PREMIÈRE PARTIE
EXPOSITION DE DIVERSES MÉTHODES ET PROPOSITIONS RELATIVES A L'ANALYSE INDÉTERMINÉE.
$ I: Des fractions continues, 4
Définition des quotiens-complets. et des fractions convergentes,
Propriétés générales des fractions convergentes, Condition pour qu'une fraction donnée soit comprise parmiles fractions convergentes, 20 Application à l'équation p°— 4qg® —=£ D, 21
Des fractions continues s mmétriques,
SIL. Résolution des équations indéterminées du premier degré,
S IT. Methode pour résoudre en nombres rationnels les’ équations indé-
terminées du second degré, 2 Réduction de l'équation générale à la forme x°— By°— 42’, 28 Résolution de l'équation x°— y —=4z", 29 On donne, d’après Lagrange, les He de diminuer successivement les coefficiens
A et B. jusqu’à ce que l’un des deux soit égal à l'unité, 30
S IV. Théorème pour juger de la possibilité ou de l'impossibilité de toute
équation indéterminée du second degré, 35
Une telle équation étant réduite à la forme ax° +- bÿ®— cz°, dans laquelle &, b, c sont positifs et dégagés de tout facteur quarré; elle sera possible, s'il y a trois
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se TABLE DES MATIÈRES.
ab cu—b c—
entiers À, &; Y, tels que les trois quantités nd rt) me
des entiers; autrémeñt elle sera impossible, pag. 41
&S V. Dépeloppement de la racine d'un nombre non- quarré en fraction
continue 42 Loi générale du développement , 43 On prouve que la fraction continue est périodique, 45 On ‘en conclut que Loin A RES Ayÿ—=1 admet toujours une infinité de
solutions , 47
$ VE Résolution: en nombres entiers de l'équation indéterminée. +. x Ay°=ÆED, D étant <VA, 48
Condition pour que l'équation soit possible, 1 Formules générales qui contiennent une infinité de solutions de l'équation proposée, 52
S VIL Théorèmes -sur la possibilité des équations, de la forme...
Mx—Ny =Hr, où Æo2, 54 A étant un nombre premier 4n+1, l'équation x° —4ÿ ——1 est toujours possible , 55 Æ étant un nombre premier 87 +3, Las Fe — Aÿ*—=—2 est toujours possible , ibid.
A étant un nombre prenier 8n + 7, l'équation a — Aÿ = 9 est toujours possible H 1bid. M. et IV étant deux nombres premiers 474 3, l'équation Max? — Ny° =+1, ou l'équation Mx° — Ny°——1, sera toujours possible , 56 Les mêmes théorèmes se déduisent de la considération du quotient-moyen dans le développement de W/4 en fraction continue, 57
Moyen direct de mettre 4 sous la forme D°-+Æ, lorsque 4 est un nombre pre- -mier 4n + 1, ou lorsqu’en général 4 rend possible l'équation æ°—4y—=-1 60
S-VIIL Réduction de la formule Ly° + Myz + Nz° à l'expression la
plus simple G1
Cette réduction se fait par la méthode.de Lagrange (Mém. de Berlin, an. 1775). On démontre ensuite, par une méthode particulière, que deux formules py?+-2qy2-+r2”, p'y° + 2q'yz +rz, dans lesquelles pr — q° et p'r'—q'? sont égales à un même nombre positif 4, sont différentes l’une de l’autre, si elles satisfont à la condition que le coellicient-moyen ne surpassé aucun des extrêmes , 66
$S IX. Développement de la racine d’une équation du second degré en
fraction continue, 68
Loi générale du développement, la même que pour. les simples racines quarrées,, 70
On prouve que la fraction continue est périodique, 71
On détermine l'expression générale des diverses fractions conyergentes qui répondent
à un même quotient dans les périodes successives, 73 æ
TABLE DES MATIÈRES. xx Considérations diverses.sur la vésolution de l'équation {y gyz + h2=2+ D, pag. 76
S X: Comparaison des fractions continues résultantes ‘du développèment
. des deux raëines d'une méme équation du second degré, 4 #80
On ‘prouve que la période comprise dans le’ développement d'une racine est l'inverse dela période comprise dans le développement del'autre racine, 1bid.
S XI. ‘Résolution er nombres entiers de l'équation: Ly°. + Myz
+ N—+H, | dors LB
Il ne peut y avoir une infinité de solutions que lorsque 3° 4LN est un nombre positif non-quarré: on résout alors l'équation en la ramenant-au cas où le second membre = #1, ; 92
On coïfirme par divers exemples la remarque déjà faite, que les formules obtenues par le développement d'une racine contiennent DIRE le résultat du développement des deux racines à: 100
$S XIL Démonstration. d'une proposition supposée dans les paragraphes
précédens ; 102 Etant proposée l'équation fy*+2y2+h2"="2#2H, dans laquelle on a H<24/(8%—4fh};
si cette équation est résoluble, la fraction Ÿ se trouvera parmi les fractions con:
vergentes yers une racine de l'équation fx + gx + h —0o, 105 Les cas qui semblent faire exception sont néanmoins rie dans les formules générales 5 109.
$ XIIT. Réduction ultérieure des formules Xy° + Myz 4: Nz°, lorsque
M°—4LN est égal à un nombre positif, I
On! donne pour cet objet‘une méthode directe fondée sur le développement en fraction continue d'une racine de l'équation Lx + Mr N—o,! - 113
Les Tables I et II, construites d'après cette théorie, offrent les réductions toutes faites pour un grand nombre de formules. Woyez le Recueil des T'ables.
$ XIV. Développement en fraction continue de la racine d’une equation
d'un degré quelconque, 121
Méthode générale due à Lagrange. — Perfectionnement de cette méthode par le
même auteur, 125 Observation sur le nombre des quotiens nouveaux qu'on peut dédüire des quotiens
déjà trouvés, 126 Exemples de développemens qui offrentdesrapports remarquablesentre lës racines, 130 Observations sur la solution de quelques équations indéterminées d’un degré élevé, 133 Rapport remarquable entre les racines des transformées successives et les racines de
la proposée, * 159 Développement en fraction continue d’une racine réelle de toute équation proposée 143 Méthode pour obtenir la première approximation dans leséquations algébriques, 145 Nouvelle méthode pour l’approximation des racines imaginaires, 151
vi TABLE DES MATIÈRES.
Cétte méthode prouve directement que la valeur de l’inconnue peut toujours être
représentée par a=H6/—1; & et C6 étant réels, pag. 153 S XV. Résolution en nombres entiers. de: l'équation ‘indéterminée... LyMypz ÆNpr22. EE VR=EN, 154 On ramène cette équation au.cas où le second membre —=Æ#1, zbid. Recherches sur les moyens de déterminer y et z, pour que. la «fonction homogène air bu + cu? H ku soit un minimum , #19)
7e “RARE RAY :
On prouve que dans le cas du minimum la fraction 5 doit être l’une des fractions
- convergentes vers une racine réelle de léquation ax" + bat Æ can, ,, 4 Ro, ou yers la partie réelle d’une racine imaginaire de la même équation, 159
