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miers de B, on voit que non-seulement Féquation — me est pos-

B sible, mais qu'il est facile de trouver a priori la YAICRE de €". Donc toutes les équations æ° — By° = = A'z, x°— By°= 4°#, etc. où Bestle même, n’offriront aucun signe d'impossibilité.

Ni allons faire voir matñtenant que là même chose a lieu dans le second système de transformées où, en conservant une même valeur

de: C; on fäit parcourir à la suite décroissante B', B", ete.

1e) Les deux dernières équations du premier système étant x — By — AG) x — By = 482% = Ce (où » et z—:1 sont des.indices et non des exposans), on peut supposer que ces équations satisfont déja aux conditions

ET GA. np (REP RO, eo eo, B;

et il s’agit de prouver que dans la transformée suivante, 2 —4'y—=P' (qui appartient au second système), on peut satisfaire aux deux conditions

gi — Aï LB FRAME A) AD ie

Or la première est-imntédiatement remplie par-l’ équation # es

il reste donc à faire voir qu'on peut toujours saisfaire à. # seconde ÿ— B' A"

Désignons par 8 l'uncdes nombres prémiers qui Cr 45. CE cher-

‘ehons le nombre 4 tel que PSE —e. Si B° est divisible par Ÿ, on aura

L = 0. ou un multiple de.0. Si B'n ’est, pas, divisible Re d il ÿ aura

deux cas à considérer.

1°. Si0 est diviseur de B,il le sera de # etde €”, en vertu des équa-

AE HS ra tm ex ik ne mer + ne. enr 5 mm PE ges 2 A Dern MES DT ur Ê

PREMIÈRE PARTIE. 39 tions 4 — B=—= A"Ark:, CÉ— A"— BB'f*; on pourra donc établie | cette suite d’entiers qui dérivent les uns des autres par des’substitutions :

ou opérations très-simples :

Cr— Ar: LC Ar — kr Ar AI k LC: 4% + B TRES Es ST TURC 7 Sie =e ÿ DRE US e; Ce Bee +B, BHME-B . BK PR ON AS à AR ef ep sr He

Soit donc L = B'fk6, et on aura = me. j

. Si 8 ne divise pas B, il né divisera ni &, ni 6’, on aura donc successivement -

D, fB-PRE, #fph=ce

à ER je — 6 3 —

Mais af et 8 étant premiers entre eux, on peut supposer C'= Vaf—mb,

pl ce qui donnera Ÿ ; 8 = e.

Le même raisonnement ayant lieu par rapport à tous les diviseurs premiers de. 4", il s'ensuit qu’on pourra toujours satisfaire à l'équation

opneriee

(26) Donc l'équation x° —B= 42 sera HUE ; Si l'on peut

3 p à satisfaire aux deux conditions — = €» — F Le, etsi, de plus,

dans la première transformée x°—By°—4'#, on peut satisfaire: à la CE —. A

Cette dernière condition serait superflue, comme on va bientot le démontrer, si les deux nombrés: 4 et: B- étaient premiers entre eux; maïs la proposition générale est susceptibled’étre présentée d'unemanière à-la-fois plus simple et plus: élégante.

Observons, d’abord que toute équation és du second degré peut être ramenée à la forme ax° + by° — cz, dans laquelle les coefficiens &, D, © sont positifs, n'ont deux à deux aucün‘diviseur commuit, et de plus sont dégagés de tout:ficteur quarré. Ce qui regarde les signes est manifeste, puisque toute équation formée avec trois quantités , exige qu’une de ces quantités soit égale à la somme des deux autres. Ensuite si a contenait un facteur quarré 6°, on ferait «0°, xx", etle terme

troisième condition

Fe à $

FE PRE nn ea AR

‘à la condition -

45 THÉORIE DES NOMBRES. | at° se chärigerait*en d'x°, où a’ -n’à plus de facteur quarré. Enfin, si deux.des-trois coefliciens 4, b, c; par exemple, 4 et , avaient an diviseur commun 6, on ferait a—40, b—b4,=c, 270, et lé quation ax°+by®= cz", serait changée en une autre ax? by = cz", dans laquelle 4° et #’ n'ontplus de commun diviseur. < Cela posé, la nouvelle équation ax°-+ by°= cz" étant mise sous la forme Oo) — bc GE ac,peutétreassimilée àlaformulex®—By—47, et la comparaison donnera B = bc, 4 = ac. Où aura donc d’abord les deux conditions à remplir, -

a — bc LE, É° —ac ë a 6) pee.

Soit a—= cu, 6 cy, ces conditions deviendront

. CE og Ge PS & LL | . .

C£ LA sn, LA ï « LL — e, observonsqu'onaa—B—141"},

Ou cu°—b—aA’}, et comme ak° n’a point de diviseur commun avec bc, Aa dernière condition sera remplie si l’on a

Pour exprimerlatroisième

alC'C — cu + b f ie bc Re =

Or pour que le numérateur de cette quantité soit divisible par 2, il suffit que ak°6"6"— cu° le soit, ou bien mettant y au lieu de a en vertu de la seconde condition, il faudra que Æ°€/*°—u* soit divisible par à, ce qui est toujours possible, en déterminant 6’; d'après l’équa- [AT m7

b mun diviseur ( ou lorsque c=— 1), la troisième condition est remplie

ton

—e. De là on voit que lorsque 4 et B n’ont pas de .com-

‘par une suite des deux autres.

Mais s'ils ont un commun diviseur c, il restera encore à satisfaire

akCC + ab

—e, Ou simplement — e. Voici donc un

théorème général, d’après lequel on pourra décider immédiatement, et sans aucune transformalion, si une équation indéterminée du second degré est résoluble ou ne l'est pas. :