PREMIÈRE PARTIE

L’entier compris dans 6x est, et = a2+, je cherche donc 2

parmi les quotiens; je trouve les deux fractions correspondantes 2, Ée , dont la première donne p°—619°=—5, et la seconde p° —619°—=

Donc l'équation proposée x°—617°—5 sera résolue au moÿen des formules \

To 40 I0EE= 90300 y —=453ut 58 tHuy/61 — (297184380561); et elle le sera également par les formules suivantes calculées d’après là

première fraction convergente —“:

x — 1041 Æ 12814 DM 104UEE 26 tuy/61 = (29718 + 5805 /61)#7.

On résoudrait de la même manière a 2° —61y=—5, et on voit pourquoi les deux valeurs trouvées pour e quoique donnant deux valeurs de D de signes différens , servent neo à résoudre la même

équation; c’est parce que la valeur de — — est :telle.que m— Gin = 1%

car dans tous les cas semblables une solution de l'équation x°=—6r°=2, ‘

en donne toujours une .de l'équation æ°—617°=— D, et réciproquement.

(41) Nous.remarquerons que si D, quoique toujours plus petit. que 4/4, avait un facteur quarré 8°, ensorte qu’on eùt D—6°1), alors, outre les cr trouvées par:la CEE précédente, et bar les x ety sont toujours premiers entre eux, il pourrait-y en avoir d’autres dans lesquelles x et y auraient pour diviseur commun 8. En eflet, si d’une autre parton trouve possible la solution de l'équation x°?—47""=2), il est clair qu’on en tirera x—0x’, y—@y'. Ainsi il pourra y avoir autant de nouvelles formules de solution, qu'il y a de manières, de diviser 2 “par un quarré.

$7 VIT. T'héorèmes sur la nos bEbIE des équations de la forme Mx*—Ny*=Ær ou Æ2.

(42) Surrosons que À est un nombre premiér, et soient p et q les moindres nombres (autres que x et 0) qui satisfont à l'équation p° —Ag—1. Cette équation peut se mettre sous la forme p°—1=—49?, où (p—+ 1) (p—:1)=4q"; et puisque Z est un nombre premier, si l'on fait y9—/fgh, la décomposition de cette équation ne pourra se faire que de ces deux manières,

Par A À oc ele p—1=fh# p—1i=fA

Aïnsi il faut que l’une des deux équations suivantes ait lieu,

—? h — 457, ÿ=s Al.

Par ces dernières, on voit que f ne peut être que 1 ou 2, de sorte

qu'on aura les quatre combinaisons

1h Ag...() 1—g*— Ah...(3) —2= h — Ag*...(2) 2—g— Al..,(4).

La combinaïîson (3) doit être exclue, puisqu il s’ensuivrait que les nombres p et g ne sont pas les moindres qui satisfont à l'équation p°—Ag= 1; ainsi il ne reste que les trois antres combinaisons à discutér. Pour cela, il faut considérer successivement les diverses formes dont Z est susceptible par rapport aux multiples de 4 ou de 8.

(43) Soit 1°. 4 de la forme 471. Dans les équations (2) et (4), si lun des deux nombres g et h est pair, l’autre devra l’étre aussi; mais alors le second membre seraït divisible par 4, tandis que le premier est 2, ce qui ne peut s’'accorder. Si ensuite on suppose les deux nombres g et À impairs, leurs quarrés g° et * seront de la forme 8n-1, et alors le second membre sera encore divisible par 4. Done