TL TL

Connaïssant les diverses valeurs de 2 par ces limites, on connaïtra & / 7 0 2 | . .

par l'équation a = b + = (A— D); et comme a — à doit être pair,

est un entier. Soit cet entier — x, On aura

Set . A il s'ensuit que

b— A — mx,

Cela posé, on peut démontrer les propositions suivantes.

(29) Tuéorème V. « m étant un nombre impair, si À est un nombre » donné quelconque > 28»°, je dis que 4 sera décomposable en quatre » polygones de l’ordre 77 + 2. »

Les limites de 2 étant connues , on connaîtra celles de x par l'équation

1—D : . L La e e LA %

x =. Supposons que la différence des limites de à soit égale à |

2m ou plus grande que 2", alors la différence des Himites de x sera égale à 2 ou plus grande que 2; donc x aura au moins deux valeurs consécutives }, h+ 1; et puisque 72 est impair , lés deux valeurs correspondantes de Ÿ , tirées de l'équation b— 4— mx, seront l’une paire, l'autre impaire. En prenant la valeur impaire, le nombre 4 sera aussi

impair, puisqu'on à a— b—+2x; on pourra donc résoudre les équa=

tions (1). Donc pour que le onbie A soït one si quatre

polygones de l’ordre m +2, il suffit qu’on ait ee = > 2m,

ou 4 > m(y8 + #6), ou plus simplement 4 © 28m°; ce qui s'accorde avec l'énoncé du théorème.

On voit que ce théorème est d’une grande généralité, puisqu'il s'applique à tous les nombres plus grands que la limite 28°, et qu'il suppose “seulement que l’oïdre des polygones, désigné par m+2, est impair. *

(30) Tuéorëme VI. «7» étant pair, tout nombre impair 4 > 7m, » sera décomposable en quatre polygones de l’ordre 77 + 2 ; et tout » nombre pair 4+ 1 > 7m° sera décompose en cinq polygones dont » un sera égal à l'unité. »

En effet, si À estrimpair et m pair, 1l résulte immédiatement des équations (2) que ® et a sont des nombres impairs, quel que soit x ; ainsi la solution sera toujours possible s'il y a une valeur de x comprise entre les limites requises, c’est-à-dire si les limites de 4 diffèrent entr’elles d’une quantité plus grande que ». On devra donc avoir

VS) 2 VC > m, ce qui donne 4 > 7m.

Quant à la seconde partie du théorème , elle suit immédiatement de la première, puisqu’en retranchant 1 du nombre pair donné, on à un nombre impair Gus est décomposable en quatre polygones de l’ordre m2 + 2. E

(51) Tuéorème VII « Sim est pairement pair ou de la forme 4», » tout nombre pair Z >> 28m°.sera décomposable en quatre polygones » de l'ordre m7 + 2; »

Car puisqu'on a a— 4—(m+2)x, sil ya deux valeurs x = ? x—h+}1, comprises entre les Ltée qui conviennent à æ, ou si l'on a«4 >> 28m°, et-qu'on appelle a, a’, les deux valeurs correspondantes de a Çjon aura a — a — 1m — 2 — 4n — 2; donc des deux nombres 4, a!, il y en ‘aura un impairement pair, et la solution sera possible. ÿ |

(52) Tuéonème VIIL « Si m est impairement pair ou de la forme 472,

5 tout nombre impairement pair 4 > 7m° sera décomposable en quatre

» polygones de l’ordre 7% + 2.»

Car puisqu'on a a—4— (m—2)x, et que m— 2 est de la forme 4n , le nombre a sera impairement pair , quel que soit x. Il suffit donc que x ait une valeur, c’est-à-dire qu’on ait:4 > 7m, et la solution sera

toujours possible.

Au moyen de ces propositions, il est Bron que tout nombre 4 qui passe une certaine limite, est décomposable en quatre polygones de l'ordre m + 2 , excepté cuehient le cas où 72 + 2 et À seraient l’un et l’autre divisibles par 4. Or ce cas même peut être réduit à la moitié de

son étendue par la proposition suivante.

(33) Tuéonèwe IXM« Si m est impairement pair , ou de la forme » 4m + 2, tout nombre pairement pair 44’ > 28m° sera décompo- » sable en quatre poygones de l’ordre m+ 2, pourvu que 4'— 7 » soit impair. »

Car PAIE on a Mar — 4mx et b—4A4!— 2x, si l'on fait 2a— a! et ?b—1/, la résolution des équations (x) pourraëtre donnée par celles des mêmes équations où l’on metirait 4’ et b! à la place de z'etb; alors on aurait

d = À — max,

b! 24 — Le

Or puisqu'on suppose Z!'— 7» impair, si on a une valeur impaire de x, les nombres 4’. et D seront impairs, et on pourra résoudre les équations (1). Il suffit donc pour cela que les limites de x diffèrent entre elles de deux unités au moins, ce qui aura lieu si on a AA 28m.

Il est inutile de pousser plus loin ces recherches , puisque s’il existe des cas où un nombre pairement pair qui surpasse la limite 28», ou telle autre qu'on pourrait assigner , n’est pas décomposable en quatre polygones , on est sûr que ce même nombre sera décomposable en cinq polygones dont l’un sera égal à l'unité. Nous allons faire voir maintenant, par un exemple , comment on peut déterminer directement les polygones dont se compose ‘uni nombre donné quelconque:

(34) Soit. proposé de décomposer le nombre 6484 en huit ou en un moindre nombre d’octogones.

Il faut, d’après le bone général , que 4 — r soit RÉ en quatre octogones, À élant le nombre proposé 6484, et r étant égal

à l’un des nombres o, 1 ,2,3, 4. Or dans le cas de m = 6, les limites de 4 sont, suivant les formules de l’art. 28,

PS YA TS), CIE Ye (A r)epreT

On satisfera toujours à ces limites , en faisant dans la première r —0, et dans la seconde r —4, ce qui donnera

> VOB, b<$+ (86415)

Ainsi on pourra prendre pour © un terme quelconque de la suite

Br: Das Bic te de

Pour déterminer x, on a l'équation x = ue ) 1 d’où il résulte que D doit être un entier ; ainsi le nombre à devra être de l’une des formes 62 Ho, 1, 2, 3, 4, auxquelles répondent les valeurs r—4,3, 2, 1, 0. Cela posé, en se conformant aux limites trouvées, on aura les valeurs de & et r, ensuite celles de x et a, comme il suit :

Ar £ Le 1080 —

DORE es te die 1007 AND, D 82 5 F0 L— 1007, A — 22100 D = E8 4, 1 =, 6 — 1000 a 0, PET 5,008 1000, 4 — "2217 D'==1867, 2, Li t1000 4 — 12910:

D87 Sr AE = 0066: 4 — 2219;;, br=—:88;, 10% SN 10066:, 00 p), b— 00: 4 = Mi000, caiVaso?, DIE EOT. RES MODS GE SION, DE O2 TER pe D—-MO000N nb" 210 DÉS TT 0 — O0 421228 b= 9%, r—0, x — 1065, a — 2224

De Ià se déduisent plusieurs solutions du problèmie proposé.

1°. Les trois valeurs impaires de # et à auxquelles correspond ia valeur r — 1, donneront trois solutions dont le résullat est que le nombre proposé 6484 se forme de quatre octogones et d’un cinquième égal à l'unité.

2°. Les deux valeurs impaires de 4 et D auxquelles répond la va-

leur r—3, donneront deux solutions par lesquelles le nombre proposé se des en sept octogones, dont trois sont égaux à l'unité.

3°. Les deux valeurs impairement paires de a qui correspondent à la valeur r — 2, donneront deux solutions par lesquelles le nombre proposé se MOaTee en six octogones dont deux sont égaux à l'unité.

4°. Les deux valeurs pairement paires de a auxquelles répond la valeur r—4, sont encore admissibles, parce que le nombre a — ?b* qui en résulte, peut être décomposé en trois carrés. On obtient par là deux autres décompositions du nombre donné en huit octogones, dont quatre sont égaux à l'unité. ,

5°, Enfin si on voulait déduire trois autres solutions des, valeurs de a et à qui correspondent à la valeur r—0, on trouverait que ces solutions ne peuvent avoir lieu, parce que dans ces trois cas le nombre a—+}b? se rapporte à la forme 4:(8r—1), qui n’est point décomposable, en trois carrés. Nous conclurons de là qu'il n’est pas possible de décomposer le nombre donné 6484 en quatre octogones S£ulement, au. moins tant qu’on prend à supérieur à la limite y/(5a — 2) — 1. Mais il peut arriver qu’en prenant des valeurs de b inférieures à cette limite, on trouve des solutions admissibles. -

En effet, les valeurs de ? qui répondent à r —0, étant 94, 88 et 82, celle Le Se immédiatement est b— 76; cette us donne a — 2212, et a— 20 — 768—/4f.3 , nombre qui est décomposable en trois carrés. On Mme ensuite, par les formules de l’art. 10 , que l’une des solutions est admissible , puisqu'elle donne 5 — 43, 4— u — v— 11 ; donc le nombre proposé 6484 est égal à la somme des quatre octogones dont les côtés sont 43, 11, 11, 11. fr

On remarquera que le nombre 6484 > Brà été chat de manière qu'il ne soit pas compris dans le théorème IX, et cependant il se trouve décomposable en quatre oclogones seulement.

6 IT. Méthodes nouvelles pour la résolution apprôchée des équations numériques.

Ne nous proposons de faire voir comment on peut trouver, avec tel degré-d’approximation qu’on voudra, les racines réelles d’une équalion proposée, sans qu'on ait aucune Connaissance préliminaire de la grandeur et du nombre de ces racines. Les méthodes que nous donnerons pour cet objet, ne supposent que des préparations qui tiennent à la nature de ces méthodes, et peuvent s'appliquer directement à toute équation proposée. La première exige cependant qu’on connaisse' une limite supérieure à la plus grande des racines; la recherche de cette limiteæst donc le premier objet dont nous allons nous occuper.

Li Limites des Racines réelles.

(55) Il suflira de chercher la limite des racines positives; car en mettant — x à la place de x, ou changeant les signes des termes de rang pair , les racines qui. étaient négatives deviendront positives à leur tour ; de sorte que la règle trouvée pour les racines positives, s’appliquera également, mutatis mutandis, aux racines négatives.

Soit l'équation proposée du degré »,

DNA IT ee AR EE AND NN A D.

dans laquelle x est le coeflicient du premier terme , et 4, est le coeflicient du terme affecté de la puissance x"; pour avoir la limite supérieure des racines réelles et positives , il faut distinguer deux cas.

1°. Si le second termie a un coeflicient négatif qui ne soit surpassé par aucun des autres coefliciens négauüfs; je dis que ce coeflicient, augmenté. d’une unité, sera plus grand que la plus grande racine positive.

En effet, si une valeur positive de x pouvait être plus grande que 1 + 4, ce serait dans le cas où tous les coefficiens seraient négatifs et égaux à À, , ensorte que l'équation à résoudre fût

L'on AU ue AA ne ARTS ue À, = 0,

SUPPLÉMENT. 29 Mais dans ce cas mème, si l’on fait x — 1 + 4,, on aura x— 4x" nee Aile etc dessontesquerte premier membre se réduit à + 1; donc on a toujours x € 1 +4.

. Si le plus grand coeflicient négatif n’est pas celui du second ERQES soient À, et 4, , les deux coefliciens négatifs pour lesquels VA et VA

sont les plus grands possibles ; je dis qu’on aura toujours x<< VAV Ai En effet, soit afle plus gran de ces deux radicaux, et à l’autre; il n’y aura, par hy Ms , qu'un seul térme négatif de l'équation représenté par — ax tous les autres qu’on peut représenter g généralement par — c'æ", seront tels qu’on a c— b pour l’un au moins de ces termes, et c < b pour tous les autres. Donc l'hypothèse qui rend x le plus grand est celle où l'équation à résoudre serait

LT = DR DIR PL di L —10;:

pe = LT GE b')

b' de , CLSE =

Le premier membre se réduit à x"— x" (a — L) —b (=; F

l'on fait x — a + b, il devient

br a— b

Go «|.

quantilé toujours positive, puisqu'on suppose « > b, et qu'on a en

général (a+b) > a a à) Donc la plus grande racine positive de

l'équation proposée est plus petite fe He ou << A+ VA Si l'équation proposée n'avait de un seul terme Le He CRE

la limite de x serait simplement 4, ; Ce qui peut se vérifier 1 immé— diatement.

Définition des Fonctions omales.

(56) Nous appellerons fonction omale de x, toute fonction qui a la propriété d’être loujours croissante ou toujours décroissante à mesure que x augmente dans le sens positif, depuis x —0o jusqu'à x =.

e Nous supposerons toujours x positif, et cependant la fonction omale, considérée comme l’ordonnée d’une courbe , pourrait être positive dans une partie de Ja ligne des abscisses , et négative dans l’autre ; mais

nous ne considérerons que les fonctions omales qui demeurent cons-

LT dre 3 dl dE V2 ut NN El 2

Fig. 1.

tamment Roses pour toute valeur de æ, depuis x — 0 jusqu'a DECO

Il suit de notre définition , que pour toute fonction omale ex), le

coefhcient différentiel ee est toujours de même signe, depuis x—0

jusqu'à x —: Ilsera te pour les fonctions omales croissantes , -et négatif pour les fonctions omales décroissantes.

(87) On peut donner, comme exemples des fogetions omales, les valeurs suivantes de @(x), dans lesquelles nous supposons tous les coefliciens positifs, *

(x) = Ax" + Bart Æ Cat... + K, PO) a ape cr

= Ptit

La première et la seconde sont croissantes, l’une depuis @(o) — K jusqu'a g(o )— © , l’autre depuis @(o)— 0 jusqu’à (so ) — % ; la troisième décroit continuellement depuis @(o) = 1 + £ + . + = jusqu’à P(o) ENS

Si on trace la courbe qui a pour équation > —=@(x), cette courbe montera ou descendra graduellement, depuis la première ordonnée 9(0) jusqu’à la dernière @(o ), ensorte que la même ordonnée ne pourra jamais répondre à ‘deux abscisses différentes.

Donc c étant un nombre positif donné compris entre @(o) et g(o), l'équation c— px) aura toujours une racine positive, mais elle n’en pourra avoir’ qu’une.

Si c n’était pas compris entre les limites @(o) et @(w), l'équation c = Q(x) n'aurait aucune racine positive.

Résolution de l'Équation omale c—=@(x).

(58) Imaginons qu'on décrive la courbe dont l’équation est VE ?(x), et supposons d’abord que la fonction @{x) soit croissante, et qu’en même tems la courbe soit concave vers l'axe.

Soit 4 le premier point de cette courbe, où l’on a x=—0, y—9(0). À la distance « de l'axe des x menons la droite CM parallèle à cet

SUPPLÉMENT. Sr axe , Jaquelle rencontre en C l’ordonnée prolongée du point 4, et en M la courbe CM; il faut déterminer l’abscisse du point M qui sera la valeur de la racine cherchée.

Pour cela, menons en 4 la tangente 4k, qui rencontre en «4 la droite CM, et appelons 4 labscisse du point k; noûs aurons, en

à supposant 19 p'(x), D GE DIE) ?Co)

Par le point # menons une perpendiculaire à Ck, qui rencontre

Ja courbe en 7; au point n menons la tangente 74', qui rencontre

en # la droite CM; si on appelle #° labscisse du point #', on aura de nouveau

gd cn) ER

Déterminant de même #” par l’équation

PES, V}( c— e(R)

Rnere f er et ainsi de suite, il est évident que la limite vers laquelle convergent les termes de la série croissante X, LE k", etc. sera la valeur cherchée de x. é

On voit donc que pour résoudre l'équation omale ce = (x), il fau-

dra calculer successivement les quantités X, k', Æ", etc. d'après les formules

/ c — e(R) RUES gG) ?

Er: c—@g(#) M POL

etc #

et la dernière des quantités Æ, #', #”, etc., ou la limite vers laquelle elles tendent’, sera la valeur de x.

(39) IL est bon de remarquer, 1°. que les premiers termes de la suite #, k', K", etc. n’ont pas besoin d’être calculés très-exactement ; ce n’est que Jorsqu’ on est parvenu à deux termes peu différens ie de l’autre, qu'il importe de continuer le calcul avec toute la précision qu'on veut obtenir dans le résultat.

Coniiétimiseeant hs sd MÂLE ç

SRE

Fig. 2.

2°, Que si on sait d'avance que x doit être >, alors il faudra supprimer la première des équations de l’article précédent, et partir de la valeur donnée Æ pour déterminer toutes les autres 4”, 4", etc., ce qui abrégera le calcul.

(40) Supposons maintenant que @(x) soit une fonction décroissante , telle cependant qu’on ait @(o) égale à une quantité finie; alors la construction se fera comme elle est indiquée dans la figure 2; et parce que ®'(x) devient négatif dans ce cas, les formules pour calculer successivement Æ, #’, K!, etc. devront être écrites comme il suit :

RAST p(E) — c e ar .o 2 k! À] QE) — c + g(K) ?

On fera d’ailleurs, pour ce cas, les mêmes observations que dans l'article précédent.

(41) Un troisième cas à considérer est celui où la fonction @(x) est décroissante ,. mais telle qu’à l’origine des æ, on ait @(o)— ©. Dans ce cas, il faut qu’en supposant x infiniment petit, la valeur de @(x)se réduise à la forme Æx-"—+ etc. On aura donc 4x7" <c, et par

conséquent x > V . Cela pose, il faut prendre #£ — v(£). el partir de la première valeur x—À pour calculer ensuite les termes #”, 4", etc. par les formules de l’article précédent. La limite de ces termes sera la valeur cherchée de x.

Il peut y avoir d’autres casque Ceux qui sont représentés par les figures 1 et 2; .nous les ex@munerons ci-après, article 76.

Méthode pour avoir la plus grande Racine positive d'une équätion proposée.

(42) Pour écarter toute difficulté étrangère à notre objet, nous supposerons constamment que l'équation proposée n’a point de racines égalés, et qu'elle n’est point divisible par x. Cela posé, on commencera par déterminer la limite supérieure des racines positives,

- 1: SUPPLÉMENT. 33 comme il a été dit dans l’article 35. Soit & cette limite; on aura donc la racine cherchée x £ 4.

Si on fait passer dans le second Here de l'équation proposée tous les termes négatifs, cette équation prendra la forme suivante :

Ge ( ie £ + etc.) AT SE Bart LE cat L'etc. ,

où tous les coefliciens sont posilifs et où il faut observer que les deux polynomes ne peuvent être complets, sans quoi la même puissance de x se trouverait à-la-fois dans les deux membres. Cela posé, si l'on fait ak LE Dai LE x k2 EL etc.

2 Î NL

la fonction @(x) sera une fonction omale croissante de x, et on aura à résoudre l'équation x" —@(x). .

Pour cela supposons que l’on construise sur la même ligne des abscisses, et dans le sens positif seulement, les deux courbes dont les équations sont y = x", y — (x); désignons par P le point d’intersection de ces deux courbes qui répond à la plus grande racine x=r; la racine 7 étant plus petite que &, si on fait x—« dans g(x), on aura une ordonnée @(z) plus grande que l’ordonnée >" du point P; car @(x) étant une fonction omale croissante, si l’on a &>r, il faut qu'on ait aussi @(4)> @(r), ou Q(a) > 7".

Soit z le point de la courbe 7 — 9(x) qui répond à l’abscisse xx ; si on mène par le point 7 une parallele à la ligne des abscisses qui - rencontre en 72 la courbe ÿy—x", l’abscisse correspondante au point m étant nommée «’, l’ordonnée en m sera (æ')" ; ainsi on aura (æ/)"—®(«), et par conséquent a/— 4/@(a). ,

Comme on a @{(a) > r", il s'ensuit qu'on a aussi-æ’>r; mais «/ est plus approchée de x que 2.

L'abscisse, a’ détermine sur la courbe y —@(x) un second point »’ dont l’ordonnée est @(4/); si par ce point on mène une parallèle à la ligne des abscisses qui rencontre en #7 la courbe 7 —x", l’abscisse

correspondante au point 7»! étant nommée &/, on aura æ"—4y@{x'), et l’abscisse &” sera encore plus grande que celle qui répond au point

d'intersection P, mais elle doit en approcher plus que «’.

Fig. 3.

Il est inutile d'entrer dans de plus grands détails, et on voit qu’er partant de la limite supérieure 4>>x, si on calcule les termes successifs a!, æ”, etc. par les formules |

a — V@(2) : d'— Vo(a) : a! — voa"), etc,

la plus grande racine positive r de l'équation proposée sera la limite vers laquelle convergent les termes de la série décroissante æ, 4’, aide dele

Cette suite devra étre plus ou moins prolongée, selon qu'on veut obtenir une plus où moins grande approximation; mais en général la convergence deviendra manifeste après un petit nombre de termes.

(45) Les premiers termes de la suite &,.«/, «', etc. pouvant être fort éloignés de la racine que l’on cherche, il ne sera pas nécessaire de calculer avec beaucoup de précision ces premiers termes; mais lorsque deux’ termes consécutifs commenceront à différer peu l’un de l’autre, il faudra augmenter progressivement le nombre des décimales, jusqu’à ce qu'on obtienne deux termes consécutifs qui ne diffèrent que dans l’ordre de décimales qu’on veut négliger. Pour parvenir plus promptement au résultat, on pourra employer le moyen suivant.

Désignons par &, æ, «” les trois dernières valeurs approchées de r; aux points de l'axe qui correspondent à ces abscisses, menons des ordonnées p, p', p' égales respectivement aux distances 77n!, m'n", m'n/", qui ont pour expression a"—@(a), æ"— (xl), a" (a); faisons passer une courbe parabolique par les extrémités de ces ordonnées, et soit y — 4 -— Bz + Cz° l'équation de cette courbe, z étant l’abscisse comptée du point où x — «. On aura, pour déterminer 4, B, C, les

équations # P TE P = À — B(a— x) + Ce ane p'= À — B(a — a") + C(a—ax"y.

Faisant ensuite y —0, on aura

d’où l'on tire Pabscisse cherchée du point d'intersection r = 47

SUPPLÉMENT. 35 (44) Si l'équation proposée ne devait avoir aucune racine positive, on trouverait que la suite æ, a, «'} a”, etc. n'a point de limite, et que les termes décroissent successivement jusqu'à devenir nuls. On n’en conclura cependant pas qu’il y a une racine égale à zéro, car celte racine est toujours exclue.

On peut d’ailleurs, pour abréger le calcul, chercher d'avance la limite inférieure des racines positives. Il fut pour celà faire

%= =, et après avoir trouvé, par la méthode de l'article 35, la limite supérieure de 3, qu'on appellera À, on en conclura que la plus . ES 1 1 .

petite valeur. positive de x est > < Donc, dès que la suite a, «’, (71 . EN 1 A . æ”, etc. descendrajusqu’à un lerme <=, on sera sûr que la racine cher-

chée n'existe pas. Ce procédé s'applique au cas où, ayant déjà déterminé toutes les racines positives r, r', r,r"", etc., la recherche d’une racine de plus doit conduire à une impossibilité.

Manière de trouver les autres racines positives de la méme équation.

(45) La plus grande racine r étant trouvée, nous chercherons d’abord celle qui la suit immédiatement par ordre de grandeur, et que nous désignerons par 7".

Pour cela, le moyen le plus simple est de revenir à l'équation primitive À — 0, et de diviser son premier membre par x—7r; on aura l'équation du degré 72—1 qui contient les autres racines, parmi lesquelles celle que nous cherchons maintenant, et que nous avons désignée par 7’, est la plus grande. Ne

La nouvelle équation à résoudre pourra être mise sous la forme x"! = N(x), d(x) étant une fonction omale de x. On procédera done . sa résolution par la même méthode qui a été suivie pour l'équation

Nr et en observant que la limite des racines est connue d'avance, puisqu'on doit avoir r< 7.

Il est clair qu’ en. continuant ces opérations on trouvera successivement les autres racines positives ”, r'/,elc. , s'il en existe : et lorsque la racine cherchée n’existe pas , le calcul en maniféstera de lui-même impossibilité, comme nous l'avons remarqué dans l'article 44.

(46) La division de l'équation proposée par x —7r peut s’exécuter

de la manière suivante.

En prenant la même valeur de @(x) que dans l’article 42, l'équation proposée x" — @(x), exprimée de la manière ordinaire, est

x" + fx" ga etc. = ax E bariet LE ox ia LE etc. Soit le premier membre = P(x—r)+p, et le second —=Q(x—r)+,

p et q élant les restes de la division des deux membres par x —7r;

puisque la valeur x —7r satisfait à l'équation, on devra avoir p—,

et par conséquent l'équation du degré z—1 qui reste à résoudre ,

est DER Soit

on aura évidemment

D + far + ga Hart ete. ,

d'x"—ki 3e b'arTk2 + CARS + etc. >