PREMIÈRE PARTIE

‘mules ne sont réellement que deux expressions différentes d’une seule êt même formule, et qu'il n’est aucun nombre contenu dans l’une, qui ne soit également contenu dans l’autre avec la même valeur et le mêmesigne. Le nombre 4 étant donné, il est facile de trouver toutes les formules ay® + 2bys — cz" qui satisfont aux conditions b—ac— 4, 2b<a et c; et il est clair que le nombre de ces formules est nécessairement limité, puisqu'on doit avoir a et c positifs, et b< y “ Mais après avoir trouvé ces diverses formules ; il restera à distinguer celles qui ne diffèrent point ssentiellement entre elles, afin qu’on soit en état de réduire la

totalité au plus petit nombre possible. Nousnous occuperons de cette recherche dans le. S XIII.

2°. Si en supposant toujours pr—q——AÀÂ, A est un quarré parfait, alors la formule proposée py° 2gy3<+ rs sera décomposable en deux facteurs rationnels (ay + Ex) (yy + d'z); si de plus on a pr—q° 4, ces deux facteurs seront égaux.-Ces cas n’ont pas besoin d'un plus grand développement , et on voit facilement quelle serait alors l'expression la plus simple de la formule proposée.

«+ Soit donc 3%. pr—q*=à un nombre positif 4, et supposons de nouveau que la formule py° + 2973 T2" soit He à son expression lx plus simple, de sorte que 29 ne surpasse ni p niwr. Alors onaurx

pr>4q" et 59 <A, ou 1 <V 75 en même temps ‘on voit que prs sera

toujours compris entre 4 et #4.

Étant donné le nombre 4 , il est facile de trouver toutes les formules pr°+2qy2-—+ 3" qui satisfont aux conditions pr—q= 4, et 2q<p etr. On peut démontrer de plus, que toutes ces formules. sont essentellement différentes les unes des autres, et ne peuvent se réduire à un moindre nombre. Ge sera l'objet des deux propositions suivantes,

(56) Tnéorème. « Si la formule indeterminée py* + 2qy3<+rz* est .» telle que 2g ne surpasse mi p nir; sien même temps pr—g* est égal ». à un nombre positif 4,%e dis que les deux plus petits nombres com- » pris dans cette formule:sont p.et r. »

On observera d’abord que la formule py°+-29y2+-rz, considérée analytiquement, est la même que. py°— 2424 r#, parce qu’on peut faire à volonté les indéterminées y etz positives ou négatives.-Or toutes choses d’ailleurs égales, la formule py°+ 2gy3+r2 dont nous supposerons lés trois termes positifs, est plus grande queda formule py°—2973+73;

ainsi. ce n'est qu'à RQ de cette dernière ge le minirum ECS avoir lieu.

Soit donc Fe tue ; et soit es Mettons Jr à la place. de y et supposons que -P devienne P'; nous aurons