté de ce Polygone , ou le rang qu'il tient parmi les

polygones du mème ordre. Cette expression prouve que o et 1 sont deux termes communs aux polygones de tous les ordres.

Les nombres triangulaires résultent de la supposition #— 1 ,. et les carrés de la supposition »—2; dans ces deux premiers cas, il est indifférent de prendre x positif ou négatif, et on n'obtient qu'une seule et même suite, celle des nombres triangulaires ou celle des

carrés.

Mais m étant > 2, l'expression générale des nombres polygones.

donne deux suites différentés pour chaque ordre, selon qu’on suppose æ positif ou négatif. Ces deux suites sont liées entr’elles par une même loi, de sorte que l’une n’est que le prolongement de l’autre ; maïs dans l'application au théorème de Fermat, on fait toujours abstraction de la suite. formée avec des valeurs négatives de x, et on ne considère que celle qui est formée avec les valeurs positives , comme les présente le

tableau du n° 154. x

(15) Cela posé, il faut démontrer qu'un nombre quelconque est composé d'autant de polygones de l'ordre m + 2, qu'il-y a d'unités dans ‘m + 2.

Le nombre des polygones qui composent un nombre donné , pourrait cependant être moindre que "+2; mais en regardant o comme un. polygone complétif, le nombre des polygones pourra toujours être censé m+ 3, conformément à l'énoncé de la proposition.

Ce théorème ayant été démontré dans le Traité précédent , pour le:

TN LIEN D" Lol NA Eu

cas des nombres triangulaires et pour celui des carrés, qui sont les deux premiers de la proposition générale, nous ne considérerons que les cas ultérieurs où l'on a m > 2, savoir, m— 3 pour les nombres pentagones , m—4 pour les hexagones, et ainsi de suite.

Or d'après ce -qui a été démontré dans le $ précédent, il ne reste plus à établir qu'un petit nombre de propositions subsidiaires pour parvenir à celle qui fait l’objet de ce chapitre.” #

ee ‘

(16) Tuforème I. « à étant un nombre impair quelconque, non » compris dans les dix suivans 1,3, 5,7, 11,15, 19, 23, 57, m1, » il existe toujours deux nombres impairs consécutifs ce, c — 2, tels » qu’en. faisant successivement b = c et b— c—2, on pourra, dans » les deux cas, satisfaire aux équations L

+ + u + CE

G) < b SE he MES,

I Il

» avec la condition que les racines s, €, u , » soïent toutes positives. »

En effet, 1°. si la’ différence entre les limites \/4a et ÿ(3a—2)—1, est égale à 4 ou plus grand que 4, il y aura au moins quatre nombres entiers consécutifs compris entre ces limites. De ces quatre nombres, deux seront impairs et pourront être pris pour 6; les équations proposées seront donc résolubles , dans les deux cas, par les formules de l'art. 7.

Or en faisant ÿ/(4a) — y/(3a—2) + 1—=4, on trouve a— 121; donc ‘le nombre 121 et tous les nombres impairs plus grands que 121, jouissent de la propriété mentionnée. 5

2°. Si ensuite on examine tous les nombres impairs au-dessous de 121, on trouvera que pour une partie de ces nombres , il existe deux valeurs de. à comprises entre les limités 4/4a et ÿ/(3a— 2)—1, et que pour l'autre partie il n’existe qu’une seule valeur de 2.

Dans le second cas, on devra essayer , d'après les formules de l'art. 7, si le nombre impair immédiatement inférieur, quoique plus petit que la limite (34 — 2) — 1, ne peut pas êlre pris pour &, el conduire à une solution des équations (1), dans laquelle les racines s , 4, u, » soient prises positivement.

Cet essai réussira pour la plupart des nombres dont il s’agit, et il ne restera que les dix valeurs mentionnées de &, savoir, 1, 3, 5,

7311,1, 19, 23, 71, pour lesquelles il n’y a qu’une valeur de & qui satisfasse. jÉ

Voici un tableau qui contient le résultat 1 ces calculs.

8h... 701 047,15 17 7D* 71 15 15 7 69,67 É5:198 lo FDA 65... 57! 15,15 An NE Bb." "149 | TOSTre 9 553% AT RAD | ALT 7 5 41,39 PS 102 5 5 57 LA 3 5 DD: 10141 1110 1 1

(17) Pour mieux faire concevoir la construction de ce tableau , nous allons donner des exemples de chacun des trois cas qu'il présente.

Premier cas. Si on fait a — 65 , on trouve pour ? les deux valeurs 15 et 13, comprises entre les limites V/260 et V/195 — 1. Les mêmes valeurs auraient également lieu pour les nombres 63, 61, 59, 57; aussi voit-on dans le tableau, que pour tous les nombres impairs de G5 à 57, les valeurs correspondantes de 2 sont 15 et 15.

Second cas. Si on fait «a — 41, on trouve qu'il n’y a que le nombre impair 11 qui soit compris entre les limites V164 et V121—1 ; mais si on essaie la valeur suivante b —0, quoiqu'inférieure : à la limite V/121 — 1, on trouve par les formules du n° 7, qu’elle satisfait aussi, puisqu'on à 41 = 6° + 2° + 1° et 9 — 6 + 2 + 1. On a donc nus

dans la table les valeurs b— 11,0 —0, correspondantes au nombre

a — 41; mais on a distingué par une * la seconde valeur 9, pour avértir qu’elle est inférieure à la limite y/(3a — 2)— 1.

Troisième cas. Si on fait a— 71, on ne trouve Ed impair

LE

a TE SE Li À J “ DRPLarEE po LEE ON ARE

15, compris entre les limites qui conviennent à cette valeur de « ; savoir, V284 et Vaui — 1. Si ensuite on essaie la valeur b=— 15, on trouve par les formules du n° 7, qu’elle n’est pas admissible | parce que l’une des indéterminées s, 4, u, v serait négative. On n’a donc mis dans le tableau que la seule valeur à — 15, correspondante au nombre & — 71.

(18) Tuéorème IL. « Soit & un nombre impair quelconque ; soient D CyC—2, Comes d, les diverses valeurs successives de à avec lesquelles on peut résoudre en nombres positifs les équations (1); soit enfin r un terme quelconque de la suite 0, 1,2, 5...."m—2. » Si on considère la fonction