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dans laquelle à et r sont des térmes pris à volonté dans les suites » qui leur sont propres, et qu’on appelle P ou P (a) la plus petite valeur » de cette fonction, Q ou Q (a) la plus grande ; on aura

» Cela posé, je dis, 1°. que tous les nombres entiers compris depuis P (a) jusqu’à Q (a), seront représentés par la fonction Z; 2°. que tous ces nombres pourront être décomposés chacun en »#+ 2 polygones de l'ordre m<+2. » je

En effet # 1°. soit Z— P (a) +p, p étant un nombre pris à volonté depuis 1 jusqu'à Q(a)—P(a), on auta pour déterminer 8 etr,

l'équation b

P = (m—2)(— À“ Ts

or puisque p et m—2sont deux nombres donnés , on voit que r est le reste de la division de p par:m— 2, et que si on appelle g le quotient

nn ou b— c— 2q.

de tette division, on aura Il suit de là que pour chaque valeur donnée de p, on n’a qu’une solution, à lorsque le reste r est zéro; car alors on peut faire

SUPPLÉMENT. * £7 indifféremment r—o ou r—m—2, et il y aura deux solutions. Cependant s’il s’agit du dernier des nombres P (a) +p , qui est Q (a), il faudra prendre r—m—2, et il n’y aura qu’une solution ; parce qu’en faisant = 0, on’aurait b—d— 2, nombre qui n’est pas compris dans la suite c, c—2,c—4,.....d..

2°. P(a)+p ou P +p étant un nombre quelconque pris dans la suite P, P+H1, P+2..,.... Q, puisqu'on peut loujours supposer P+ p —— (a—b)+b+r, si on substitue dans cette expression

les valeurs de a et à données par les équations (1), on aura:

P +p = CS — SH + up) +r + s+itu+ks. È

Donc si on désigne en général par pol. ‘x, le polygone de l'ordre m + 2 dont le côté est x , on aura

P+p= pol. s + pol. & + pol. u + pol. v + r pol. : ; c’est-à-dire que le nombre P -p sera composé des quatre polÿgones dont les éôtés sont s,4, u, » , et der polygones égaux à l'unité ; donc comme r est << m—2 ou tout au plus —=m— 2, il s'ensuit que le

nombre P+p sera composé de +2 polygones de l’ordre m2, dont » — 2 sont égaux indifféremment à zéro ou à l'unité,

(19) Tnéorème IL. « Lorsque & — 121, la plus grande valeur de & » est1,et alors on a P (a) — (a—b) + b=50m+21, nombre » qui, suivant la proposition précédente, est la somme de quatre poly- » gones de l’ordre m+ 2.

» Cela posé, je dis que tout nombre entier plus grand quebomor, » est la somme de 77 + 2 polygones de l’ordre #7 2, dont m— 2 se- » ront égaux à zéro ou à l'unité. »

En effet, soit « un nombre impair quelconque plus grand que 121; il existera toujours , suivant le théorème I, deux nombres impairs consécutifs c, c— 2, compris entre les limites V/4a et y(53a— 2)—1, et il suit du théorème précédent que si l’on fait |

Pa) = T(a—c)+c, Q(a) = T(a—c+2)He—2tm—o,

2 eo A < : à Aie AU

tous les nombres entiers compris depuis P (a ) jusqu'a Q (a) inclu= sivement , seront la somme de »+ 2 polygones de l’ordre m + 2. Considérons maintenant le nombre P(a+-2), et soit c’ le plus grand nombre impair compris dans 4/(4a+ 8), comme € est le plus grand . nombre impair compris dans 4/4a'; il faut distinguer deux cas, selon qu'on a c'—c, où c'—c+2; car il est évident qu'on ne peut faire aucune autre supposition sur la valeur de c’.

(20) Si l’on a c'—c, il suffira de mettre & + 2 au lieu de 4, dans l'expression de P(a), et on aura

P(a+2) = = (a+2—ce)+c; comparant celle valeur avec celle de Q(a), on en tire

Or la moindre valeur de + étant 5, on voit que le nomb: P(a+2) ne surpasse Q(a) que dans le seul cas de m—3, où l’on a P(a+2) —= Q(a) + 1. Dans tout autre cas, P(a+ 2) est compris dans la suite P(a), P(a) +1, P(a)+92,.....Q(a).

Mais, on a vu que tous les nombres de cette suite sont composés de m2 polygones dé l’ordre m<+2, et dans le cas où le terme P(a+-2) sortirait de cette suite, pour y ajouter le terme suivant Q(a)+1, ce terme serait composé de quatre. polygones seulement;+ donc tous les. nombres entiers compris depuis P(a) jusqu'a P(a+2) inclusivement, Sont composés de m+2 polygones de l’ordre »+-2.

(21) En second lieu, soit c'=c+2,0on aura P(a+ 2) —%(a—e) +c+2, et par conséquent P(a+-2)=— P(a)+2—Q(a)—2(m—5). De là on voit que P(a+2) est toujours plus petit que Q(a), excepté dans le seul cas de re où l’on a FOR — Q(a); donc tous les nombres

entiers compris depuis P(a) jusqu'a P(a+2) inclusivement, sont décomposables en »m+-2 polygones de Fordre + 2.

(22) Si on observe maintenant que dans le premier cas on a

SUPPLÉMENT, ©: | #9 P(a+2) — P(a)+m, et dans le second P(a+-2)— P(a)+2; on pourra en conclure qu'a compter d’un nombre donné a tel que a—121, la suite P{a), P(a+-2), P(a+4), etc., formée en augmentant toujours a de deux unités, s'étend à l'infini, Donc tous les nombres entiers compris depuis P(121), ou 5om—+21 jusqu'à l'infini, sont décomposables en m—-2 polygones de l’ordre m+2.

Il reste à démontrer que tous les nombres inférieurs à bom<+a2r, jouissent de la même propriété; c’est l’objet de la proposition suivante, qui complète la démonstration générale du théorème de Fermat.

(25) Tuéorème IV. « Tout nombre entier plus petit que P(121), » ou 5om—21, est la somme de »#7+ 2 polygones de l’ordre n+2, » dont »m— 2 sont égaux à zéro ou à l'unité. »

Soit d'abord a—5; on voit par le tableau du n° 16 que 5 est la seule valeur correspondante de b; faisant donc c— d=—3, les formules du n° 18 donneront

Au-dessous de P(5), on a les nombres 1, 2, 3.....m—2, qui sont composés d'autant de polygones égaux à r qu'ils contiennent d'unités ; ainsi le théorème est vrai à leur égard, on voit même que le dernier de ces nombres » + 2 est exprimé par un seul polygone , savoir, pol. 2.

Les nombres de P(5) à Q(5) sont composés comme l'énonce le théorème, puisque cette propriété a lieu en général pour tous les nombres de P(a) à Q(a): Ainsi le théorème est vérifié jusqu’au nombre Q(5) = 2m + 1.

Soit maintenant «—7, on aura, par la table du n° 16, c—œd—5,

ce qui donne ë P(7) m+ 5, Q(7) om + 3.

Comme la moindre valeur de "2 est 3, on voit que P(7) ne surpasse Q(5) que dans le seul cas où m—3, et:alors on a P(7) = Q(5)+r. Donc la propriété générale est vérifiée par tous les nombres depuis 1 jusqu'a Q(7) = 2m+ 3.

On pourrait continuer ainsi l'examen des cas particuliers jusqu'à

(ni

da sen ns ; LE A dlin ee" 0)

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nombres. .

satisfont au théorème.

au théorème.

bIS vIS bI3

P(121); mais nous nous bornerons à un petit nombre de cas généraux qui renferment la solution de tous les cas particuliers. Il s’agit en général d'examiner si tous les nombres compris de P(a) à P(a+-2) satisfont au théorème, ou s'il y a exception pour quelques-uns de ces

(24) Premier cas. Supposons que pour le nombre & il y ait deux valeurs correspondantes de b, savoir € et c— 2, et que pour «+ 2 il ÿ ait une ou plusieurs valeurs de à , dont la plus grande soit c, on

* irouvera, comme dans l’article 20, que tous les nombres de ?(a) P(a+ 2) satisfont au théorème.

Second cas. Supposons que c et c— 2 étant les deux “ne de 8 correspondantes au nombre 4, on ait c+2 pour la plus grande ou la seule valeur de À correspondante au nombre 4-2; on trouvera encore, comme dans le n° 21, que tous les nombres de ?(a) à P(a+2)

Troisième cas. Supposons que à n'ait que la seule valeur c correspondänte au nombre 4, et que pour a+-2 on ait une ou plusieurs valeurs de 2, dont la plus grande soit c++ 2, on aura, dans ce cas,

(a — c) “a Ca (a—c) + c++ m— 2, (a— c) + ce + 2.

De Ja on voit que P(a+ 2) ne peut surpasser Q(a) que dans le seu cas de m—5;.qu'alors on a P(a+2) = Q(a)+ 1; que dans tous les autres cas P(a+2) sera plus petit que Q(a), ou tout au plus égal à Q(a), et qu'ainsi tous les nombres de P(a) à P(a+-2) satisfont

Quatrième cas. Supposons enfin que relativement à à on ait la seule valeur b—c, et relativement à a+2, une ou deux valeurs de 2, dont la plus grande soit c, alors on aura

SUPPLÉMENT. gx On voit dans ce cas qu'il y a une lacune entre Q(a) et P(a+ 2), car on à P(a+2) = Q(a)+ 2, et l'intermédiaire qui manque est Q(a) +1. Ainsi, sauf celte exception, le théorème démontré jusqu’à Pa), le sera jusqu'à P(a + 2).

(25) Il suffit maintenant de jeter un coup-d’œil sur le tableau du n° 16, pour trouver quels sont les nombres Q(a)+ 1 qui tomberont dans De SpEOn du quatrième cas. Ces nombres se réduisent à quatre,

savoir :

QX7)+i= 2m + 4, Q(G5)+i— 5m+ 6, Q(23) + 1 = 8m + 8, OU) Er im tuot | or l'expression générale de pol. x (art. 14) donne pol 2—= mb, pol. 3—= 3m +53, pol. 4 — 6m + 4, pol. 5 = 107 + 5,

et par le moyen de ces polygones on pourra æxprimer les quare nombres précédens comme il suit :

2m + 4 = 2pol. 5,

5m + 6 = 4pol. 2 + (m— 2) pol. 1, 8m + 8 — pol. 4 +-2 pol. 2, S 14m + 10 — pol. 5 + pol. 3 + pol. 2.

Un seul cas, celui de 5m+-6, exige m+2 polygones; les trois autres n’en exigent que deux ou trois. Donc les exceptions rentrent dans la proposition générale; donc , tout nombre entier est la somme de m2 polygones de l’ordre m2, dont m—2 seront égaux à zéro ou à l’unite.

(26) La démonstration que nous venons de donner du théorème de Fermat, ne suppose conn ue la démonstration du premier cas de ce théorème, concernant les nombres triangulaires. Or cette proposition fait partie de la théorie générale des formes:trinaires des nombres, exposée dans là troisième Partie. Nous avons d’ailleurs prouvé (n° 155), qu'en supposant ce premier cas démontré , on en déduit immédiate—

22 s THÉORIE DES NOMBRES.

ment que tout nombre entier est la somme de quatre carrés, ce qui est le second cas du théorème de Fermat. Ainsi du premier cas on déduit tous les ‘autres.

Comme on ne peut guère douter que. Fermat n'ait été réellement en possession de la démonstration générale de son théorème sur les nombres polygones, il est à croire que cette démonstration était totalement différente de celle que nous venons d'exposer, En effet, il parait d'abord que Fermat n’avait aucune cônnaissance de la théorie des formes trinaires des nombres, excepté dans le cas des nombres 8-3, qui revient au premier cas de son théorème, mais dont il ne fait pas mention, et dans le cas des nombres premiers 82—:1, qu'il assure êlre de la forme p° + g°—2r*, dont le double est la somme de trois carrés. Si Fermat eût connu la théorie dont il s’agit, il n'aurait pas restreint cette dernière propriété aux nombres premiers 8n — 1, puisqu'elle s’étendggénéralement à tous les nombres impairs. En second lieu, si la démonstration de Fermat eût été la même que la précédente , ou fondée sur les mêmes principes, il n'aurait pas manqué d'ajouter au théorème la condition qui lui donne plus de précision et d’élégance, savoir, que sur les m+2 polygones de l’ordre Hire qui composent un née donné , il y en a (OUIO UE 71—2 quon peut supposer. égaux à zéro ou à l’unité.

M. Cauchy a donc fait une découverte importante dans la théorie des nombres, en donnant Je premier la démonstration du théorème de Fermat , devenu plus précis par la condition qu'il y a ajoutée. Mais on peut aller encore plus loin en démontrant que, passé une certaine limite facile à assigner pour chaque ordre de polygones , tout nombre donné peut être décomposé en quatre polygones.ou en cinq au plus. Cette nouvelle proposition fera l'objet des recherches suivantes.

(27) Supposons que le nombre donné À soit décomposable en quatre polygones de l’ordre m+- 2, il faudra faire

et déterminer les nombres a et à de mie qu'on puisse résoudre en nombres enliers positifs les équations

+ Ê + + ver (1) -b SUR CUS PS

(al

SUPPLÉMENT. | 23 or il sera possible de satisfaire à ces équations, si a et sont de même espèce, si ? est compris “entre les limites ÿ/(4a) et y/(3a—2)—1, enfin si a est impair ou double d'un impair. Il y aurait d'autres valeurs de a et de à qui permettraient d'effectuer Ja résolution des équations (1) ; mais il suflira de considérer celles dont nous venons de faire mention.

(28) Si l'on fait successivement b = y/4a et b = (3a—2)—1, on trouvera que les limites de à correspondantes au nombre donné A,