PREMIÈRE PARTIE

le plus grand entier compris dansP; cet entier est égal à 4, amsione q

H—a—=a, Où p— 24. En même temps, puisque g° —p— aq, il s'ensuit que la série des quotiens &, 6,...0, À qui précèdent w est sym-

métrique (n° 11), car P est l’une des fractions convergentes vers

WA —a, quantité égale à à la fraction continue = sebpicele

+ € etc.

fraction convergénte est précédée does F GE ; donc puisqu'on a q°—=p—44,

d faut que la période æ&, €,...8, À soit identiqueavec son inverse à, 0...6, a: Et de toutes ces mn il suit que les. quoôtiens prove tians da développement de y 4;"procèdent suivant cette loi :

dj 0,67. y,6, @, 25 4,6,%.Yu6s d; 243 etc; loi qui deviendrait encore plus régulière, si le premier quotient était 24 ou zéro; c'est-à-dire s'il s'agissait du développement de y 4 +4,

(33) Il est important d'observer , que toute: fraction convergente, e qui répond au quotient 2a dans une période quelconque, est telle qu’on a p°— Ag ="? 1. Car lorsque le quotient u— 24, l'équation F4 Dy; où Z et 7° ne peuvent excéder a (n° 30), donnera nécessarement T=T°=a, et D—:1; donc l'équation (pg°—p°q) D=p"= 4p, de: vient p— Ag =, savoir Hi, sil est > 4/4, et —:1 dans le cas contraire. 7 :

Puisque le quotient. 24 se trouve nécessairement dans a développement de ÿ/4, il s'ensuit donc que l'équation x°— 47° ="# x est toujours résoluble (a@oins avec le signe ++), quel que soit le nombre 4, pourvu qu'il ne soit pas un quarré parfait; et on voit en même temps qu'i y aura une infinité-de solutions de cette équation, puisque le quotient 24 se répète une infinité de fois dans les périodes successives.

Au reste , si le nombre des termes de la période &, 6:.: 6 4, 2mest

par, toutes les fractions qui répondent au quotient 24 dans les diverses périodes, seront plus grandes que yÿ/4, et ainsi dans ce cas,ices fractions ne salisferont qu'à l'équation x%—4y°—=+41. Maïs si lenombre des termes de la période est impair, alors la prennière fraction quiréporid au quotient 24 Sera plus petite que-4/4, la seconde plus grande, et ainsi alternativement; de sorte que dans ce cas, l'équation x°—4}°=—1 sera résoluble aussi bien que lé équation x°—"Ay° = + 1 : la première pæ les fractions convergerites, de rang impair, la. seconde par celles de rang pair.

| ni Fe | | ui lN | (ati » Hi H op |] | r4 | ri | | | UE | [ || æ fl & l ( || :

$ VI. Résolution en nombres entiers de l'équation indéterminée x°— Ay° =Æ D", D ant <\/A.

. (54) No us avons fait voir dans le paragraphe précédent, que l’équa=

tion x°— Ay°—+1 est toujours résoluble d’une infinité de manières\, quel que soit 4, pourvu qu'il ne AP un quarré parfait. Quant à l'équation x°— 47° ——1, elle n’eStrrésoluble que dans certains cas particuliers; et comme la solution, lorsqu'elle est possible, doit se trouver parmi les fractions convergentes vers ÿ/4, la condition nécessaire et en même temps suflisante pour la possibilité de cette solution ; est que la période de quotiens donnée par le développement de y 4 soit composée d’un nombre de termes impair.

Les solutions de l’une et l’autre équations se tirent immédiatement des fractions convergentes vers 4/4, savoir, de celles qui répondent au quotient 24 (a étant l’entier compris dans 4/4), et il y en a une infinité, puisque ce quotient, ainsi que les périodes qui le comprennent, se répète une infinité de fois. Le numérateur de chaque fraction est une valeur de x, et son dénominateur la valeur correspondante de y.

Nous ferons voir ci-après comment on trouve « priori l'expression générale des diverses fractions qui répondent à un même quotient placé de la même manière dans les périodes successives. Dans le cas présent , il suffit de faire connaître le résultat qui d'ailleurs vérifie immédia-

tement.

Soit la première et la plus simple des fractions convergentes qui ré-

pondent à un même quotient 24; si l’on a p°—4q=+1, ou si le nombre des termes de la période est pair , l’'équationx?— 4y°=—+-1 sera, comme nous l’avons déjà dit, la seule résoluble. Pour avoir alors la solution générale, il suffit d'élever p+9y/4 à une puissance quelconque w, et d’égaler le résultat à x +744. En effet, si l'on a.

* (p+qgvVAY=x+y VA, x et y étant rationnels, on aura en même temps

(p—gVAY=x—yvA.

TRES LT I) TRS POUMPNRTE NPUTACRQEET VE.» 1 Ur

M Er rieur D tenir - A. er que ns ces Re

PREMIÈCRE PARTIES 49

Multipliant ces deux équations entre elles, le produit sera 2° — Ay° — (p— 49 ÿ= 17 —T;

Donc en effet les valeurs trouvées pour x et y satisferont à l'équation x°— Ay° = 71, quel que soit l’exposant m. On peut aussi avoir séparément les valeurs de x et y par les formules

PC 126 bn (p— V4)" 2, i (p+qgVd4)r—(p— paye DE 2 A

lesquelles donneront toujours des nombres entiers pour x et y:

(35) En second lieu, sion a p°— 479 —— 1, ou si le nombre des termes de la période est impair, alors’il est visible qu’on peut satisfaire à-la-fois aux deux équations x°— 4ÿ°—=+1, x — Ay°=—5, savoir, à la première, par les puissances paires de p 9y/ 4; et'à lä seconde, par les puissances impaires de ce même binome. Car si Von fait (P+qVAŸi=xtyy A, on aura x°— 47 —=(—1)"—#1, et si l'on fait (p+9y 4) x +74, on aura à — 47 =(—1) tr.

18 2 É Par exemple, lorsque 4 — 13, on trouve È == F et p— 157 —=—1:

Donc en faisant (18+54ÿ/15)*—=x+7#13, on satisfera à l'équation É— —1, et en.faisant CRETE 0 peste TA ISS où : salis-

fera à AE X— 13° = — 1.

Les moindres nombres qui satisfont à l'équation x°—13y°=1, sont donc x—=649, = 180, car on a (185413) — 649 + 1804/13. Quelquefois les ROPE es les plus simples qui satisfont à une équation ‘donnée x°—4y°—=t1 sont beaucoup plus considérables. Par exemple, la solution la plus simple, de l'équation x°—2117*=1, est

x — 278 354 -373 6bo

Mol 102-200 509, et la solution la plus simple de l'équation 4? —991y° = 1. est æ — 37951 64009 06811 093063 80148 96080 J = 1205 657557 90531 5594474425 58767.

D'où l’on voit combien il est nécessaire d’avour, pour la recherche. de :ces nombres, une méthode sùre et infaillible, telle que celle que nous

avons exposée; car on.se tromperait beaucoup, si après avoir: essayé inutilement la résolution pär des nombres médiocrement grands , on concluait qu’elle n’est poSsible.en aucuns nombres.

-(56) Fermat est le premier qui ait paru connaître la résolution de l'équation x°—Ay°—1; du moins il proposa ce problème comme par défi aux Géomètres anglais, et mylord Brownker en donna une solution qu’on trouve dans les Œuvres de Wallis, et qui est rapportée à peu près textuellément dans le second volume de l'Algëbre d'Euler. Mais d’un côté, Fermat n’a rien ‘publié sur sà propre solution, et de l’autre, la méthode des Géomètres anglais , quoique fort ingénieuse, n’établit cependant pas d’une manière certaine, que le problème soit toujours possible, Il restait donc à démontrer, que l'équation x? — 4y°—1 est toujours réSoluble en nombres entiers , et c’est ce que Lagrange a fait d’une manière aussi élégante que solide, dans les Mélanges de Turin, tome IV, et ensuite dans les Mémoires de Berlin, ann. 1567; cette démonstration, ainsi que la méthode de solution qui l'accompagne, doivent être regardées comme l’an des plus grands pas qui aient été faits jusqu'a présent dans l'analyse indéterminée. En effet l'équation x° — 4y° —1 n’est pas seulement intéressante en elle-même; elle est encore nécessaire dans la résolution de toutes les équations indéterminées du second degré, où elle sert à trouver une infinité de solutions quand on en connaît une seule.

On trouvera à la fin de cet Ouvrage une Table, n° X, qui contient, sous la forme de fractions, les solutions les’ plus simples de l'équation m — An =ÆE1, pour tout nombre non quarré 4 depuis 2 jusqu'à 139.

L'inspection seule des chiffres qui terminent les nombres m et » fera voir s'ils satisfont à l’équation m°— An, ou à l'équation... mm — An° — — 1. Quand ils satisfont à cette dernière, il faut faire {many 4) =p4#qy A, afin d'avoir les moindres nombres p et 4 qui

saüsfont à l'équation x°—4y°—= +1: on à alors p=2m—1, 4 — 2mn.

(37) Venons maintenant à la résolution de l'équation proposée x*— Ay° = ED. On a vu (n° 10) que lorsque D est <y/4, comme

" . TL: . 1 . ; nous le supposons, la fraction = doit être l’une dés fraétions conver-

J gentes vers ÿ/4. Il faudra donc développer ÿ/4 en fraction continue,

É : à: A+I à et calculer les valeurs successives des quotiens-complets LA FAST

parmi ces quotiens-complets, il s’en trouve un dont le dénominateur D soit égal au second membre de l'équation proposée, on en déduira une

TE ge mr

PREMIÈRE PARTIE. © br solution, soit de l’équation x 4y=+D, soit de l'équation &° — Ay° — — D : il faudra pour cela calculer la fraction convergente : qui répond au quotient-complet dont il s’agit; si cette fraction est de

rang impair (: étant censée la première), elle sera plus grande que /4, et ainsi on aura p*— 4j —<+1; si elle est de rang pair, on aura p—4q9 =D.

Il peut se trouver plusieurs fois le même nombre D dans la même période, et il se rencontrera toujours au moins deux fois, puisque la période est symmétrique (excepté lorsque le quotient auquel répond Ê est le terme moyen de la période, abstraction faite de son dernier terme 24). On aura alors autant de solutions soit de l'équation x°— 4}° =D), soit de l'équation x Re ——D, lesquelles auront lieu égalémént ‘Aa toutes les autres périodes.

Si on ne rencontre point le nombre 2 parmi les ARR des quotens-complets dans la première, période, on sera assuré que l'équation x° — Ay° — ne D et l'équation x°—4y*—— D, ne peuvent se résoudre ni l’ane ni l’autre en nombres entiérs.

(38) Mais si on a une ou plusieurs solutions données par la premiére période des quotiens, comme on viént de l'expliquer, on pourra déduire immédiatement de chacune de ces premières solutions, une formule générale qui contienne une infinité d'autres solutioris ÉUtEn LE de cette

première base. Soit Ë la fraction convergente qui donne p*— 47° =D ;

soient en méme temps £ etu des nombres quelconques qui satisfont à Péquation #— Au = 1; si on multiplie ces deux équations entre elles ; le produit pourra être mis sous la forme

(pt Aqu) — A(pukqt}ÿ =D;

de sorte que l'équation x°— 4y°—=D sera résolue généralement par les formules

x = pt À Aqu

D LUE AL et quant aux valeurs de t et, nous avons déjà fait voir que sim et r sont les moindres nombres qui satisfont à l'équation m°—4r = 1, et qu'on prenne pour k un entier quelconque, on aura

(m+ny A} =t+ uy À.

On voit donc qu’en partant de différentes solutions primitives comprises

5à THÉORIE DES NOMBRES.

dans la première période; on aura autant de formules générales qui ren férmeront chacuneune infinité de solutions de l'équation proposée: à D'ailleurs les valeurs que‘nous venons de donner pour.xiet y ont également lieu, soit que D soit positif, soit qu'il soit négatif; elles supposent - seulement que D a le même signe dans l'équation particulière p —4 D; que dans l'équation générale x°— 47° D; elles cHphÇPent aussi qu'on a M — An = + 1.

. Si on avait m°— An =—1, alors les formules

Hip Et Aqu pu QU donneraient à-la-fois la solution de l'équation x°— 4y°—+D et celle de l'équation x°— 4y°—=—D, V'une en faisant (+24 4)=ttuy À, l'autre en faisant (m-knyA)*P=i+uy À. |

(59) Si on connaît, soit par la Table dont noûs avons parlé; soit par

tout autre moyen, la fraction Ja lus. simple = ui satisfait à lé uation yen, P P q q

m° — An = +1, le simple développement a — en‘fraction continue,

donnera la période des ‘quotiens qui union du développement

Lévis

s de ÿ/4. Or sans connaître les quotiens-complets qui répondent

à ces quotiens entiers, ni par conséquent leurs Re ,; On peut néanmoins distinguer facilement ceux qui répondent ë une valeur don:

mée de D. Ces quotiens sont à fort peu près égaux à — D ; & étant l’entier

compris dans 4/4. En effet, puisqu'on a (n° ) Ft ;ilenré-

VAI AA suhe = ee donc l’entier y compris dans ee est

‘a peu près égal à l’entier compris dans ? T- (40) Par exemple, ayant à résoudre Sos x°—617° = 5, on dé-

# veloppera en fraction continue la fraction UE dont les deux termes

satisfont à l’équation m°—G6in°—=— 1 ;.on trouvera les quotiens et les fractions convergentes comme il suit :

+Quotiens 7, 1, de D AE hr RE Nr T4 >, l 7 39 125 164 453 1070: 1525 ‘5659 ‘24079 29718. 1? Æ 5? 16° °2r2 11582 872 195 ?- (7297. 5085 © 5805

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