PREMIÈRE PARTIÉ. EB

l'équation (1) est la seule qui puisse ayoir lieu; donc elle a lieu nécessairement, et il:en résulte ce théorème ARRET |

«A étant un nombre premier de la forme 4 “+1, l'équation » x°— Ay°——1 est toujours possible. »

Cette propriété a lieu pour les nombres premiers 4n4-1 exclusive ment; Car si À était de la forme 4245, il est aisé de voir, en attribuant à x et y des valeurs paires ou impaires, que x°— 4y* serait toujours de l’une des formes 4n, 4nÆH1,4n-2, dans lesquelles —: n’est pas compris.

On peut remarquer que 3 étant un nombre premier de la forme 4n+ 1, tout nombre qui est représenté par la formule x°— 4y*, poutra l'être aussi par 4y°—x°; car puisqu'on peut supposer m° — An°——1, on aura

N= (x — 47°) (An —m)— AVG na) — (mx+ Any).

(44) Soit 2°. À de la forme 873; on vient de voir que l'équation (1) ne saurait avoir lieu; l'équation (4) ne peut avoir lieu non plus. Car si l’un des nombres g et h est par, l’autre séra pair aussi, puisque le premier membre est pair ; mais alors le second membre serait divisible par 4, tandis que lepremier ne l’est que par 2: Si les nombres g et x sont tous deux impairs, le second membre sera de la forme8n4-1=—(81+-5) (8n+-1) ou 8n— 2, laquelle ne s'accorde pas avec le premier. Donc léquation (2) est la seule possible; donc elle a lieu nécessairement, et il en résulte ce théorème :

« À étant un nombre premier 8243, l'équation @° — 47° =— 2 » est toujours possible. »

(45) Soit 3°. À de la forme 827, on trouvera, par des considérations semblables, que l'équation (4) est la seule qui puisse avoir lieu , d’où résulte ce théorème :

« À étant un nombre premier 827, l'équation x°— 4y*= 2 ést » toujours possible. »

On peut remarquer qu’étant donnés les deux moindres nombre es met qui satisfont à l'équation m — An —=+#, il est facile d’en déduire les deux p et q, qui satisfont à l'équation p°— 4g° = 1. Pour cela, il

faut faire =(n+ny A4) =p+qvAÀ, ce qui donne p=ArÆEx, et g=mn:

(46) Supposons maintenant 4 MN, M et NV étant deux nombres premiers impairs quelconques ; et” soient toujours p et 4 les moindres nombres qui satisfont à l'équation p°—4q° — r. Cette équation, mise sous la forme (P+ 1) ( p—1)=MNq, ne pourra se décomposer que des quatre manières suivantes, où l’on a fait 9—/fgh,

pHi=fMs",. Ne, JMNe*, j& pri=fNh, fMr, fr > JMNF.

De là résultent les quatre équations ”

MEN, F=Ne — Mis, $=MNg —h, F=8 — MN, où il faut supposer successivement f—:1 et LR ; Ce qui donnera les huit combinaisons

= MN. G), 2 Ne MR (6), ie MN. (6), 1-25 MNRS.. 7) 2 MN. (2), 2=Ne—Mh.. (4), —2=h=MNe.. (6), 2—2°—MNR. (8),

desquelles il fañt exelure la, 7%, puisqu'on a supposé que p et g sont les moindres nombres qui satisfont à l'équation p?—4q° —1. Voici maintenant deux des principales conséquences qu'on peut tirer

de ces décompositions, LA

(47) x°. Si les nombres premiers M et N sont tous deux de la forme 4n +5, aucune des équations (2), (4), (6), (8).ne pourra avoir lieu; car quelque supposition qu’on fasse sur la forme paire ou impaire des nombres 2 et À; le second membre sera toujours de l’une des formes 4n, 4n+1, 4n+-5, tandis que le premier membre’est 2. Dans ce même cas, l'équation (5) ne peut non plus avoir lieu, car: il sera démontré ci-après (n° 140) qu'aucun nombre de forme 4243 ne peut ‘diviser 1-4’. Donc des deux équations restantes (1) .et (5), l’une aura lieu nécessairement, et il en résulte ce théorème très-remarquable :

« M et N étant deux nombres DÉS quelconques de la forme » 4n+5, l'équation Mx*—Ny=%x sera toujours possible en dé- 2 terminant convenablement le.signe du second membre. »

(48) 2°. Si les nombres premiers M et N sont tous deux de la forme 4n+ 1, on reconnaîtra également que les équations (2), (4), (6) et (8) ne peuvent point encore avoir lieu; mais l'équation (5) n’est plus à rejeter, et la proposition relative à ce cas. peut s’énoncer ainsi ;

PREMIÈRE PARTIE: 57 « M et N étant deux nombres premiers 421; on pourra toujours » satisfaire soit à l'équation x— MNy°=—1, soit à l'équation » Max— Ny° =, le signe de celle-ci étant pris convenablement. »° Au reste, comme la décomposition de la quantité p°—x en deux facteurs p 1 etp—1,qui ne diffèrent entre eux que de deux unités, ne peut se faire que d'une seule manière; il est évident qu’on ne He jamais satisfaire aux deux équations précédentes à-la-fois, mais seulement à l’une des deux.

(49) Par des considérations entièrement semblables, on parviendra aisément à un théorème encore plus général, que voici: « M et M étant deux nombres premiers de la forme 4743, et.N

» un nombre premier de la forme 4n<+-1, il sera toujours possible » de satisfaire à l’une des équations

Nx°— MMy = ÆEs Mz'— MNy°=ÆE x Mi — MNy: = 1.

(bo) On peut ‘encore déduire ces propositions et autrés ‘semblables > de la considération du quotient moyen qu'offre le Séxeloppement de Ke A en fraction continue.

En effet, soit toujours 2 Ê a fraction la plus simple qui satisfait à Féa

quation p°—4q—1; ot a l’entier le plus grand contenu dans V4 "15 et supposons que du SAS LFRERES de V4 naissent les quotiens et

‘ les fractions convergentes. jusqu'à =, comme il Suit +

,Quotiens..:..,:4, &, 6er... OR RSR PC PS RARTE RE

bé ÿ En. Éioieià ha 4

F TE) de TC TER Pen tac ET Fe. a? qe

Nous avons désigné le quotient moyen par 0, et il en existe nécessai-

rement un, sans quoi la fraction : serait de rang pair, ét on aurait p°—4g—=—31, contre la supposition.

Maintenant puisque la période-4, 6,...8.... 6, a, est symmétique, la fraction doit donner par son developpement les quotiens

A...6, @, qui suivent 8 (n° 11); donc à l’aide du quotient-com-

plet a4+Ë on peut déduire immédiatement :la fraction ? des deux con:

o sécutives £ 2 L, ce quise fera ainsi:

Il en résulte p—f(0g + 28°) + (f° e— fe), g=g\(ûg#-28"), et substituant ces valeurs dans l'équation p°—4g—1=\(f°8—/f2°), on en

déduira (P—4e) Ce +) = UE RULES Soit f°— 43 =\J3 —F8)D, et on aura

Ba —#,

où Ton voit qu'en général D doit être diviseur de 2f.

(51) Soit 1°. Dopair — M, il faudra faire f—=Mh, et l'équation f°—A8 =\ fe —f°g) D deviendra Me Ag°= 2M( fe =.

Or, g ne ae avoir de diviseur commun avec M, puisqu'alors il en au= rit ävec f—Mh; donc M est diviseur de 4.

Soit. 4— MAN, et on aura,

M = Ne (fe =fg)= + 2.

Donc l'équation M —Np= "+ 2. est possible dans ce premier cas ; où l’on doit observer que si les nombres M et JV sont tous deux i impairs, ils dosent: être Fun* dela’ forme 44, autre de la forme gt 3. +5, le premier membre serait divisible 4 et ne pourrait se rédüire à æ 2.

- Soit 2, D impax = M, 1 fudÿa, faire f= Mh, <e qui donnera We — Ag = + M; donc À est encore divisible par W, et faisant A% MN, on aura

- MR = Ne =+ É. :

De ces deux cas résulte le théorème suivant : « Étant donné mn ombre quelconque no quarré .4 , il est toujours

cs E - 2 mg AE, ER RE, et - nt —— di T “

PS nm 1 AE ue ITR 9 CASE RE ee Er

PREMIÈRE PAR'FIE. ? 59 » possible de décomposer ce nombre en deux facteurs A7 et Niels que » lune des deux équations Mx° — NP =Æ1, | Max? —Ny = +2 soit » satisfaite, en prenant convenablement le signe du second membre. » I faut dla observer que pour un même nombre 4—MN, il n’y aurd jamais qu'une manière de satisfaire à l’une de ces équations ; çar il n’y a qu'un quotient moyen qui résulte du développement de 44 en fraction continue.

Lorsque 4 est un nombre ee ; on ne pourra faire d'autre sup position que celle de M=1 et N= 4 ; alors par la discussion des équar tions 4° Ay°—=Er, x— Ay°= Eee on parviendra : aux mêmes théorèmes que ci-dessus*concernant les nombres premiers des formes 4n +1; ân+3, 4n#47. On obtiendrait de même ceux qui CREME les formes 4— = MN, A MMWN, déjà traitées.

(52) Lorsque l'équation 2°— 4x est résoluble (ce quia Te: s nonsseulement dans le cas où 4 est un nombre ! prenuier 4n. x, mais dang une infinité d’autres cas) , on a Dr et 0—2a, d'où il suit que les quotiens &, 6.... jusqu'à À, forment une suite symmétrique (n° 35) De plus, comme on 2 alors fa — Ag*=— 1 , il faut que cette même suite soit composée d’un nombre pair de termes. Cela posé, le développement de ÿ4 en fraction continue, jusqu'a la fraction conver-

gente Fo sera représenté ainsi :

a m° mr

Fract. conv...,-, -...... SOU à O 1

Quoens sata; Cr Rues. 6,14 18 o n°? D 7

Or à l’aide des deux fractions consécutives ) . ; qui répondent aux

quotiens moyens 4, 4, On peut obtenir immédiatement la valeur de

=, Savoir :

RE me (Æ Ms FEU mn} m°n°

En are

ce qui donne f—mnæ+mn°, g=n"+n"*. Substituant ces valeurs dans

l'équation f*— 4g*=—1=—(mn°—mn), on aura, en réduisant,

A(ræ+n®)=m+m", où m— An =—(m*— An).