IF I

Us = te d — 4,

g = g+ fT, P—=b+E ar, = h<+ gr, = c + br, etc. etc.

Nous aurons donc l'équation DIE fat + g'a" etc. = 02 EE b'a bclar ki S Hetc.y

que l’on peut mettre sous la forme x"—'—@,(x), en prenant une nouvelle fonction, omale ®,(x) , ainsi exprimée : A A RE Dane CE Gas etc:

OR 1 + = <- — + etc:

ïl faut observer cependant que comme Île polynome x" + fx + g'x"#+elc., contiendra nécessairement toutes les puissances de x inférieures à 2— 1, il y aura des réductions à effectuer entre les derniers termes de ce polynome et ceux du polynome a'x"-#st + bai? He etc: En général, dans la valeur de g,(x) il faudra réduire le terme Max", pris dans le numérateur, avec le terme Vx*"i, pris dans le dénominateur, et porter la différence des coefliciens où il y aura excés, c’est-à-dire mettre (W—N )x"-#-i dans le numérateur, sona M>N, et (N—M)x-t dans le dénominateur, si on a M<N.

Cette opération étant faite, on aura à résoudre l'équation x"=9, (x),

dont on sait que la plus grande racine 7° doit être Ær. Connaissant celte seconde racine 7‘, on procédera semblablement pour avoir la troisième 7", et les suivantes, s’il y a lieu.

(47) La méthode que nous venons d'indiquer s'applique de même aux racines négatives ; ainsi On peut trouver par son moyen toutes les râcines réellessd’une équation numérique : peut-être celte méthode estelle ce qu’on peut proposer de plus simple et de plus général pour la résolution des équations numériques, au moins tant qu'il n’y a pas de circonstance particulière qui puisse aider à trouver es racines.

On pourrait, sans changer la forme de l'équation proposée x"=g(x), trouver successivement toutes ses racines, au moyen d’une construction géométrique qui ferait connaître les divers points d’interseetion P, P', P", etc. des deux courbes y =", 7=@(x) ; mais la détermination du second point P', et en général de tous ceux qui ont un rang pair, serait beaucoup moins facile que celle du premier point P et de tous ceux dont le rang est impair. Et puisque tout embarras peut être évité par les divisions successives ou les opérations équivalentes que nous avons indiquées , nous nous abstiendrons d'entrer dans d’autres détails sur ces recherches.

Seconde méthode pour la résolution des équations numériques.

(48) Etant proposé l'équation du degré», L" + fat + ga"? Æ ha + etc, —=0,

dont nous désignerons le premier membre par Æ{x), prenons un nombre 7 de facteurs 1+4-x, 2x, 34x,....n+x, et supposons que le premier membre soit divisé par le produit de tous ces facteurs; on aura d’abord le quotient 1 égal au coeflicient du premier terme, ensuite on pourra supposer que le reste est décomposé en fractions partielles, de manière que l'équation proposée prendra la forme

«) ; © @ SHC hrs aps Tops ne ©

dans laquelle (1), (2), (3), ete. sont des coefliciens qu'on déterminera de la manière suivante.

Soit en général x+-k lun des factéurs x 1, x2....xn, et Q(x) le produit de tous les autres; on pourra faire

F@) @) Eh Fi o:

ce qui donne À — PRE Soit, dans cette équation, x——À4, on aura ñ: N = FD ,

c’est l'expression générale du numérateur de la fraction parüelle qui a pour dénominateur k# +x.

Dans cette expression, Q(— X) est le produit de tous les facteurs (1—k)(2—k) (3—E)....(n—k), excepté celui qui devient zéro pour une valeur déterminée de k. Ainsi on aura successivement

Q(—1) 5 1:2.3. si

CERN ns oc

QE nes QC),

Q(—4) = — nn 9);

eic.

De sorte que Q(— À) sera positif pour toutes les valeurs impaires de, et négalif pour les valeufs paires.

Si Æ(x) reste constamment positif pour toutes les suppositions x——1, —2,—5....—n, il est visible que le coeflicient (4) aura le mème signe que Q(— #), c’est-à-dire qu'il sera positif pour toutes les valeurs impaires de k,'et négatif pour toutes les valeurs paires.

Le contraire aura lieu si Æ{x) reste constamment négatif dans toutes ces supposilions.

Mais cet ordre sera troublé si Æ{x) ne conserve pas le même signe, dans les diverses suppositions x=—1, —2, —3....—n; en général, si F(—%) et F(—k%—+1) sont de signes ‘contraires, ce qui indiquerait une racine négative entre x—=—k et x—-k—1, les coefliciens (4), (k 1) seront de même signe; et ils seront toujours de signes différens si F(— k) et F(—kK—1) sont de même signe.

Ph AR GR ne 2 td

EX A! A4" LA Le Lé (49) Désignons en général par ZE dx). En) etc. les termes

(Xe) B eat

fa dans lesquels (Æ) est positif, et par — RD — en , etc. ceux dans lesquels (Æ) est négatif; si on fait A As A" PR) eee ee elch

B BE! B" HO Sr mie

l'équation proposée se réduira à la forme 1 + P(x) = N(x),

où @(x) et (x) sont deux fonctions omales décroissantes de x. Cette équation peut aussi être représentée par

A B 1 + Re fe; re A .

en désignant par = = la somme des termes qui composent g(x), et

par IE

Suivant ce qui a déjà été dit, on voit, 1°. que les diverses valeurs de a seront tous les nombres impairs, et les diverses valeurs de & tous les nombres pairs moindres que », si Æ{(—Æ) est constamment positif; 2°. que l'inverse aura lieu si Æ{(—k) est constamment négatif ; 3°. que cet ordre ne peut être troublé que lorsque Æ(— Æ) et F(—k—1) sont de signes différens, auquel cas les deux termes qui. ont pour dénominateurs £Hx, #1 appartiennent à une même fonction (x) ou A(x). Donc quand il arrive que deux dénominateurs consé= cutifs kEx, fix se trouvent dans la même fonction g{x) ou L(x), on en doit conclure qu'il ÿ a une racine négative entre x ——# et x——Àk—1. C’est d’ailleurs ce qu’on peut démontrer immédiatement. En effet, supposons, par exemple, que dans g(x)se trouvent lés deux

A" A" termes EE br 3 %——4+®, © étant infiniment petit, on obtient deux résultats, dont l’un est infini positif et l’autre infini négatif, Donc il y a une racine entre — 3 et —4.

une somme semblable pour (x).

si on fait successivement x—=—3—0,

(5o) Maintenant pour procéder à la résolution de l'équation ainsi exprimée par deux fonctions omales simples , il faut imaginer qu’on construise , dans le sens des x positifs seulement, les deux courbes qui ont pour équations y—1+@(x), y—\(x), etles diverses intersections de ces courbes donneront les diverses racines positives qu’on veut déterminer, Prenons d’abord une idée de la figure de ces courbes.

Fig. 4 Soit OX la ligne des abscisses commune aux deux courbes, O l'ori-

et B. gine des x; la première et la plus grande ordonnée de la courbe J—=14-0(x) est représentée par O4 —1+@(o). Passé le point À, l’'ordonnée diminue de plus en plus, à mesure que l’abscisse augmente; elle finit par être égale à 1 , lorsqu'on fait x —. Ainsi en prenant OC=1, et menant par le point C une parallèle à la ligne des abscisses, cette parallèle CZ sera l’asymptote de la courbe y — 1 + @(x).

L’autre courbe 7 — (x), représentée par BPL, a pour première et plus grande ordonnée BO— (0). Passé le point Z, l’ordonnée diminue eontinuellement et devient zéro lorsque x — ®. Cette courbe a donc pour -asymptote la ligne des x.

:- (1) De cette description sommaire on peut déjà tirer plusieurs conséquences relatives au nombre et à la limite supérieure des racines positives.

1°. Si l’on veut déterminer le point Z où la courbe y = +4 (x) rencontre la droite CZ qui est l’asymptote de l’autre courbe y —=1+@(x), il faudra résoudre l'équation omale

Soit À la valeur de x tirée de cette équation, par la méthode de l'art. 40 ; il est évident que s’il y a des intersections entre les deux courbes , elles ne peuvent avoir lieu qu’en deca du point Z. Donc À est plus grande que la plus grande racine de l’équation proposée.

Si donc l'équation proposée doit avoir, racines positives , il faut que l'arc BL soit coupé en 7» points par l’autre courbe. Ces intersections ne peuvent guère être rendues sensibles dans la construction graphique des deux courbes ; convexes d’un même côté, à moins d'opérer sur une très-grande échelle ; mais il suflit pour notre objet d'en concevoir la possibilité.

Fig. 4 2°, Si l’ordonnée du point B est plus grande que celle du point 4,

nee AR NE EG nr SEA Amor

SUPPLÉMENT. 4 c’est-à-dire, si l'on a 4 (0) > 1+9(0), il y aura nécessairement au moins une intersection. En général le nombre des intersections , qui est celui des racines positives de l'équation proposée , devra être imparr, puisque la courbe BZ, qui d’abord est élevée au-dessus de l’autre courbe , passe nécessairement au-dessous dans la région du point Z.

5°. On ne peut avoir d (0) — 1 +9 (0), c’est-à-dire que le point B ne peut pas coïncider avec le point 4, parce qu'alors on aurait la racine X— 0, Cas qui est-exclu, ainsi que celui où l'équation proposée aurait des racines égales.

4°: Il ne reste donc à considérer que le cas de 4 (o) 1<+-9(0). Alors Fig. 5. le point Z étant situé au-dessous de 4, s’il ÿ a une première intersection, il y en aura nécessairement une seconde, et en général le nombre des intersections devra être pair.

5. S'il arrivait qu’on eût # (0) < 1 , le point B tomberait au-dessous de C; il n’y aurait donc alors aucune intersection, ni par conséquent aucune racine positive.

(52) Voici donc les symptômes des différens cas généraux qui peuvent avoir lieu.

1°. Si l’on a (0) > 1 + @ (0), l'équation proposée aura au moins une racine positive ; elle pourra en avoir trois, cinq, et en général un nombre impair. :

2°. Si l’on a (0) <1—+ (0), l’équation proposée n'aura aucune racine positive, ou elle en aura un nombre pair.

3°. Si l’on a (0) < 1, l'équation proposée n’aura aucune racine positive.

Venons maintenant à la résolution effective de l’équation proposée: elle consiste à déterminer les valeurs numériques des racines positives, ou à prouver qu'il n'existe aucune de cesracines.

11 y a deux manières de faire ces calculs ; l'une en commencant par la plus grande racine, l’autre en commencant par la plus petite. Nous allons exposer ces deux moyens successivement.

Recherche de la plus grande racine.

(53) On connait déjà la limite À de la plus grande racine, par la résolution de l’équation omale 1 = 4 (x) ; cette limite est Fabscisse Fig. 6.

du point Z.

Soit Æ le point de la courbe y = 1 + @ (x) qui a la mème abscisse que le point Z ; si par le point # on mène une parallèle à l'axe qui rencontre en £ la courbe 7— (x), et qu'on appelle + l’abscisse du point 4, on déterminera & en résolvant l'équation 1 + (A) — 4 (æ).

Soit ensuite k’ le point de la courbe PÆ qui a la même abscisse que le point i, et dont l’ordonnée est par conséquent 1 + @(x); si par le pôint Æ' on mène une parallèle à l'axe qui rencontre en # la courbe J = + (x), et qu'on appelle 4’ l'abcisse du point ;, on déterminera a’ par l'équation 1 + (x) = 4 (4).

De là on voit qu’il faut calculer successivement les quantités À, «, æ', «’, etc. par la résolution des équations

HUU

éters

et le dernier terme de la suite décroissante À, &, &', «", etc. sera Ia valeur de la racine cherchée r.'

Nous remarquerons comme ci-dessus , que Île calcul des termes A,æ, a’, a", etc. n’exige beaucoup de précision que lorsqu'on est-parvenu à deux termes consécutifs très-peu différens l’un de l’autre.

Nous remarquerons encore qu’au moyen du dernier terme trouvé, qui approche déja beaucoup de la valeur de x, on peut achever le calcul de la manière suivante.

Soit p ce dernier terme, et soit x—p— « ,« ne pouvant être qu'une très-pelite quantité, si on substitue cette valeur dans l'équation proposée 1+p(x)—= (x), le résultat sera de la forme

e = Fo + Go, où l’on a fait, pour abréger, = 1+9(p) — N(p), RE rs. Jour = for

SUPPLÉMENT. 45 On aura donc , en négligeant seulement les quantités de l’ordre €, st Ge A PSE et de là x = p — 0.

Détermination de la plus petite racine.

(54) Il y a deux cas à considérer , selon que 1 + co) est plus petit ou plus grand que 4 (0).

Premier cas , 1 + (0) < Ÿ (o). Alors le point 4, origine de la Fig. 4. courbe y —1+® (x), étant situé au-dessous du point 2 , origine de la courbe y —+4 (x), je mène Ab parallèle à l'axe qui rencontre en b l’autre courbe. Soit « l’abscisse du point b, on trouvera & en résolvant l'équation omale 1+®@(0) — + (4), et « sera une première approximation vers la moindre racine x = r qui est l’abcisse du premier point d’intersection P.

L’ordonnée menée au point à coupe la courbeinférieure en un point a dont l’ordonnée —1-+-@(x). Par le point « menons une parallèle à l'axe qui rencontre la courbe supérieure en L'; si on appelle 4 l’abscisse du point ?’, on trouvera &! par la résolution de l'équation 1 + (a) —= 4 (az). Continuant ainsi indéfiniment, on voit que l’abscisse qui convient au point d'intersection P, sera le dernier terme de Ja suite CAN CIS 7, el:

re pour ayoir la plus petite racine x =r, il faut déterminer successivement les termes &, «', «”, etc. par la résolution des équations omales