PREMIÈRE PARTIE
cas présent où D=— 1: ainsi nous n'avons rien à ajouter sur cet objet, d'autant qu'on voit bien qu'ayant trouvéles valeurs générales. des et.wr, on en tire immédiatement celles des -indéterminées de l'équation proposée, exprimées pareillement en. nombres entiers.
ÊxEempzEe I.
(81) Soit proposé de résoudre en nombres entiers l'équation. :## 27° — 23y° = 105.
Cette équation se rapporte au cas précédent; elle n’est point susceptible de se décomposer en plusieurs autres, ‘parce que 105 n’a point de diviseur quarré, ni de commun diviseur avec le coefficient 2. On fera donc x=ny — 105%, et. on déterminera n<125 de manière que on — 93 T10577 faciliter de semblables recherches ; observons, quant À présent, que
comme 105 est le produit des nombres premiers 3, 5,:9, il faut
chercher séparément irois valeurs de z telles que à — 5 =
soit un entier. Plusieurs moyens seront donnés ci-après poux
on°— 93 soient des entiers. Ces valeurs sont respectivement nE=5acht,
n 06 A, n=7yE1 , les nombres &, 6, y étant-à volonté. Or ces formules sont faciles à concilier entre SE et comme il suffit de considérer les valeurs de» positives et ribitdrés que 2, la dernière formule donnera
= 038, De 15, 20, 22, 27, 259,154, 36, 41,,45,.48, 5o.
De là il faut écarter tous les nombres qui ne SH pas à la seconde formule, ou qui divisés par 5 ne laissent pas 22 de reste; ainsi les 24 valeurs précédentes se réduisent à celles-ci »—8, 15, 22, 27, 43, 48. Enfin pour satisfaire à la première formule , il faut encore supprimer tous les nombres divisibles par 3, ce qui ne laissera subsis: ier que ces quatre valeurs 72= 8, 13, 22, 45 Soit donc 1°. n=8, et æ—8y=—105%, la transformée sera
JF 322 2107 = 1. L:18g give no Toutes les fois der parvient ainsi à une équation de la forme
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o4 THÉORIE DES NOMBRES.
on-est assuré que la solution est toujours possible, parce qu'en faisant y—f;=u, Véquation devienti®— 47 x, quiest toujours résoluble. Dans le casiprésent, on trouvera par les formules du n° 69, M DER A0 RE ce 9 (24335 + 5588 46) =D + YF /46; d'où xésulte pour première solution de la proposée x = 89 Æ 23Y c PJ Dee 10}; Soit 2°: #15 et x—15y— 105%, la transformée sera 37° — 52yz + 2102 = 1.
Pour résoudre. celle-ci, il faut développer en fraction continue une racine delé équation 3x*— Dax 210 — 0. Voici Popétation avec le calcul des fractions ‘convergentes, prolongé seulement jusqu'à ce qu'on trouve
= VE — 10 = I (o] KA 4 — + 10 ï (ee 12 II I
etc. eic.
Cela posé, les nombres à. substituer dans les formules dæ n° 69 sont PE: 41) a—3, b——26, c—210, 4—46; d'ailleurs on a déja trouvé dans le premier cas, que les Hoindes nombres qui satisfont à l'équation @* JOUE ; SOnt P— 24359, V— 5588, lesquels donnent ç* —46" #1; et comme on a en même temps pq°—p°q—#+1, l'équation proposée 37° —D2yz+ 210% —<+-1 sera résoluble (elle ne le serait pas,si le second membre était —1); faisant donc RUE
“on aura par les substitutions »= 1102 96%, z—@yYy; d'où ré-
sulte pour seconde solution
x = 380 + 253Y ‘ya ndE 167.
PREMIÈRE PARTIE. 95 Remarques qu'on aurait pu trouver immédiatement les valeurs de y
et de 3 par l'opération seule du développement en fraction continue ;
car si à la place du quotient-complet qui répond à la fraction
2 œ 4 . “ convergente £, on met sa valeur approchée Fume ; et si ensuite, au moyen de ce quotient, considéré comme entier, on calcule la frac- . . . Cire 1 : ‘ ÿ üon convergente qui Sulvralt ——, on trouve que cette fraction est
o { 11(6—+- )}+io Cor laquelle se réduit à PE 1 (6 +5)+: 7
de}, dans laquelle il ne reste plus qu’à donner à Y le double si ne +. ; 3! HUE 8
. C'est la valeur générale
Il serait facile de démontrer que ce procédé, qui dispense de recourir
aux formules générales , s'accorde entièrement avec elles, et peut par
conséquent leur être substitué, même pour une valeur quelconque de 2: Soit 3°. 2— 22, et x—227—105:, la transformée sera
OYY — 88732103 = 1.
On développera donc une racine de l'équation 9x°— 88x + 210—0, jusqu'a ce qu’on trouve un quotient-complet dont le dénominateur
soit 1, et on calculera à mesure les fractions eonvergentes comme il suit : | = = 5 + LS LLISUS 0 saine 1 Barr VIE S 1 6 : .:
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