VAE VAI VAT DRE LD 9 D

# ce fi trois de ces. quotiens consécutifs, et soient = ns 2 les fractions con-

vergentes qui leur correspondent : si on fait pour abréger , pq—p'q=t;, on aura, Comme nous venons de le trouver,

= — fpp°— 38 (pg + p°q) — hqq°

DE fp° + gpq + hq°.

Passant de là aux valeurs suivantes, et observant qu’alors : change de signe, parce qu'on a p'q—pq ——\(pq"—p°q), ces formules deviendront

RU =-pp=EE (pa Epr) Re De jpp+8pq + ha"

Or si on le. à l'ordinaire y le quotient qui répond à la Abe Es on aura p—= pp +p°, g —=hq+@, valeurs qui, étant substituées

dans la première équation, donneront Lu +8pq + hq) + fpp +28 (pg + pa) hgq',

ou 2] =miD—il, de sorte qu'on a sans ambiguité TL = pD — 1].

Faisant les mêmes substitutions dans l'équation en D’, on aura pareillement

— Din (fp + gpq hi) n (ofop + gp°a gp + 2hq9°) PS EP Rs

et le second membre se réduisant à w®Di — auli—iD, on aura encore sans ambiguité

D' =D + opl —pwD ; ou DD +u(1— 7), De R il suit qu'étant donnés deux quotiens-

complets consécutifs 3

le suivant rs se déterminera très-simplement par les valeurs PDT.

D—D'Lu(I—T);

ce qui est la méme loi qu’on à trouvée. (n° 29) dans le développement des racines quarrées:

(61) Si on élimine w des deux formules précédentes, on aura.... D'D + 7®= DD° 47; mais le premier membre de cette équation renferme les mêmes quantités que le-second, avec la seule différence qu’elles sont avancées d’un rang de plus; il s'ensuit donc que chaque membre est une quantité constante. Pour déterminer cette quantité en fonction des coefficiens de l’équation proposée, soit £ l’entier le plus grand compris dans x, lé développement de la valeur de x commencera ainsi :

VA ie Lys WA—iefe D F = 4 + F

sn = Késhee te ere

VAT RTE h ° Donc à l'égard des deux premiers quotiens-compleis ; on peut supposer D=f, D——ff —2hk—h, 1=:g+fk, ce qui donnera .. DD+F—=}g —fh=41: Donc quel que soït le rang du quotient-

complet LE , On aura généralement D'D+T=A Il pourra arriver que les premières valeurs de D'soient alternativement positives et négatives; car quoique x soit toujours comprise entre deux fractions convergentes consécutives £ pi ; É ; cependant si les

deux racmes de l'équation fx°+gx+h—o diffèrent moins entre telles que ne diffèrent l'une de l’autre ces deux fractions convergentes, il est facile de voir que les deux résultats

fp°* + 8p°q° + hq° - JP + 8pg + hg°,

SE ee me = SEX, 2 1

PREMIÈRE PARTIÉ. qi

obtenus en substituant, dans le premier membre de l'équation, ë

et À É à la place de x, seront nécessairement de même signe; donc alors

D° et D seront de signes différens. Mais comme.l’approximation augamente rapidement à l’aide des fractions continues , cette alternation de signes ne peut avoir lieu que dans un petit nombre des premiers termes , et bientôt après les quantités D seront constamment de même signe.

À compter de cette époque, où la série des quotiens-complets prend une forme plus régulière, la quantité DD° étant toujours positive, on aura à-la-fois 7Z<y/A et DL2y 4. Les valeurs de Z et de D étant ainsi limitées, et d’ailleurs les nombres 22 et Drétant toujours des en-

: É EVA : 3 tiers, le quotient-complet Re ne péut avoir qu'un certain nombre

de valeurs différentes. Donc après un nombre de termes plus ou moins grand, mais qui ne peut excéder y 4xX2y 4, on retombera nécessairement sur un quotient-complet déjà trouvé, après quôi le reste de ‘la fraction continue ne sera plus composé que d’une même sérié ou période de quotiens déjà trouvés, laquelle se répétera à l'infini.

(62) Cela posé, il y aur2 une infinité de, fractions convergentes

p pG) pC) : . » \ —, ——, ——, etc. qui, dans les périodes successives, répondront à un q? qG)? q@)? 2 P à ñ

même quotient-complet Fée ; et il est d'autant plus important de

rechercher l'expression générale de ces fractions, qu’elles serviront à

donner une infinité de solutions, des Équalons de la forme... fr +gys+he=ED.

Soit donc w, CE p"......0 la période de quotiens qui, répétée une

‘ infinité de fois, forme le développement de vent —— += —; au moyen de ces

quotiens, on continuera ainsi le calcul uk fractions convergentes Vers x: |

Quotiens... bob Joio SUD"... OL Usure # |

p°G}. pQ) p°{2). pC)

, To à g°Q) ? AA) era (2)? To) 2 0 0 9

Fract. conv. Le ÿ g

Représentons en outre par % la valeur de la fraction continue...

D calculée jusqu Le & inclusivement. Cela posé, Fe +2 etc. ?

comme on 4, quel que soit HT =E ne -; de même, en mettant £ à la place de pm, on aura æ pQ) 5. € +P pa + p°2 letr. : 002 gQ) 32+9 g2+q ee qui donne p(r)=pa + p°6, 0) Et 6. On aurait aussi, en mettant LE Here à la place de pm, VAE Dan ee 5e cie

Cr s QVAFGIEg DT

Cette équation donnerait les mêmes valeurs de Z et D qu'on a trouvées . ci-dessus; on en tire aussi immédiatement

p=—h (+1) = | F= SGe+D+HE Substituant ces valeurs dans celles de p(1) et (1), il en résultera FRE ec € rs pO)=p(e—si—5:6)—5 hq € GA e (= 1+ Es 8) ADP:

On aura donc semblablement, à cause de l'égalité des périodes, € GÉTUN SAIO IE SEE pE)=pG)(e—51=5.se)— 5 M0) rot e a@)=4 (1) (514518) +5fr0).

Soit, pour sbréges, a— 5 I=0 Py D Ÿ» ®— A =e, on tirera de

ces équations ; À | pa) = 29p() — 9 4C) = 29q(1) — eg.

PR ed PERRET en ue -—-de mous eines. ASE 0 |

PREMIÈRE PARTIE. 73 D'où il suit que les numérateurs:p, p(x), p(2), etc. forment une suite récurrente dont l'échelle de relation est 29, — 6e: il en est de méme de la série des dénominateurs 9, g(1); g(2), ete. Et ce résultat est apà p… PC), PO) q? gQ)° 46) à trois autres quelconques, pourvu qu ils se suivent immédiatement: Or il résulte de la théorie connue de ces suites, que si l'on fait

(Hd 4) = DH YA,

ñn étant un entier quelconque , le terme général demandé

ie non-seulement aux trois premiers termes >. Mais

p(n) qi)

sera donné

par les formules < . pa)=ab+0Y qg(n)=a"b + LT , :

où il ne reste plus à déterminer que les coefliciens a’, d’, a", b". Pour cela, soit 2 —0, et conséquemment D—:1,#Ÿ—0O,.on pourra sup-

poser p(r)—p, 10) =9 ainsi on aura d'=p, 4 —q; soit ensuite n=1, il faudra qu'on ait |

PG)=p9 +4 40)= 9e +4;

de là ct des valeurs connues de pret g1, on tire = — :9p — bg

P=. 287 + fr.

Donc enfin le terme général PC) Sera déterminé par les formules

16) pa)=p8 — (28? +h)# sy os mr) = 98 + (589 +fp)Y: | Nous allons maintenant faire voir que, quoique les valeurs de @.et 4; et par conséquent celles de ® et # paraissent se présenter sous une forme fractionnaire , cependant ces quantités ne peuvent contenir au plus

que la fraction £,'ce qui n’empêchera pas les valeurs de p(r) et q(n) d’être toujours des entiers,

(63) Considérons la fraction continue qui résulte, du quotient-complet

AE k j ne

ee » @t qui est composée, comme nous l'avons déjà dit, de la

période y, p', m'.... répétée une infinité de fois; si on calcule les

ER e LEE M, MA on 7 Li CnE à ch OO É =

fractions convergentes vers 2, Fe la loi ordinaire

Quotiens. spin HU EU HS OS NUL detre ce MO EC LOS

Fract. converg. 5» Ê, séries oo pe

az a

on aura, après la première période > 1= 7 +0)

ou 6z°+-(6—a)z—0°.

Substituant au lieu de:z sa valeur ne , et égalant entre eux les termes

de la même espèce, on aura les deux équations

CE su are E— x 5 ee D — 0 ; d'où l'on tire nu ACC —e(< ET. Maintenant les va-

leurs de @ et 4 donnent P— AV a — ILE REA;

et d’abord, à cause de 4— 7°:—DD°, le second membre se réduit à (a TT £: HE ensuile si on substitue les valeurs trouvées de

CI ee 7 LD» il devient à&° —2a(—

)— Ga°; ou a6°—x6—Hi, de sorte qu'on a DA

1] paraît, par ce résultat, que les quantités @ et 4 sont les mêmes, soit

que la période m, p', m'.... © commence au quotient m, ou à tout autre terme x’, 4”, etc., pourvu qu’elle soit composée des mêmes quotiens disposés dans, l'ordre de la période; et c’est d’ailleurs ce dont il est facile de s'assurer, en prenant Z' et D’ au lieu de: Z et D, et cal-

æ CEE . / # 5 culant une valeur de > qui réponde aux quotiens y’, m®,...@, mu; car

il en résultera absolument les mêmes valeurs pour les nombres 9 et 4.

. Au reste, puisqu'on a Q—a4— ; I= LE ,il estclair que le nombre

bi Ë >: : :

nombre 4 = 5, je dis qu'il est toujours entier.