IL I

etc.,

et la dernière des quantités croissantes &, «, #", etc., ou la limite vers laquelle tendent ces quantités , sera la racine cherchée x —r.

(55) Second cas, 1 +@(o) > (0). Alors le point B étant situé Fig. 5. au-dessous de 4, on mènera par le point B une parallèle à l'axe qui rencontrera en & la courbe supérieure 4P. Soit 4 l’abscisse du point &, on trouvera « en résolvant l'équation omale 4 (0) = 1 (x), et « sera une première approximation vers la racine cherchée.

LE x ÉLUS RARES CONTRER, L CN ANI PA 2 Ve \g

L'ordonnée au point a rencontre la courbe inférieure en un point à dont l’ordonnée — A (x). Par le point » menons une parallèle à l'axe: qui rencontre en à la courbe supérieure ; si l'on appelle # l'abscisse du point 4°, on trouvera æ& en résolvant l'équation omale Ÿ (a)=1 + 0 (a).

On voit maintenant, sans entrer dans de plus grands détails, que si on détermine successivement les termes &, & , æ, eic., par les

équations À (0) — 1 = Pa), (a) —1—=@(x), d (a) —' 1 = (x),

le dernier terme de la suite &, a’, «", etc. sera la valeur cherchée de la plus petite racine x =r.

(56) Dans les deux cas, la difficulté se réduit toujours à résoudre un certain nombre d'équations omales simples , par les formules de l’art. 40. Nous avons d’ailleurs observé que les premiers termes de la suite a, u!,a", etc. n’ont pas besoin d'être calculés avec beaucoup de précicision ; ainsi, à cet égard, les calculs peuvent être notablement abrégés. On voit ensuite par la nature de ces opérations , que les points a, a’, a”, s'approchent rapidement du point d'intersection P; de sorte qu’on n'aura jamais à résoudre qu’un petit nombre d'équations omales simples: D'ailleurs la détermination de la limite pourra être es ; Si on le juge à propos, par le procédé de l’art. 53.

Il pourra arriver aussi qu’on sache d'avance que la racine cherchée 7 est plus grande qu’une quantité connue. À ; dans ce cas, on partira de la valeur & — À pour déterminer toutes les autres a/, 4”, etc., ce qui abrégera le calcul.

‘Nous observerons encore que dans le second cas, il pourrait arriver qu'on ne trouvät pas de solution ; alors la suiteL (æ), L (2°), J(æ), etc. dont le premier terme est > 1 , en offrirait bientôt un < r, ce qui prouverait qu'il n’y a aucune intersection entre les deux courbes, ni par conséquent aucune racine positive de Féquation proposée.

La détermination de la plus petite racine peut être effectuée par une suite plus convergente que celle dont nous venons de montrer l’usage ; mais avant d'exposer cette seconde solution , nous avons à résoudre le

problème suivant.

sa PR Na ai er MT nn

SUPPLÉMENT. ç 45 De l'intersection d'une droite quelconque avec la courbe omale y = (>).

(57) Soit BNG la courbe décrite d’après l’équation y = (x); Fig. 7. À (x) étant une fonction omale simple qu'on peut représenter par

= Soit F un point donné sur le prolongement de l’ordonnée du

point À ; si par le point F on mène sous un angle donné NFG, la droite F#'G qui rencontre la courbe äu point G, il s’agit de déterminer l’abscisse du point G.

Soit f l'abscisse donnée du point F, la distance donnée FN —c, et 72 la tangente de l’angle que fait la droite Æ#G avec l’axe;si on appelle x l’abscisse du point G, on aura pour déterminer x , l'équation

ne CHYU)=—Y Cx) == NEC,

Or je remarque que le second membre de cette équation est une fonction omale décroissante de x; car à mesure que x augmente , ou à mesure que le point G avance sur la courbe dans le sens des x, ïl est visible que le second membre qui représente la tangente de l’angle que fait FG avec la parallèle à l'axe menée par le point F, diminue continuellement. Au reste cette fonction peut être présentée sous une

Es , 7 : B :

forme entièrement développée ; car ayant fait 4 (x) = 5, si on

bser Re is PE) on pourra faire QOSENEET Ex TE+Ff G+FNDE+z) © P

B QE fi CN fGr porn:

B. A 7 . 4 r A et comme == est la même chose que À (f) , l’équation à résoudre

se réduira à cette forme

c (4 DER

\ u L4 LA B où l'on a fait, pour abréger, C— EE

Comme x doit être plus grand que f, on voit que le second membre de cette équation est en effet une fonction omale siffle de x, à compter de æ=— f; j'observe de plus que cette fonction étant infinie

tt ne ARE RP RARE ATEN AE

lorsque x = f, et nulle lorsque x — «, l'équation sera toujours pos= sible , quel que soit », pourvu qu'il me positif; c’est-à-dire , pourvu que la droite F#G soit menée par le point F, de manière à rencontrer l'axe dans la partie indéfinie fX.

Nous remarquerons encore que si l’on a c—0, ou si le point F coïncide avec le point W, alors l'équation à résoudre devient

(2) ES =; lorre LE c’est l'équation qui détermine le point d'intersection de la courbe

>= "\À(x), avec la droite menée par un point À de cette courbe, ensorte qu’elle fasse avec l'axe des x , un angle dont la tangente — 7».

(58) Dans le cas où c n’est pas nulle, la résolution de l'équation (1) se rapporte à l’art. 41, et il faudra, pour effectuer la solution | conpaître une première valeur approchée de x. Or puisqu'on doit avoir

C . 2 [8 . 3 = #rllen resulte x — : on peut donc parlir du premi er e LA P p P er € .

terme 4 = f + —; Pour calculer successivement les autres termes

k!, k", etc., dont la limite est la valeur cherchée de x.

(59) On peut encore déterminer l’abscisse du point d’intersection G. par le procédé suivant.

Par le point V menez une parallèle à l’axe qui rencontre la droite FG en 7; du point 7 abaïssez une perpendiculaire à l’axe qui rencon— trera la set au point IV'; par le point V' menez de même V7 parallèle à l'axe, puis Z°N” perpendiculaire, et ainsi de suite. Soit f” l’abscisse du point NV’, f” celle du point ]V", etc., on calculera les termes successifs f', f”, etc. par les formules,

F= f +, ANG FU=IRA ie (rs) :

eiC,

‘et il est visible que la limite vers laquelle tendent les termes de la suite f> f'; J’} etc. sera la valeur cherchée de l'abscisse du point G.

Cette méthode est plus simple que la précédente; mais elle ne peut

être employée lorsque c — 0 ; elle ne peut pas l’être non plus lorsque

m = 0 , c’est-à-dire lorsque la droite FG est parallèle à l'axe, parce qu'il n'y a point d'intersection dans le sens où x est > f.

Seconde manière de déterminer la plus petite racine.

(60) Nous supposerons qu'on a 4 (o)>1+@(0o), parce que, dans ce cas, l’équation : FAQ AV (x) a toujours au moins une

racine positive.

Par le premier point B Le la courbe y —4 (x) , soit menée la tan- Fig. 8, gente Ba qui rencontre, en 4 la courbey = 1 + @ (x), et soit æ l’abscisse | du point &, on trouvera , par la formule de l’art. 57 , que « est la racine de l'équation

* se 2aC A AA) tr ant oeme dans laquelle on a e— 4 (0) —1—®(o), et où la fonction omale A US DES FAT A ke

les est déduite de la fonction ® a=f—, en divisant chaque terme de celle-ci par la valeur correspondante de a.

On appliquera donc à cette équation les formules de l’art. 40, en prenant pour première valeur de À, d’après l’art. 41, £ — 0)

Par le point à ainsi déterminé , menez une perpendiculaire à l'axe qui rencontre la courbe supérieure en 2 ; au point à menez la tangente La’ qui rencontre la courbe inférieure en a', et ainsi de suite.

Si on appelle &/, «”", etc. les abscisses des points 4’, a”,-etc., on trouvera que les différens termes æ, a", 4”, etc. se déterminent par la résolution

des équations successives — (0) = O1 -e0 + fie, d'où x = 4, ’ t)—T —@(« A æ 522 EG) = Ce 2Q + fe — De d'où za, 17 t)—1—0(4 A: 2 SR ’ 7 — d'(a) oO =e = Per <UTO, d'où RTS etc. ,

et la limite vers laquelle convergent les termes de la suite croissante a, a”, «',etc., sera la valeur de la plus petite racine cherchée,

à hesg EAN FOSSES Na ÉD ce UN

. Au reste ces formules étant moins simples que celle de l’art. 54, nous nous bornerons au cas qui vient d’être résolu , et nous n’examine-

rons pas celui où l’on aurait À (0) € 1 + 9(0).

Connaissant la plus grande ou la plus petite racine positive , déterminer toutes les autres.

(61) On pourrait chercher successivement toutes les racines par les intersections des deux courbes que nous avons tracées, sans changer la forme de l’équation proposée qui détermine ces courbes. Mais il est beaucoup plus simple , après avoir trouvé la racine x —r, de supprimer dé l’équation proposée le facteur x — r, afin d’avoir l’équation du degré

5 immédiatement inférieur , qui contient les autres racines , et dans laquelle r sera la limite de la racine 7’ qui doit suivre immédiatement r. Voici le procédé qu’il convient de mettre en usage pour cet objet.

Nous avons supposé que l’équation proposée du degré » est divisée par le produit (1-Æx)(2+x)......(n+x), afin de mettre cette équation sous la forme 1 +@ (x) — À (x). Lousque le degré de l'équation se réduit à z— 1, on doit donc faire disparaitre le plus grand dénominateur 2x , afin que le plus grand de ceux qui restent soit »—1+4x, conformément au degré de l’équation. Pour cela il faut multiplier par n—+x les différens termes de l'équation 1+@(x)— (x), et faire ensorte que le produit soit divisible par x —r.

ar

; donc si on fait — À, , on aura

= fée en fé + fée

: B(n—b De même en faisant = B,, on aura

À (x) == otn fe rt-o Ee Substituant ces valeurs et observant qu'on a [= —=® (r,).et fi= D(r), l'équation 1+p(x)=4(x) deviendra

4 B, na HD GE (ef CH) O0

pan RS So en gs Sr ET ERNET

SUPPLÉMENT. 49 Mais- puisque la valeur x — r satisfait à l'équation 1 4+@ (x) = 4 (x), on ar +®(r) —A\(r); effacant donc dans l'équation précédente les termes qui se détruisent, et divisant le reste par r — x, il viendra

+= b+ x ax Cette équation qu’on peut mêttre sous la forme 1 + 4, (x) —9, (x), est entièrement semblable à la proposée; mais elle a un terme de moins ; : car par les valeurs des coefliciens Z,, B,, on voit que le terme qui avait pour dénominateur 2x , disparaîtra, soit qu'il apparlienne à la fonction @ (x) ou à 4. (x).

D'ailleurs on doit observer que comme z est le plus grand des nombres a et b, les coefliciens Z, et B, seront toujours posiufs, de sorte que le passage de l'équation proposée 1 +g(x)=4(x),à"la suivante 1 + Ah (x) = ®, (x) Lqui contient une racine de moins , ne fait qu'ôter un terme de l’une des fonctions @ (x),"Ù (x), sans en faire passer aucun de l’une dans l’autre , comme cela aurait lieu si quelqu'un des coefliciens À; B, devenait négatif. Il n’y a que le terme constant 1 qui change de signe ou qui passe d’un membre dans l’autre.

(62) On voit done que la division de l'équation proposée, parx—r, s'exécute par un procédé très-simple qui consiste à transposer le terme

constant 1, et à remplacer dans chacun des termes rer sp le $ A (n—a) : .B(n—b}

coeflicient par ré et le coefficient B par ep

Maintenant nous n'avons aucune règle nouvelle à donner pour la résolution de l'équation 1 +4, (x) —@, (x). On appliquera à cette équation les formules des articles 54 et suivans; et sachant d'avance que la plus-petité racine r/ est > r, on parviendra plus facilement encore au résultat. Après avoir trouvé la racine 7’ qui ést Ja seconde de l'équation proposée , on formera semblablement une troisième équation 1 9, (x) —"+4, (x), qui contiendra les 7 — 2 autres racines.

On aura donc-ainsi successivement , par des équations qui se simplifient de plus en plus’, les diverses racines positives r , r’, r”, etc: de l'équation proposée, et ce calcul#%séra terminé lorsqu'on sera. parvenu à une transformée qui n’est plus résoluble , ce qu'on reconnaîtra aux conditions que nous avons indiquées dans la solution générale.

(63) La même méthode fera connaître les racines négatives en partant de l’équation proposée, dans laquelle on changera le signe de x , et que l'on mettra ensuite sous la forme 1 + ® (x) = 4 (x). Mais il sera plus simple de prendre la dernière des transformées 1: +4, (x)—®,(x), 1 + P,(x)=1d,(x), etc., laquelle ne contient plus de racines positives, mais peut en contenir de‘négatives. Pour’obtenir celles-ci ; on réduira

cette transformée à la forme ordinaire, débarrassée de fractions , et après avoir changé le signe de x, on lui appliquera la méthode du n° 48, pour la réduire de nouveau à 1 forme 1 + 9 G)= = À (x)4 dont il faudra chercher les racines os

(64) Il reste donc à faire voir comment on peut résoudre une équation qui n'a que des racines imaginaires ; mais ce problème est beaucoup plus difficile que celüi qui consiste à trouver les racines réelles, et nous ne nous flattons pas que les méthodes précédentes fournissent dé grands secours pour sa solution. Il est vrai qu’on pourait trouver les racines imaginaires d’une équation du degré », au moyen des racines réelles

d’une équation du degré FA =), Mais pour peu.que z surpasse #4.

l’extrême complication d’une Lite transformée et des calculs nécessaires pour y parvenir, rend Pusage de ce moyen tout-a-fait illusoire. C’est donc dansdéquation proposée elle-même, et non dans une transformée d'un ordre plus élevé, qu’il faut chercher les moyens d'obtenir les valeurs numériques des racines imaginaires. Nous avons déjà indiqué; pag. 151 du Traité précédent , une méthode qui aurait l'avantage de conduire assez facilement à ce but:, si on pouvait donner quelques lumières au calculateur sur'le choix de la première valeur hypothétique de la racine exprimée par &+ 6 y—-1 ou r( cos Û + 4/— 1 sin4).4Maïs en attendant que cette méthode recoive les améliorations dent elle.est susceptible , nous allons donner les formules qui, dans l'application de la méthode précédente, conviennent au cas des racines imaginaires; et d’abord une racine imaginaire étant représentée par r(cos@=4/—1 sin6), nous Chercherôn$ les limites de la quantité r, qui est en quelque sorte la mesure .de”grandeur ‘ou le module de cette racine , puisque la valeur d’une puissance quelconque »2 de x ne peut jämäis surpasser. 7”, mais peut en différer aussi peu qu’on voudra.

Qx

Limites. de la quantité réelle qui sert de ‘module aux racines imaginaires.

(65) L'équation proposée dont toutes les racines sont imaginaires , étant. désignée par CE A TS A TE AL se ee Aa 0)

si on supposé x = r(cos0—y/— 1sin6), cette équation se partage en deux autres , savoir ,

r" Cos n0 Æ Ar" cos(n—1) OH 4,1" cos (n—2) 8.224,00, : r" sin 70 Æ Air" sin (n—1) 0 Ar sin (n—2)0%.. + A, srsii8=0.

Multipliant la première par cos 8, la seconde par sin 28 , et ajoutantles produits, on a @ EE A;rT cos BE 4,r"T* cos 20... ..+ 4, Cos ri = 0. Or il est visible que l'hypothèse qui rendra 7 le plus grand, est celle où l’on aurait = ANUS Air AS NA, ,

les coefliciens Z,, Z,, 4, etc. étant tous pris positivemeïñit dans le second membre , et alors en appliquant ce qui a été trouvé dans le cas dés racines réelles, art. 35, on pourra en conclure ,

1°. Que si Z,, coeflicient du seconditerme , n’est surpassé en grandeur par aucun des autres coefficiens Z,, 43.....4,,ona

: i Le 2°. Que si 4; et À, sont les deux coefliciens pour lesquels 2; et 4, sont.les plus grands, on aura

r € V4, + An:

telle est donc , dans ce cas, la limite supérieure de la quantité r qui sert e module aux racines imaginaires.

LD (66) Pour avoir la limite inférieure de cette même quantité , j’observe que l'équation proposée n’ayant , par hypothèse, que des racines imaginaires , son dernier terme Z, doit étre le produit de toutes les quantités

r°, r2,1", etc., qui résultent des différentes couples de racines imagiaires. Soit donc r la plus grande des quantités r, 7’, r', etc., et r# ou p

la plus petite, on aura Tr VA, et p < VA

le plus grand des modules r doit donc être compris entre les limites suivantes :

r > VA, EE VA, + VA Quant aux limites du plus petit module p, nous n'avons encore que la

supérieure f < VA; mais il est aisé d’avoir la limite inférieure. Pour cela il faut, dans l'équation proposée, faire x = ce qui donnera une équation de la forme 2e t RAT... B°—t0, #

et il faudra considérer deux cas.

1°. Si P,, coeflicient du second terme, est au moins aussi grand qu'aucun autre coeflicient, on aura, en prenant B, positivement , 2 <1 + P,.

2°. Si BP; ebB, sont les deux coefliciens pour lesquels ÿ/B; et

y/B, sont les plus grands, on aura, en appelant a et D ces deux radicaux, z< ab.

Donc, dans le premier cas, on aura p rer , et dans le second Le

P D a + b° Forme des équations à résoudre dans le cas des racines imaginaires.

(67) Soit F{x) —0 l'équation proposée du degré 7, dont toutes les racines. sontimaginaires ; si on substitue pour x une valeur quelconque x, le premier membre FT#) sera toujours une quantité positive. Il suit de là que si on procède comme dans l’article 48, et qu’on divise l’équation proposée par le produit des facteurs 1+x, 2+x....n+x,

: A B afin de lui donner ala one 1x) = d(x), ow 1 + ff; les différentes valeurs de a seront les nombres impairs 1, 3, 5...7—1,

tandis que celles de ? seront les nombres pairs 2, 4, 6....n.

è Le LA * SUPPLIMENT. 53:

Ainsi, dans le cas des racines imaginaires, les fonctions @(x), 4(x) Sont constamment de la forme suivante :

É(x) = — ) ARS SR 7 (4) (6) (a)

Ve) = + + bo

de sorte qu'elles ont le même nombre de termes.

(68) Cela posé, si l'on fait x r(cosû+ VA sinf), on aura

SAT, A A(a=br cos V/—1.r siné) a+ % a r(cost + V—isn0 — a oarcosé + 7° “

et par conséquent

A Aa ‘ A ; JE + zx = f> —+- 2ar cos 87° A Vs siné) nn Lr°

De là on voit que l’équation 1 + En — = [= a se partagera en deux autres, savoir ,

Hp AGE Le MS Ou ne à fs = be obr cos & + 7°?

(a) PRÈS SU. B [= oar cos 8 + r 7 ) b? Æ 9br cos 6 + r*°

Dans le premiermembre, « aura toutes les valeurs impaires 1, 3,5....7—1, et dans le second , à aura toutes les"valeurs paires 2, 4,6....n. ;

Telles sont donc les deux équations qu’il faut résoudre pour trouver les valeurs de r et de 0 qui appartiennent à chaque couple de racines imaginaires. :

Le nombre r est toujours positif : quant aw nombre cos Ô, il peut être posiuif où négatif; et à cet égard, on pourrait distinguer deux sortes de raçines imaginaires, les unes positives lorsque la partie réelle r cos est positive, les autres négatives lorsque cette partie est négative.

(69) Les équations précédentes peuvent être censées forméés dans la supposition de r cos 8 positif. On pourait en former de Semblables dans la supposition de r cos 8 négatif. Pour cela il faudrait changtr le signe de x dans l'équation proposée, et procéder de même, après ce

Fe

UE = Oo he tar Mérieuoiiss

changement , pour réduire l'équation sous la forme 1 + [= ne Lee a?

ensuite on ferait.x = r (cos 0 +. ÿ/— 1 sin 8), ce qui donnerait deux équations semblables aux équations («), mais dont les coefficiens seront différens.

Ce qui semble nécessiter cette distinction, c’est que si on laissait les équations (æ) sous la même forme lorsque cos 8 ‘est négatif, la fonction

[- le proue serait plus une fonction omale de 7. En effet, S

cette fonction étant différentiée par FÉRPOrR ar, donnerait le coefficient

différentiel m24(r+a cos cos'8)

(a + 2ar cos 0 + 7°}?

lequel ne conserverait pas le même signe depuis r—0 jusqu'à r—, contre la nature des fonctions omales.

Il faudra donc, pour la solution complète de l'équation proposée , considérer deux systèmes semblables au système (a), et dans chacun desquels cos À sera supposé positif.

(70) Soit maintenant r cos 8—p, r°— q, les deux équations à ré-

soudre seront . + f Aa sh Bb + oap +q J + obp+ aq?

ire ® + 2ap + q J b°+ obp + q?

on peut même les représenter plus*simplement par

AG < + =:0 è + 20p + 2 (a') + q

a+ 9ap + q VE

en convenant que Æ sera toujours positive pour toute Vâleur impaire DETTE Dre n— 1; et négative pour toute valeur paire Dh Or n.

Ces équations sont d'une forme assez simple; cependant comme elles contiennent deux inconues p et q, il ne paraît pas qu’on puisse les résoudre par une méthode analogue à celles que nous avons données pour le cas, des racines réelles, qui n'offre qu’une inconnue.

— PA A ne 27 8 ec ES Nr hat re

Si donc on veut éviter les longueurs de l'élimination, par laquelle on pourrait réduire les deux inconnues à une seule, il faudra se borner à résoudre ces équations par une sorte «de tätonnement,'‘en ne supposant autre chose , sinon que 7 ou r*, est compris entre des limites données, et qu'on a toujours p < y/q. «

On pourrait ne trouver aucune solution pour les équations précédentes qui représentent le système (æ); mais alors.les deux équations semblables qui représentent l’autre système, dans la supposition que les racines imaginaires, c’est-à-dire leurs parties réelles , sont négatives, contien— draient nécessairement toutes lés z racines imaginaires de l’équation proposée ; de sorte que si la résolution ne réussissait pas dans un cas, elle réussira nécessairement dans l’autre.

On peut même ne point changer la forme des équations précédentes, et se contenter de changer le signe de p, ce qui reviendra au second système, En effet, la dernière forme ( 4), sous laquelle nous avons mis les équations à résoudre, en employant les inconnues p et g au lieu de r et 8, n’a plus Ptonvestent remarqué dans l’art. 69 et les quatre fonctions

[ Aa Te A | Bb « f B à &— 20p + q ”. J à — 2ap Tq* VE JD? — bp + q ?

considérées tant par rapport tà p que par rapport à g, sont toujours des fonctions omales, puisque p doit tôujours être renfermé entre les li-