J=PIE (EP + )T

20 (589 Ffp)#; :

et s’il arrive que le nombre donné D ne setrouve nulle part parmi les dénominateurs des quotiens-complets dans le développement d’une’racine, il sera inutile de chercher ce même nombre dans le développement de l’autre racine , et on pourra dès-lors assurer que l’équation dont il s’agit n'est pas ÉOLHIE en nombres entiers.

Pour éviter tout embarras à l'égard des signes dans l'application des

formules précédentes, faisons pq°—pq=—1, ti pouvant être + 1 ou —1 selon les diflérens cas, on aura d’abord

| JP + 8pq + hg =D,

I faudra ensuite faire attention au nombre des termes de la période m,m.....0; Si ce nombre est pair, les diverses fractions convergentes

Ê : , à D, etc. seront placées de la même manière, c’est-à-dire qu’elles seront toutes de rang pair, ou toutes de rang impair; ainsi l'équation fy° + gy3 + hz° = 1D sera résolue par les formules

FT =pÈ E (Esp + hq)Y 3 —q0—+ (189 +Jp)Y, où l’on a (p+dV AY =D+Y A4.

Dans ce cas, l'équation fy*+gyz+ Hz" —=—iD ne pourra être résolue

en nombres entiers, au moins d'après la fraction convergente :

Si au contraire le nombre des termes de la période est impair, alors on pourra, par les mêmes formules, résoudre à-la-fois l'équation FF + gyzs + he = + iD et l'équation fy° + gyz + he = —1D, savoir, la première, en faisant »— 2k , et la seconde, en faisant 2 = 24 + 1.

(68) Le cas de D—1 devant recevoir un grand nombre d'applications, il sera bon de l’examiner en particulier. On aura alors (n° 62), S+i= se PE or 59 le est une valeur fort approchée de 4/4 ou de 5ÿ/(g° —4fh); soit donc, si g est impair, 7»# l’entier impair le plus grand contenu dans y/(g°— 4 fh) , et si g est pair, #2 l’entier pair le plus grand contenu dans ce même radical, on aura dans les

deux cas (parce que 7 est plus petit que l'unité)

Le quotient-complet Ces deviendra en même temps W4+ 2m, et

ainsi l’entier compris m—m. C'est la valeur du quotient qui dans les périodes successives répond à la valeur D= 1. .

Soit toujours mm, m'"....0@, la période des quotiens , et £ la fraction : ; Rs CT qui en résulte, nous avons trouvé ci-dessus = —œa—6°; donc lorsque D=rxet I=*, on a É°—a—m6@—a—p6. D'où l'on voit que les

quotiens p', w',...@ forment une suite symmétrique (n° 32), et ainsi

Lodel st .

RER TR ER, er - ne anne ange me Se de

PREMIÈRE PARTIE. 79 la période qui se répète à l'infini est de la forme », g', m',...pu", p'. Enfin on aura dans le même cas o—œa—1m6, d —c<.

(69) Quel que soit le nombre D, si g est pair, les formules générales peuvent être simplifiées et débarrassées de fractions. Soit alors l'équation à résoudre ay°+ 2by2+ ce —=ÆED, ce qui donnera f—4a, g—2b, h=c, A—db— ac; soit toujours w, w’, a"... la période qui répétée une infinité de fois, forme le développement du quotient - complet

ALT Dé n ; si par le moyen de cette période, on calcule la fraction 5 comme

il suit :

Quotens MU US Ten. 0

ne er Fract. CONVETG.— , Tee... sn 3 a 46° UNS :

on aura ® — — —a—51l,d=;, lesquelles valeurs seront toujours

des entiers. Faisant ensuite

(@+4vVAY=D+ #4 J=p® E (bp + cq)Y = 92 (9 +ap)#,

on aura 43° + 2byz+ cz° —+D, et qua à l’ambiguité du signe, elle sera déterminée par la formule

a+ aps + cs = (e— 4°)" (pq —p°9)D, où l’on sait que @*—.4{*, ainsi que pg°—p°q,ne peuvent être que 1 OU — 1.

Les nombres @ et trouvés, comme on vient de le dire £ par le cak cul d’une période, seront toujours les plus simples de ceux qui satisfont à l'équation ®®— 44° —Æ1; car s'ils ne l’étaient pas , il faudrait supposer, ou que la période dont if s’agit est composée de plusieurs périodes plus courtes, ou qu'il y a des solutions de l’équation proposée non comprises parmi les fractions convergentes. Or le premier cas n’a pas lieu par hypothèse, et le second est impossible, comme il sera prouvé dans le & XII. Donc les nombres ® et ns ne DOPEROERS qi du seul nombre 4.

Il est mutile d'ajouter que si ï le see D $e rencontre ere fois

dans le cours d’une même période, on pourra produire un pareil nombre de solutions différentes de l'équation proposée.

$- X. Comparaison: des fractions continues résuliantes du * développement des deux racines d'une méme équation du second degré.

(7o) No avons déja observé (n° 66) que les deux racines d'une même équation du second dégré, fx° + gx +h=o, réduites en fraction continue, concourent également à la résolution de l'équation fr°+eyz+ hs =2ÆE D, ensorte que les mêmes valeurs de D doivent se rencontrer nécessairement dans les deux suites de quotiens-complets qui résultent du développement de ces deux racines, Nous allons maintenant mettre cette propriété dans tout son jour, ét nous démontrerons d'une manière générale, que si la suite des quotiens-complets, lorsqu’elle est devenue régulière, procède ainsi dans le développement d’une TaÇINE :

AVE IR = pe + ALT

cer ARTE, CERTES etc..

le développement; de la séconde racine fournira, au moins après l’ano- -malie des premiers termes, cette autre suite dans l’ordre inverse :

PACE L'ALT PRET = pe + ALL PRET E pe

tee ; AS ANVEUR IR laquelle retombera nécessairement sur le premier terme eue etrez

commencera ‘ainsi à l’infini. es a Considérons de nouveau le développement de la racine LES

Re PR RARES, Se neue mule me gicees rs

Ü À pe PREMILRE PARTIC. 8r LA . Ve / Li en fraction continue , et soient = 5 F> : trois fractions convergentes consécutives prises dans la première période des quotiens (1), après que toute irrégularité a cessé, et lorsqu'on s’est assuré que cette même période doit se répéter à l'infini. Nous représenterons'à l'ordinaire les trois

AXIS YAHI : VAXT VE, VÉE, VERT etes

quotiens-complets correspondans par entiers qui y sont compris par p°, w, KW. Quant à la période de quotiens, elle serag, w', u”...u°, si on la fait commencer au terme w; elle serait également w', w”...u°, ww, sion la faisait commencer au terme et ainsi à volonté; en général, la période dont il s’agit peut commencer.par tel terme qu'on youdra, mais il faut qu’elle soit composée des mêmes termes, rangés dans le même ordre.

Cela posé, nous avons vu (n° 62), que si on cherche les diverses frac-

tions convergentes - ; È . à : , etc. qui dans les périodes succes-

sives occupent la même place, ou répondent au même quotient-complet

VAE! ; l'expression générale de ces fractions À ee PC est donnée par les formules

ù pr) =p? — (28 + hg)Y

RE gr) =D + (289 +fr)T, (a) où l’on a

DH EVA (ON 4) et @— AP (6 — AY Er)"

Il suffit donc de donner à » les valeurs successives 0, 1, 2, 5, etc., et de substituer les valeurs de ® et '# qui en résultent, pour avoir successi= PQ) PC) 40)? 90)?

Il reste à voir maintenant ce qui arriverait, si on ns n des valeurs négatives —1,—2,—3, etc.

vement toutes les fractions convergentes dont il s agite £ etc.

(71) Or j'observe qu’on a (Q+dVAre (gp — 4° tea Te 7

donc la supposition de x négatif revient simplement à changer # de signe,

(1) Cette période pourrait contenir moins de trois termes, mais alors on réunirait plusieurs périodes, afin de ne pas donner lieu à exception pOur ce cas particulier: 1E

et à multiplier les valeurs de ® et # par un même facteur (Æ 1)", cette quantité ambiguë Æ1 venant de 9° — 44° qui en effet peut être + 1, ou —1. Mais comme la fraction P Cr) n’est pas différente de EC n

peut faire abstraction du facteur (a 1) ainsi les valeurs négatives de 7

répondront à de nouvelles valeurs de P) données par les formules

q Gi) PR) =p? + (gp +hq)# Gr) = 92 — (289 +Jp)Y. (2)

On pourrait croire d’abord que ces formules ne différent des premières que par la forme, et qu’elles conduisent réellement aux mêmes valeurs

(er = om É mais il faudrait pour cela que deux fractions telles que

PD—(cep+hg)r po+(op+hg) +

qo+ Ge] +fp)r? qu —(Cieq+fp)F pussent être égales : or c’est ce qui ne peut jamais avoir lieu, car en les réduisant au même dénominateur, on trouve que la différence des numérateurs est (fp° +gpq+ hq*)(D'F + DY’), quantité qui ne peut jamais être nulle.

Donc il est certain que les formules () donnent des valeurs de PC) gr) soit dans les formtules (2), soit dans les formules (a), p(n)=7Y, g(n)=3, les valeurs générales de y et de 3 satisfont à l'équation JTE oy3-+h# =Æ+D; d'un autre côté, D étant supposé plus petit que

différentes de celles que donnent les formules (4). Mais en faisant,

y’ 4 ,'on peutdémontrer que toute fraction ? = qui satisfait à cette équation

est comprise parmi les fractions ete vers une racine de l’équa- Gon fx + gx+h=—0o. Donc si les formules (2) donnent des fractions

ee non comprises parmi les fractions convergentes vers la ie

43% bo VAE Ali faut que ces mêmes fractions = 0) 7) soient comprises par.

mi les fractions convergentes vers l'autre TACIRÉ LT = en mr ‘On ne doit pas perdre de vue , que parmi les Factôns convergentes -qui répondent au quotient-complet Vars. : Lestsupposéela plassimple,

ou celle qui est comprise dans la première période. Si on fait r=—1 dans les formules (a), ouxz=—1 dans les formules (2), la fraction qui en

= ae = Cas RUE. metres sriiet ohlelonre À IS A nn LT tres = 2 rs EST ER CRE 2

PREMIÈRE PARTIE. 85 résulte pourra tomber dans les parties irrégulières du développement de l’une ou de l’autre racine , ou même ne se trouver dans aucune, par des raisons qui seront exposées ailleurs; mais si on fait 2 > 1 dans les for mules (b), alors la fraction qui en résultera sera certainement l’une des

. e — VA 22 fractions convergentes vers la rame 1 —©2,

(72) Soit donc, en supposant n>1, (p-H+Ÿv4) =D+Y y À, et

P=p® +(28p +) Q—=gD—(:87+JP)Y,

O2 aura 7 pour l'une des fractions convergentes vers la racine ..:

x = VE. Mais si on fait semblablement

P=— pe —(28p +hq) Q—=— 98 + (387 +fP)Y P=—p® —(8p +hg)Y Q=—g8+ (87 +p)F,

a (à 3 à il est clair que œ et 5 seront pareillement des fractions convergentes

vers la même racine. Ê Me maintenant de faire voir que les trois p!' fractions convergentes 2 ç ce re » se suivent immédiatement dans

l'ordre où elles sont écrites.

Et d'abord ee valeurs précédentes donnent PQ°— PQ =(p'4—pq) (—4Y")= 1, et (PQ—PQ)——(PQ—P°0); conditions toutes deux nécessaires pour l’objet que nous avons en vue; mais elles. ne sont pas encore suflisantes.

On peut, pour fixer les idées, supposer que la valeur de» est un peu LU P Te a: 2e, grande, ensorte que la fraction conveérgente © réponde à une périodé

assez éloignée du commencement de la suite. Comme toutes les périodes sont égales , il importe peu quelle est celle qu’on considère ; et la forme qu'on trouvera pour une période éloignée , conviendra également à toutes les autres périodes. Or lorsque 7 est un peu grand, les nombres ® et # sont très-considérables , et comme on a toujours D—4%*—(1)— "#7,

il s’ensuit qu'on a ion à très-peu près ® — #4; substituant cette valeur dans celle de 2, on aura P=#F(py/ 4 + :ep+hq) = (V 4438)

SE NCIS

Le æ œ

RPAPOS SRI LS A

(p— gx), x désignant la premiere racine VAE dont? est une valeur approchée.

On trouvera de ane dou pour P° QUE et si , pour abré éger, on appelle À Le facteur constant Y(4/4—+19), on aura P°=—R(p—qx) P= R(p—qx) P== R(p—ga).

Soit z le quotient-complet st répond à la fraction convergente = à P dans

le développementdela valeur de x, on aura x — ÉOue gz+q ‘P—IX

r 3 doit être positif et plus grand que l'unité ; done —(p°— q°x) est

‘plus grand que p— 4x et de même signe; par la même raison , (p—qx)

est de même signe et plus grand que —(p'—q'x); donc les trois nombres P°, P, P' sont de même signe, etils se suivent par ordre de grandeur,

aéore qu'on PERCE; PPS ON démontrerait la même chose des trois ne @r; Q; Q; et cela pose, si les deux fractions convergentes

P = ne se suivent pas immédiatement, on ne peut du moins concea 2 Q >2

P=— pe voir d' intermédiaire entre elles que la fraction -; Car comme on a

déjà PQ —P°Q—2ÆE1:, et qu'en représentant par me fraction conyer-.

gente qui précède $ , on doit avoir aussi PN— MO=ZÆ x, ils ’ensuit qu'on a MAP EP Sel N— 10H Q°, Æ'étant un nombre indéter-

miné. Or la condition;que M soit comprise entre P et P°, donne 41, M=P—P, N= RE Ainsi on est assuré que la faction Lanvet

P ente — est oo de — , ou qu'au moins elle Fest Ier S P 0 2 q

Q ( Es

(73) Éincetudt: à cet égard va ne A fixée, ‘en déterminant

le quotient-complet qui Re à la Re Soit ce quotiént-com-

plet dans PR que — pr écède ? Q? alors la valeur entière de Ia

= po ; fraction continue serait — TE EC EG? soit y le quotient-complet dans l'hÿpothèse que Cr G précède = o 790 aurait la valeur de la fraction continue

= DS PL P(y EN LP FQFOE QU EOO ED FO

PREMIÈRE PARTIE: ? . 85 Or il est clair que cette seconde hypothèse, est reénfermée dans la prenuère, en supposant z——y—1; donc si en partant de la pr emière hypothèse, on! trouve une valeur positive de 3, ee Ari une preuve que cette hypo-

thèse est légitime, , et qu'en effet 2°, À sont des fractions convergentes

Q®? Q consécutives. Si au contraire le on pour 3 une valeur négative, on en conclura que la seconde hypothèse est la véritable. Or je dis que la valeur de 3 est non-seulement positive, mais qu’elle Pr J'A+T est.en général EE quantité est w. Si ce dernier point est vrai, il faudra donc qu'on ait P'=pP+P°, Q'=xQ+0Q?, et c’esten effet ce qui se vérifie immédiatement par les valeurs de P, Q, P°, Q°, etc., puisqu'on a toujours p=?’p#p, et g— Hq=+q?. a reste, la FCHORE partie peut se prou-

ver généralement ainsi.

; je dis de plus que l’entier compris dans cette

On a d'abord Z=—uD—T, ce qui donne = - Fe ii: HAE 1, ETS

» Fè {1 leurs la valeur de g° trouvée n° 62, donne on sére INF q ? et

1,1 Le : ue 2 x x comme À est déjà une valeur fort approchée de £, on a à très-peu de A AL

HP Val Ée ED g°

D- 2 q ? est toujours plus petite que l'unité ; ainsi

+7" } ER pt

Me ne

égale à Li ès-peu pres à

; d'où l’on voit que

on a, Suivant la notation accoutumée À

Venons à la première parte de notre assertion, Si —— est le quo

tient-complet qui Fi à la fanion convergente ne et que celle-ci soit précédée-de il faudra donc que la seconde racine x’ de l’équaton fx ox+h=0o, ait pour valeur-

ge PCAHT)HPD 7 Q(VA4 +1) +Q°D° Mettant au lieu de 7 sa valeur wD—T, et observant qu’on a mP+P°=P", HQ + = es 4 , cette équation deviendra y PCVA— Cn+rD Q(V4—T)+ QD Si on y subsutue ensuite les valeurs de P, Q, P”, Q’, et que dans le

résultat on mette au lieu de p° et q° leurs valeurs trouvées n° 62; on aura = DOPV AE gp + hg) ++ GepV A+ hqy/ À + 4p) OV 4289 —fp) +890 4 +fp VA— 49) ?

quantité qu'on peut mettre sous la forme

ot 4 CPVA +3gp +hq).

TT ++ 2) (VA — Egg —fp) ;

de sorte qu'en supprimant le facteur commun aux deux termes , on aura

x = PV AT sep hq; + gVA—5gq—fp

Mais à cause de 4—:e*—fh, ona L=CEEVA GE VE, et ainsi

PV A+Egp+hq = ee (fp+2gqg—qv À); doncenfinla valeur de x° se réduit à É D — VAE SZ" f 2 ce qui est la seconde racine de l’équation fx gx h=0:

(74) Ge résultat justifie pleinement les diverses propositions que nous avons avancées , et il en résulte, pour principale conséquence,

que VE est le quotient-complet qui dans le nr de la

seconde racine x’ répond à la fraction convergente — d. Par la même LA

raison , le quotient-complet qui répond à la fraction suivante - » est ee , celui qui vient immédiatement après est __— l'on voit que les dénominateurs D, D°, D°, etc. suivent un ordre coniraire à celui qu’ils ont dans le développement de la première racine.

> etc. ; d’où

Au reste l'existence du quotient-complet suffit pour prouver

celle des quotiens-complets suivans , qu’on en déduit par l'opération or= dinaire du développement en fraction continue. En effet, on a déjà vu

que l'entier compris dans est w; de là, et des relations déjà

PREMIÈRE PARTIE. 87 connues par le développement de la première racine, on tire la suite

D D D VAI à VAE VA=1— D D°

etc.

Mais la suite des quotiens w , m°, °°, etc. retombera nécessairement sur le quotient x; ainsi la période qui règne dans le développement de la seconde racine, est composée des mêmes termes que la période de la première racine, avec cette seule différence que les termes y sont rangés dans un ordre inverse.

S'il arrivait que la période qui règne dans le développement d’une racine füt de la forme w, n', u'...w", pu, m, k, c'est-à-dire fùt com- posée d'une partie symmétrique , précédée ou suivie d’un terme isolé #, alors le renversement donnerait toujours la même période, laquelle par conséquent seraït-commune aux deux racines de l’équation. C’est ce qui S’observe dans un grand nombre de cas, et alors les mêmes quotienscomplets se trouvent aussi dans le développement des deux racines, et y suivent le même ordre.

S XL Résolution. en nombres entiers de l'équation Ly? + Myz + Nz°= +H.

(75) LE faut distinguer deux cas, selon que y et 3 sont ou ne sont pas premiers entre eux. Pour ramener le second cas au premier, soit 4 la plus grande commune mesure de y et de z, et soit >—@y", 3—Û7, alors le premier membre étant divisible par 62, il faudra que A soit aussi divisible par &. Soit donc Æ—6°7", on aura

LD EMyz+Nz ET,

‘équation dans laquelle y” .et 3° sont maintenant premiers entre eux. Donc autant il y aura de quarrés 0: qui peuvent diviser Æ, autant on aura à résoudre d'équations semblables à la pr écédente, Se lesquelles les’ in-” déterminées seront des nombres premiers.entre eux. On peut supposer que cette sorte de décomposition a été faite par une opération préliminaire ; nous pouvons donc regarder l'équation proposée Ly° + My:s+ Nz == H comme l’une de celles où il faut que les indéterminées Jetz soient des nombres pr emiers entre eux.

Cela posé, nous distinguerons encore le cas où 3 et Æ sont premiers entre eux, et celui où ils ont un commun diviseur 8. Dans ce dernier

cas, soit z—67, H—6H", il faudra que + soit un entier; mais comme

F n’a aucun diviseur commun avez 3, ni par conséquent avec ; cette condition exige que Z soit divisible par 8. Soit donc Z=6J', et l'équation à résoudre deviendra

Lys + Mys LONA=E,

dans laquelle maintenant on peut considérer 3° et Æ° comme premiers entre eux,

Donc autant il y aura de diviseurs communs entre Z et A (l'unité comprise), autant 1l y aura d'équations à résoudre dans lesquelles 3° et H' seront prenuiers entre eux. Mais il est facile d'éviter cette multipli-

rer se EE es D e

PREMIERE PARTIE. 89 cité de cas à résoudre, par une transformation qui consiste à mettre { V “ ,» . CE!

J'+ ms à la place de y, et à déterminer 77 de manière que Lr*+-Mm-N n'ait aucun diviseur commun avec 4. Alors la nouvelle indéterminée J' ne pourra plus avoir de diviseur commun avec Z]. Ainsi toute la difficulté se réduit à résoudre l'équation

Ly° + My3+Nz =ÆE A,

dans laquelle 3 et y sont premiers entre eux , ainsi que z et 77. Or cette équation présente différens cas à examiner, selon que le nombre 4LN — M? est positif, zéro ou négatif; c’est-à-dire, selon que les deux facteurs du premier membre sont imaginaires , égaux ou réels.

(76) Soit d’abord 42N— M? = à un nombre positif B ; si on multi-

plie l'équation PROPAÈS par 4L, et qu'on fasse +=, Ort aura

x + Br = + 4LH.

(Nous mettons + seulement dans-le'second membre, parce qu’on voit bien que le signe — ne pourrait avoir lieu). Or ayant à résoudre l’équation x°+ Bz— C, la méthode la plus simple est de calculer successivement les différentes valeurs de la quantité C—Bz, en faisant

DT CT : ‘ 30, 1,2, 8... jusquà 3 — y >. Si parmi ces valeurs il se lrouve

un quarré, et qu'en mêmes temps %a racine æ de ce quarré rende MzEix, >?

— 7; égal à un entier, on aura une solution de l'équaon proposée. Mais si ces deux conditions ne peuvent étre remplies à-la-fois, on en conclura que l'équation proposée n’est pas résoluble en nombres entiers. Il est évident que dans ce premier cas il ne pourra jamais y avoir qu'un nombre limité de solutions en nombres entiers. Ce cas d’ailleurs est si simple, qu’il nexige aucune des préparations indiquées dans l’article précédent, et qu’on peut procéder à la résolution, comme il vient d'être dit, sans s’embarrasser si y, 3 et A ont ou n'ont pas de come mun diviseur.

(77) Prenons pour exemple l’équation 10f +433 32522345

on multiplie les deux membres par 60, et qu’on fasse 3074330, li

transformée sera x" +712 13380:

Je calcule donc les valeurs de la quantité 13380— 715", en faisant suc=:

cessivement 2—0, 1, 2, 3, etc., jusqu'à ce que la quantité dont il s'agit cesse d’être positive ; les résultats qu’on obtient facilement, au moyen de leurs différences uniformément croissantes, sont:

Valeurs de 4°... 13380, 13309, 13006, 12741, 12244, 11605, 10824, Différences ..... DÉS AIS "000 DTA 1000 7015 029,

Valeurs de x°... ooo1, 8836, 7629, 6280, 4789, 3156, :138x. “Différences ..... 1065, 1207, 1349, 14091, 1633, 1775.

. Or parmi ces résultats, il n’y a que 8836 qui soit un quarré parfait, ce-

lui de 94; ainsi les seules valeurs de 3 et x à employer sont 3=8 et

x = +94; mais de là résulte y — , et cette valeur ne se ré-

duit pas à un nombre entier; l'équation proposée n’est donc pas résoluble en nombres entiers; on peut seulement y satisfaire par des valeurs rationnelles telles que 3—=8, y ——", et une infinité d’autres.

(78) Si on a 4LN— M°—o, ou si les facteurs du premier membre de l'équation proposée sont égaux, il faudra, pour que cette équation soit résoluble, qu’elle soit de la forme (my + »z) =, et alors elle se réduit à l'équation du premier degré my+nz=Æ h,. laquelle sera toujours possible, si » et » sont premiers entre eux. Il ne reste donc plus à examiner que le cas où 4LN— M est égal à un nombre négatif — B. Ei d’abord si le gombre B est un quarré parfait, les facteurs de la quantité Zy°+ Myz + Nz° seront rationnels, et l'équation à résoudre sera de la forme ë

(ny ns) (Jr +8) = A.

Or il'est visible, que la résolution de cette équation se réduit à celle des deux équations déterminées :

my Æ ns —= N 2 + gs = — + CA

8 étant un facteur quelconque de Æ. On prendra donc successivement pour 0 tous les diviseurs de Æ, en y comprenant l'unité, et on résoudra relativement à chacun d’eux, les équations déterminées -qui précèdent. On pourra obtenir, par ce moyen, plusieurs solutions, si toutefois les valeurs de y et 3 qui en résultent sont des entiers; mais dans aucun cas, le nombre de ces solutions ne pOur excéder celui des. diviseurs du nombre Æ: DE À

Rs ee NS

PREMIÈRE PARTIE. ot … (79) Supposons enfin qu'on ait M° — ,LN — 44, À n'étant os un quarré parfait. Alors l'équation proposée

L+Mys+Nz = 2H

présentera deux cas à examiner , selon que À est 4 où S ÿA.

Soit d’abord A < 4/4; dans ce cas il suffit de développer en frac+

tion continue une racine de l’équation Lx + Mx+ N —0; WA+I

et si parmi les quotiens-complets = qui résultent de cetie opéra

tion , on en trouve un dont le dénominateur D— H, on en conclura que l’une au moins des deux équations

Ly + My3+ Ns —=+H Ly° + Mys + Ne = — H

est résoluble,; ou même toutes les deux, lorsque les conditions nécessaires sont remplies. Nous avons donné ces conditions dans le paragraphe IX, aimsi que les formules qui contiennent les valeurs complètes de y et 3, et nous ayons remarqué que ces formules renferment le résultat du développementdes deux racines del équation Lx*+Mx4N=0o, de sorte qu’il suffit d’en développer une.

Le nombre 77 peut se trouver plusieurs fois parmi les valeurs de D dans le cours d’une même période, et il en résulte alors autant de solutions différentes de l'équation proposée. Mais s’il ne se trouve nulle part parmi ces valeurs, on en conclura avec certitude, que l’équation proposée n’est résoluble ni avec le second membre + 7 ;, ni avec le second membre — 77.

Ce premier cas de A< 4 se résout donc immédiatement, et avec beaucoup de facilité par le seul développement d’une racine & l’'équaüon Lx Mx + N —0o en fraction continue. Il faut même observer que cette solution suppose seulement y et 3 premiers entre eux

(car? Ÿ étant assimilée à ane fraction convergente Ê , doit toujours ètre

une fraction irréductible , puisqu'on a pq = Py = 1) , et ainsi elle

n’exige pas que 3 et À soïent premiers entre eux. On peut donc, par ce Moyen , se dispenser de: faire la décomposition relative aux facteurs com-

Br RE —

NP NSRNEREERE

ÿ de és, LR RE CSA dé

| | Ru ul {LUN (l \l nt TEL £ all \ ; ail # ji pl (11 [el {UT | | |

muns de Z et de 77, dont on a fait mention n° 75,'et on aura; par ne seule opération , la résolution de‘toutes les équations de’cette sorte. Mais il faut, comme nous l'avons supposé, que Æ soit <4/4; de plus, si 4 contient un facteur quarré 6°, il faudra, comme nous l'avons déjà indiqué, faire 7—6y", 3:—07, H=—6H, et résoudre, par la même voie, chaque équation Ly°®+Myz AE N3°=2ÆH pour chaque facteur quarré 8: qui peut diviser Æ.'

(80) Soit en second lieu ZÀ> 44, alors on supposera que l'équation est préparée, comme on l’a dit n° 75, de manière que y et z soient premiers entre eux, -ainsi-que 3 et À. On pourra faire alors.

J=n2+ Hu,

et ajouter même la condition que » ne surpasse pas +; car l'équation précédente subsisterait en mettant 2—«4H à la place de n, et u—usz à la place de w; or il est clair qu'on peut prendre «4, de manière que n—aH soit compris entre + et —:. Substituant donc la valeur de > dans l'équation proposée, et divisant le résultat par 7, on'aura

Ne nu un

et puisque z et {7 sont premiers entre eux, cette équation ne-peut avoir

Lr+ Mn+ IN H

lieu, à moins que ne soit un entier. On donnera done à »

toutes les valeurs en nombres entiers depuis —1/7 jusqu'a +1; et s’il n’en est aucune qui rende la quantité Zn° + Mn+N divisible par H , on prononcera avec certitude que l'équation proposée n’est pas résoluble. Si au contraire on trouve une ou plusieurs valeurs de 7 qui remplissent cêtte condition, il faudra prendre successivément ces différentes valeurs, et.faire un caleul séparé pour chacune, comme si l’équation proposée était transformée en autant d'équations de Soit, pour abréger, Zn°+Mn+N=fH, ARE ME, LH=h

l'équation à résoudre pour chaque valeur de » sera

Je +gzu+ hi Ex, où il-est à remarquer qu’on a toujours 2°—/4fh = M°— 4LN = 4,4.

Nous avons donné dans le paragraphe IX une méthode pour résoudre cette équation lorsqu'elle est possible, et les mêmes remarques que nous avons faites lorsque D est < ÿ/4, sont également apvlicables dans le