P— op p2qs où P— = P—2q (32) —7 (p—2q)—p(y

Or à cause de P> 24 ety >3,il est manifeste que P’ est moindre que P, quand même le signe © CREER l'égalité, comme on le suppose toujours.

Onpourrait objecter que quoiqu'on ait P°—P—Q, Q étant une quantité positive; cependant si Q est lui-même plus grand que P, alors ‘P' pourraitavoir une valeur négative plus grande que. P. Mais cette objéction tombe d'elle-même, en observant qu'il n’y a aucune valeur de jet de z quipuisse rendre la formule py°—29y73-+rz* négative, attendu que ses facteurs sont imaginaires.

Il’ suit de la que , quelles que soïent les valeurs de y et 3 qui donnent le résultat P, on trouvera un résultat moindre en diminuant d’une unité da plus Bande des deux quantités y et 3, ou l’une des deux, si elles sont égales; car la Conclusion qu’on a tirée aurait également lieu, si on avait ÿ—3. Maïs enwcontinuant ainsi à diminuer les indéterminées 7 et 3, On parviendra nécessairement aux valeurs y — 1, 3— 1; donc la quantité P—p—24+7r qui répond aux valeurs y —1, 3—=71, est plus petite que toutes HetLE qui répondent à des valeurs plus grandes de ces variables.

D'un autre Côté, puisque 27 est <p et r, la quantité p— 297 est “plus grande ou au moins égale à la plus grande! des quantités p et r. Donc ces deux nombres p etrsônt les plus petits”qui soient compris dans la formule proposée, et après ceux-ci le plus petit est p— 277.

(57) ‘Tnéonèmr. € Si deûx formules tbdincss pY° = 2qY3 re, » py°+2q ya 12, "Sont telles Lure etlautre, quélecoeflicient du » terme moyen ne.surpasse aucun des coefficiens extrêmes; "Si en même » temps les quantités pr—q, pr'=ÿ® sont égales à un méme nombre po- -» sitif 4," je dis. que cesideux-formules-sont essentiellement différentes » l'une de Vautre, etiqu’ellesne peuventse réduire àune-même formule. »

Car s’il était possible de transformer l'une de ces formules dans l’autre , il faudrait que l’une des deux rénfermat au moins un nombre moindre que l’un des coefficiens extrêmes, ce qui.est contre le théorème précédent.

PREMIÈRE PARTIEL. 67 (28) Jusqu'à présent, nous n’ayvons considéré la formule Zy*-2Myz-N3° que dans le cas où le coefficient moyen Y est pair. Supposons maintenant que ce coeflicient soit impair On trouvera, par des considérations semblables, les résultats suivans, qu’il nous suffit d'indiquer. 1°. Toute formule imdéterminée Zy°+ Myz + INz° dans laquelle on à M5 2L, peut se réduire à une formule semblable, dans laquelle le coefficient moyen sera moindre que 22, et où la quantité analogue à 4LN— MP sera de même valeur et de même signe. Il faut pour cela faire EE — ae » et prendre pour 2 l’entier le plus approché de . Donc par une ou plusieurs transformations de cêtte sorte, on mate la formule proposée en une formule Semblable ;" dans laquelle

le coefficient du terme moyen ne SUrPaSS era aueun des extrèmes ; et :

où la quantité 4LN — M? sera de même valeur et"de”même signe me Fe la proposée.

: Lorsque 4LN M est égal à un nombre négatif cup la transpriés qui satisfait aux conditions précédentes est. de, la ons Re ay +byz— cz, dans laquelle on a Bb + 4ac, b< a et c, et par

conséquent B<V = +

Étant donné le nombre 2, on peut trouver LT toutes les formules ay? byz—cz qui itéti el aux conditions b—+/4ac=28B, b<a et c. Mais plusieurs de ces formules peuvent être identiques ou iransformables les unes dans les autres ; c’est ce qu'on examinera dans le S XIE.

4. Lorsque 4LN== M? est égal à “un nombre positif B , la transformée ay°byz-#1-cz qui user aux CMP précitées Te D.

b<a et c, et par conséquent b<y 2 Z> est telle que a et € sont les

deux plus petits nombres qui y soient compris:

Donc toutes les formules de ‘cette sorteñqui répondent à un même nombre donné B, sont essentiellement différentes les unes des autres, et ne peuventsse réduire à un plus petit nombre.

$ IX. Développement de la racine. dune équation du second degré ên fraction continue.

(69) So: T' fa +gxHh=o une équation proposée, dont les coeffi-

-étens sont-éntiers et les racines réelles; on propose de développer en fraction continue l’une de ces racines, que pour plus de simplicité on

regardera comme. positive «(si elle était négative, on mettrait —x à la place de x, et on ferait précéder le résultat du signe —). Ayant commencé l'opération d’après la méthode générale, supposons

qu'on soit parvenw/aux deux fractions convergentes consécutives =,

à ; et soit 3 le quotient-complet qui 2 à la dernière, on aura

R $ Le ES Lé TL — conséquent z— 1 . Substituant au lieu de x sa q > Où aura

= EQ— 2fp + VGA).

gq +2fp—qV(8g—4fh) ?

quantité quisen rendant le dénominateur rationnel, devient

3 Cpg°—=p°q)V/ (6° —4fh) — fpp°—2g(pq° + p° g)—hqq®..

FT ÎP° + gpq=+ hq° Si pour abréger, on représente cette valeur par la formule z vit 2 les quantités 4, 7, D'seront exprimées commeul suit :: A4 (8"—Afh)

(Pa —py)l=— pp 28 (pg° Ep") RG

Cpg° —p)D=fp" + 8pq + hq, où l'on voit qu'a cause de pg°— p°g="Æ# 1; le nombre D sera toujours un entier; quant au nombre /, il sera entier, si g est pair; mais il contiendra toujours la fraction +, si gest impair.

(60) Quelque loin qu'on ait poussé le développement de x en fraction

SA om -—eue-mufes-rolate D MDN |

PREMIÈRE PARTIE. Go continue, on voit que le quotient-complet 3 s'exprime facilement, an

rait servir à continuer le développement encore plus loin. Mais indépendamment des fractions convergentes, on peut avoir la loi de progression des quotiens-complets; en effet ; soient