PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES NOMBRES

S I. Théorèmes sur les nombres premiers , 166 Si c est.un nombre premier et IV un nombre quelconque non-divisible:par c, la quantité IV — 1 sera divisible par c, ibid.

Si n est un nombre premier, le ‘produit 1.2.5...(n1—1), augmenté de l'unité, sera divisible par 7, 167

Si un polynome du degré m divise x7}=—1, c étant un nombre premier, il ÿ aura toujours m valeurs de æ, comprises entre —%c et H5c, qui rendront ce polynome divisible par c, 169

Le nombre premier c sera diviseur de x JV, ‘si la quantité (—IN) * —1 est di-

visible par c; dans le cas contraire, il ne pourra diviser x*+-1, . 170 PRE : ; IV SE Explication du caractère abrégé — )» ibid.

S IL. Recherche de la forme qui convient aux diviseurs de la formule

t au, teu étant premiers entre eux, 172

On prouve que tout diviseur de cette formule peut être représenté par une formule de même degré py* + 2qÿz + 12°, dans laquelle on a pr — qg — a, et 2q<p etr, 173

LS TIL. Application de la théorie précedente à diverses formules ®+u;,

tw—+ou, —au, elc., 175

On prouve que la somme de deux quarrés premiers entre eux, {#<+u°, ne peut avoir pour diviseur qu'une somme semblable y*+2, 1bid. Il en est de même des formules # Æ ou?, #—au°, chacune n'admettant que des diviseurs qui lui sont semblables ; 176

TABLE DES MATIÈRES. x Propriétés générales et caractéristiques des nombres premiers 811, 8n +3, 8n +5, 8n+7, pag. 180

Valeur du symbole ( — } selon l'espèce du nombre premier c 181

$ IV, où l’on prouve que tout nombre entier est la somme de quatre

ou d'un moindre nombre de quarrés, 182

On démontre que Z et € étant deux nombres quelconques donnés, il y à toujours des valeurs de t et u telles que # — Bu*—C est, divisible par un nombre pre-

mier donné À, zbid.

Le produit de la formule p°+q+r°#s par une formule semblable est également la somme de quatre quarrés, 184 Un nombre quelconque est la somme de quatre quarrés, 186

Développement des différens cas du théorème de Fermat-sur lesnombrespolygones, 188

$ V. De la forme linéaire qui convient aux diviseurs de la formule

a 1, a et n étant des nombres donnés, 191

Tout nombre premier p qui divise la formule a".+- 1 est de la forme o7x +1, où au moins il doit diviser une formule plus simple a “1, dans laquelle © est le quotient de z divisé par un\nombre impair, 192

Tout nombre premier p qui divise la formule a*—1 doit être compris dans la Forme 7x1, ou au moins doit diviser la formule a —1, dans laquelle w est sous-multiple de 7, : 195

Applications diverses où l’on détermine des nombres premiers très-p

S VI. Théorème contenant une loi de réciprocité qui existe entre deux

nombres premiers quelconques, 198

Si les nombres premiers m et n ne sont pas tous deux de la forme 4x + 3, on auræ LA LA TT TL LA généralement =: et s'ils sont tous deux de cette forme, on aura...

() a. (=) à es ibid.

Théorèmes divers, dont plusieurs dépendent de la loi précédente, 204

Démonstration de deux conclusions générales auxquelles Euler est parÿenu par voie d’inducti lans ses° O 1

$S VIL Usage du théorème précédent pour cônnaïtre si ur nombre pre-

mier © divise la formule x°+a, 206 Algorithme très-simple pour cet objet, ibid.

Développement d'un grand nombre de cas où l'on peut déterminer @ priori la va-

leur de x, 211

$S VII. De la manière de déterminer x pour que. x°+-a soit divisible

par un nombre composé quelconque N , 214

xviij TABLE DES MATIÈRES.

Solution du problème général, ; pag. 214 Du cas particulier où /V a pour facteur 2", <: 215 Détermination du nombre des solutions, 237

S IX. Résolution des équations symboliques

& X. “Recherche des formes linéaires qui conviennent aux diviseurs de

la formule +cw, 223

Œhéorènies par lesquels on‘détermine les formes linéaires des diviseurs de là formule uf—cu?, c étant premier ou double d’un premier, 3 * ibid.

On détermine &- priori. les formes linéaires de ces mêmes -diviseurs, JOmEue c est le produit de deux ou de plusieurs nombres premiers ; à 231

En, général les diviseurs d’une même formule # cm se bartasent en un nombré à déterminé de: groupes, composés chacun d'un même nombre de formes linéaires .2cx + a, où 4cx+ a, Ve “a ibid.

Méthode abrégée pour trouver, par. le moyen. ee diviseurs quadratiques , tontes les Formes linéaires des diviseurs, 232

$ XL. Explication des Tables LIT, IV, F, WI et VII, 514

Ces Tables présentent, pour chaque formule # + cu° comprise dans leurs limites, le système de ses diviseurs quadratiques et des diviseurs linéaires correspondans.

$ XII. Suite de théorèmes contenus dans les Tables précitées ; 255

On démontre en général que si 4cx + a est l'une des formes linéaires qui conviennent aux diviseurs de la formule # +cu°, :tout nombre premier compris dans la forme 4ex + a, sera diviseur de la formule # Æ.cu*, et par conséquent sera de l’une des Formes Güadrätiqués: qui AEDONUeRE à la forme (et + a. On tire de là autant de

théorèmes particuliers qu’ a de formes linédiresi dans le b Go

$S XHL Autres théorèmes concernant les formes quadratiques des nombres,

Tout nombre premier 4 qui divise la formule { + cu? , ne peut appartenir qu'àl’un dés diviseurs quadratiques de cette formule , ibid. Tout nombre premier 4 qui est de la: forme ÿ*4-,42°,;, ne. peut être. qu'une: fois: de cette forme, 265 On détermine le nombre de manières dort un même.nombre. composé .Æ peut être de la forme ÿ* Æ az°, d’où l'on déduit la solution d'un problème de Fermat, 269

… Foñtinombré #4; Pré où double d'un premier, compris dans la formule py + any z T2, où pr—q° est un nombre positif, n'y peut étre compris que d'une manière, sauf le cas des diviseurs bifides 27

S.X1Y. Sur les:moyens de:trouver un nombre prémier plus grand qu'un

rmombre donné , rase - 279

Tableau de diverses Formules ‘propres à exprimer des nombres premiers, si une condition est remplie, : : À Ê , 282

| TABLE DES MATIÈRES: xix Explication de la propriété qu'ont certaines formules de contenir'une suite assez éténdue de nombres premiers’, ; pag. 284

$S XV. Usage des théorèmes précédens pour reconnaître si un nombre

donné est pre ou sil.ne l'est pas 286

On ajoute aux autres moyens déjà indiqués le développement en fraction continue de la racine du nombre donné, ou d'un de ses multiples, 288