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= — Telle est la loi très-simple par laquelle d'un quotient-complet quelconque PES , on déduira le quotient-complet suivant . ; et il
n’est pas à craindre que: les nombres Jet D’ soient ni s car si on substitue'la de T dans celle de D, on aura.
D = AGP EN = Le ul D. Or ayant 41° DD, si
‘on désigne par” VAT le quotient-complet qui précède = - Où
aura nn ga À —P— DD, donc D = D + oul = wD.
D'où:l’onfvoit que puisque les nombres D et Z sont entiers dans les
deux premiers quotiens-complets — Pe LES ; is le seront néces-
sairement dans tous les autres à l infini, La valeur on vient de trouver pour D’, peut aussi se mettre sous
là forme D'— rt I—T); ainsi des deb HOME SCO DIes con- : sécutifs
7 pe — 4 + Vatr, v
on déduira le quotient-complet suivant Lee mules Z =uD—1, D—D'+u(1—T); ce qui réduit la loi de continuation au plus grand degré de simplicité.
, au moyen des for-
: (30) Supposons maintenant que 2; is deux fractions Consécu-
. =: , VAX è 3 SES tives convergentés vers ÿ/4; soit IAE Te quotient-complet qui ré—
pond à la fraction Ê, on aura, suivant le principe connu, q
VAIN SE, nn D )+r __pWA4+pl+pD TT [VAT . 7 gVA+ql+qD?
d'où lon tire les deux équations
pl + p°D = qA g1+gD=p, lesquelles: donnent :
(pg —p°q) 1= gg A — pp’ (pg° —pq)D=pp — 4gq.
Or, par la propriété des fractions continues (n° 6) on a pq —p°q=#+1, si ; est > y 4, et pq —pq=—1;s à est <y/A, doù l’on voit que
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PREMIÈRE PARTIE. 45 pÿ pq a toujours le même signe que pp—4qq, et qu'ainsi D est toujours positif. Ces valeurs prouvent encore immédiatement que D et Z sont toujours des entiers; je dis de plus.que Z est toujours positif; car
d’un côté l'équation 91 + 9° D —=p donne L— Ca 1): D, et puisque g° est <q, il faut qu'on ait D>°—I, ou D>yA—T; d'un autre côté, on a nés H, donc de y/A+I. Or ces deux conditions se-
raient incompatibles, si Z était negatif,
Cela posé, il est facile de trouver les limites que les nombres Z et D ñe peuvent surpasser ; l'équation 4—7°— DD° donne 74/4, ainsi Z ne saurait excéder l’entier a compris dans ÿ/ 4, et puisqu'on a d’ailleurs J+7=pD, il s'ensuit que 24 est. la limite de D, et en même temps celle du quotient w. à
Mais puisque la fraction continue qui représente la valeur d'ane quan: tité irrationnelle doit s'étendre à l'infini, et qu'il ne peut y avoir qu'un certain nombre de valeurs différentes tant pour Z que pour D, il'est né- Ces$aire que la même valeur de 7 se rencontre une infinité de 10 avec la même valeur de D ; or dès que l’on retrouve pour le quotient-complét
KA == une valeur déjà trouvée, il est clair que les quotiens suivans de
la FT EE continue doivent être les mêmes et dans le méme ordre que ceux qu’on a déja obtenus; donc la fraction continue qui exprime ÿ/ 4 sera Composée (au moins après quelques termes).d’une période constante qui se répétera à l'infini, comme on L déja vu dans un cas particulier, n° 28.
” (31) Il s’agit présentement de déterminer le point précis où commence
la période, Nous supposerons. que Cette période est u, w',m"....n, et
nous désignerons à l'ordinaire la suite des quotiens , et celle des frac-.
tions convergentes qui leur répondent jusqu'au commencement de la ; Mseconde période, comme il suit ;
; 7,7 ‘ ’ = Quotiens 4, x 6 DRM IN SELS, me... OU US Leco,: etc. Fractions {: a PA eap p°1 : pi convert let ET PT PS PAPE ee er er ATOS —.,.. PR urbus
1 9 Soient en même temps les valeurs correspondantes du quotient-complet
VA VA+a VA+IE VA+I VA+HIA VA+HI D
BR NS TRS ET TP? eo en. 9 CRAREARENNEE, 1 T3 2
on aurad’abord, parce quiaété démontré, 4—7=—DD° et 4—F—=DD\x, ce he donne/)°1=— =D"; onaura aussi Z—AND° 7? et 1—001)°1— La d'où
dar et Mais d’un autre côté, équation 7° D=p,
donne LE =; et puisque ? est une valeur approchée de ÿ À,
k q ir
on doit avoi ; a+ une ; fraction = G° d'où résulte
d D gs a—T= are
donc à cause de g° <q, \on-aura 4 — «D ; on:aura.semblablement ail <D°, ar << Du; doncà plus {orte raison °— 1, D°,
Mäis ‘on a trouvé ES — à l’entier À —w , donc:il faut que cet-en-
tier soit zéro; doncion aura à LP: et A0.
On Fous de méme.que le quatient qui précède À est nes à celui qui précède .«,, -et ainsi.de suite jusqu au quotient a ; de sorte que le quotient est, let qui-revient le sp EE set qui he commencer la période.
:(82) .Gela pOE Soù peut «représenter ainsi la série des RAC et celle des fractions convergentes qui leur répondent dans le développement de. 4.
Quotiens......ia; @, 6.... Ajm;sa,6,.. À, jm; ï@, 6,...À,M; etc.
est 1 a Fe, es Qi. pi ? pi Fract. convérg. =, =,...... Es 2e RATE ETES NERO NP ASS E ..
Dans. cette disposition , Rest la fraction convergente.qui répondrau dernier quotient w de la première période &,6...7, p; soit s le quotient-complet correspondant, on aura =—u—1/4—a,ouz=u—a+ 4, ét il'en résultera, suivant le ‘principe ordinaire, VA=— PRDR RUE PVA+p(u—a)+p°.
gz+q TT qVA+qUu—a) +9 Me ce qui fournit les deux équations
La seconde équation donne nt ; , d'où il suit que u—« est
eat ne gi 2 ETS ne, a
