A TR

faisant donc H——9F— 2fG+ y», et négligeant les termes qui contiendraient deux dimensions des quantités met», Ôn aura

CE Fee TR Ce p=f+; 2° Goff G + gl

Lt (EEE sfG) PAL PE ma © GC + 9fFG+ GE"

Ces valeurs serviront à leur tour à en faire connaïtre de plus approchées,

s’il est nécessaire.

(72) Appelons de nouveau d et gles valeurs corrigées de p et 4; on en déduira les deux racines États æ = fÆ Y(f° —g). Pour avoir ensuite les autres racines de la même équation, il faut former l'équation qui les contient.

Soïent x —1/, x — r" les deux racines re vient de déterminer , il

faudra dans l'équation proposée 1 + /= er — 0 , remplacer le coefi-

"fau OP RE AT Een mi sim à

SUPPLÉMENT. 57 ‘crient À par un nouveau coefficient

nt 2 M Cm re D à Se (a+r)(a+r") E C’est en effet la conséquence qui résulte des formules de l’article 6x; et comme on a (ar) (a+r")—=a + af g, la valeur de A, sera . (n=d) (nee) A Se ouh ete À.

Cela posé, la nouvelle équation du degré: r — 2 à résoudre sera

AAA Sue TE ax 95 et par la substitution x — p + y/(p°— q), cette équation se: partage en deux autres, savoir ; * A,a

a + 2°ap + q Ces équations sont entièrement semblables à celles de l’art. 70, mais elles contiennent chacune deux termes de moins , puisque les valeurs de Z, qui répondent aux valeurs 4a=n, a = n —1,sont nulles. Ainsi la dernière des valeurs de & sera 7 — 2, parce qu'eneffet l'équation à résoudre n’est que du degré 7 — 2.

(73) Au moyen de cette analyse , on forme avec beaucoup de facilité les diverses équations qui restent successivement à résoudre , à mesure qu’on trouve deux des racines imaginaires de l’équation proposée. Le procédé pour passer d’un système au suivant , consiste à supprimer deux termes dans chacune des deux équations du système , et à modifier les coefficiens des autres termes suivant une loi constante. Ce procédé donne immédiatement le, résullat qu'on obtiendrait en divisant l’équation proposée par le facteur correspondant aux deux racines trouvées, et mettant ensuite le quotient sous la forme qui convient à notre méthode,

Lorsque les opérations nécessaires pour obtenir les racines réelles sont terminées, et qu'il ne reste plus à résoudre qu’une équation de

degré. pair dont toutes les racines sont imaginaires, on est assuré

d'avance que la résolution est possible, Si donc la recherche qu’elle occasionne devient longue par les tàtonnemens'qu’on ne peut guère éviter, au moins elle ne sera jamais infructueuse. D'ailleurs à mesure que les opérations avancent, elles se simplifient progressivement par la diminution du nombre des termes qui devient successivement n—12,n—/4, n—6, elc., comme le degré de l’équation ; et lorsqu'on est parvenu à une transformée du quatrième degré, la solution peut être achevée sans tàätonnement.

(74) La méthode que nous venons de développer est encore. fort imparfaite ; mais elle a quelques avantages particuliers qu'elle doit à la simplicité et à l'élégance des formules. Le plus considérable de ces avantages consiste en ce que, si l’on substitue différentes valeurs pour p ou g, afin d’en trouver qui satisfassent aux équations , la substitution se fait dans chaque dénominateur 4° 2ap<- q , sans exiger aucune opération complexe.

Il n’en est pas de mème lorsqu’en faisant x—r(cos9 y/— 1 sin 8), on a à substituer une nouvelle valeur de r ou une de 8, dans les équations dont ces inconnues dépendent, pag. 150. Ces substitutions exigent des opérations compliquées , surtout pour avoir les sinus et cosinus des. multiples de Ô : ce premier avantage est déjà très-grand.

Il y en a un second qui n’est pas moins remarquable. Il consiste en ce que les deux équations à vérifier se forment simultanément d’une manière tres-simple. En effet, si en attribuant des valeurs particulières

x Aa

à p et g, on trouve chaque Re a + F'(a) si a est impair , et — F(a) si a est pair , la première des deux équations (z’) étant ainsi formée ,

LS U) EUR (S) EF) UNE ne nu (a) = F (4) (0). Pin) i

EF (a), savoir,

on en déduit immédiatement la seconde qui est

F(G) H3F(5) + 2F(5).....+ 2 F(n—:) — LEF(2) — 3 F (4) — EF(6).....— © F(x)

Il devient donc très-facile de vérifier les deux équations à la fois.

it PR AS ÉAE TASSE ne as es ces po

(75) Nous croyons avoir expliqué les méthodes précédentes avec assez de détails, pour qu'il soit superflu. de produire des. exemples de leur usage. Nous ferons seulement une observation générale qui pourra être utile dans des applications ; c’est que si la grandeur des coefliciens de l'équation proposée ; Ou le caleul de la limite supérieure des racines , indique que ces racines doivent être de grands nombres, il conviendra de les réduire à une grandeur médiocre, en faisant æ—my,m élant 10,100, ou tel autre nombre qu'on voudra, au moyen duquel les valeurs de y ne puissent contenir que des unités ou des dixaines au plus. De même si les coefliciens de l'équation proposée étaient tellement petits qu'on düt en conclure que. les racines sont

beaucoup plus petites que l’unité , il faudrait faire x — Z., et prendre

m de manière que la plus grande yaleur*de y püt aller jusqu’à un ou deux chiffres en nombres entiers. La transformalion est utile dans le second cas surtout , pour éviter que les racines ne soïent rapprochées dans un trop petit espace , et qu’on n’en omette quelqu’une dans les approximations successives.

(76) Nous terminerons ces Recherches par une remarque nécéssaire pour compléter la résolution de l'équation omale c—œ @(x), donnée dans les art. 58 et suiv.

On a supposé tacitement, dans ces articles, que la courbe décrite d'après l'équation y — (x), était toute concave ou toute convexe vers l’axe, dans la partie soumise ‘au calcul, savoir , depuis xæ— 0 ou x — À, jusqu'à x — 7, r étant l’abscisse du point d’intersection Y. Cette propriété en vertu de laquelle la suite k, k, #”, etc. est conunuellement croissante vers la limite cherchée r, a lieu dans une infinité de fonctions omales , et notamment dans toutes celles dont on fait usage dans notre seconde méthode. Mais en général la définition des fonctions omales n’exige qu’une seule condition , savoir, que lé coefficient

différehuel ie TC

conserve le même signe dans toute l’étendue des

æ positives. Il peut donc arriver que le coeflicient du second ordre

dd Tr . . È A , + change une ou plusieurs fois de signe dans la même étendue,

et alors la courbe 7 —@(x) éprouvera une ou plusieurs inflexions ou changemens de courbure. Supposons, par exemple , qu’un changement

de cette sorte ait lieu entre les deux points # et k", ce qu’on reconnaîtra par les deux différences @(#)—c et @(k")—c qui devront être de signes différens; si on continue les calculs d’après les formules des art. 38 et 40, afin d'obtenir la valeur ‘du terme suivant #/, on trouvera #” <<! , de sorte que lasuite k, k, k”, k!' cesse d’être croissante après le terme 4". :

Cependant si l’on a en même tems #”> #, on pourra continuer le calcul des termes suivans par les mêmes formules, et on arrivera également au résultat, qui est la limite des termes X", 4!!, A", etc.

Mais il pourrait arriver qu’on eût 4” < K', et alors en continuant le calcul par les mêmes formules , on s’éloignerait de plus en plus du vrai résultat que l’on cherche. Pour obvier à cet inconvénient, le moyen le plus simpletest de joindre les deux points ‘#’, #” par une droité qui coupera la droite CM en un point dontil est facile de déterminer la position. Soit £” l’abscisse de ce point son aura

c—o(K Ju — 7 mL CS LT (HT) 5 et 4’ sera une valeur très-approchée de la racine r. On continuera ensuite par les formules ordinaires, le calcul des termes suivans A", 4", elc., et la limite de cette suite sera la racine cherchée.

En généralles exceptions dont nous venons de parler né se rencontrent que dans des cas où la résolution se simplifie d'elle-même, puisque sachant que la racine cherchée doit être comprise-entre Æ’ et X”, il est facile ensuite de resserrer ces limites à volonte.

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SUPPLÉMENT. Gi