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: \ * « 1,7 L : Leu R As (83) On voit, par ce qui a été démontré"dans ce paragraphe , ‘que lorsque les équations qui en font l'objet sont possiblés, leur résolution ‘estdonnée par un ou plusieurs systèmes de formules tbe que
x a ® + VE 3 —4'D +0,
LE
| Me les nombres a’, 8’, a", d” étant constans, et les quantités. ®, F étant tirées de l'équation Les
= @+V4 = D+ry2,
dE
PREMIÈRE PARTIE: ‘Tas ‘dite laquelle 72 est un nombre indéterminé, et où l'on a toujours g— AJ —Æx, et par conséquent aussi P—.1F = (i) = +: Où —1.
Dans les formules générales, on peut prendre à négatif ou positif à volonté, et ainsi affecte # du double signe 1; Ce qui revient à laïsser le signé de ‘F déterminé, mais à prendre pour des valeurs quelconques tant positives que négatives. En effet on a (p+4d 4)" = (p" — AN° = (p— dv 4) — CE 1) (D— F4) ; et ainsi le changement du signe de 7 revient au même que celui du signe # ; car d ailleurs..le signe de (H1)" qui affecte le tout..est-indifférent, puisque par la nature de l’équation proposée on peut changer à-la-Pois le signe de y. et celui de z.
1l résulte de là que les diverses valeurs de y et z comprises dans un systèmede formules; ‘tel‘que le précédent; forment deux suites qui s'étendent à l'infini, tant dans le sens positif que dans le sens négatif ft
‘dont'chaque térme répond à'une valeur déterminée de positive ‘ou négative, ‘en cètte sorte":
mes CtC. 0, 9 1 un QI D, LS JS ic.
% etc His Ps PS5 Ps:PR) Da) PONS: EC:
- elc." g, 4 4» 4340)5 402); 46); ec:
Au reste, la manière la plus simple de calculer les valeurs nümériques de ces termes, est défaire usage.de la loïtrouvée n° 62 , laquelle donnera p(2) — 2@p(1)=æp (le signe étant le contraire de celui de gi— Ad”). Gette formule.où ps p@)sap(2) désignent en- général trois termes consécutifs, peut servirà prolonger l’une des séries, soilà droite, Soit à gauche, et la mémié loi a lieu dans l’autre série.
S XIE - Démonstration d'une proposition supposée dans Les paragraphes précédens.
(84) No u $ avons supposé jusqu'ici que s’il est possible de satisfaire à l'équation f}° +gyz+h#=2Æ A, où l'on suppose y et 3 premiers entre eux, .et H<Ey (8 —4fh), la fraction ? est toujours comprisé
parmi les fractions convergentes vers, une racine de l'équation. . fx°+gx--h=0o. Cette proposition à beaucoup d’analogie avec celle du n° 10; mais il n’est pas moins nécessaire .de démontrer qu’elle est vraie généralement , sauf une légère exception. dont nous ferons mention.
Soit f un nombre positif, g°et À des nombres positifs ou négaufs à
volonté; soit 4 une fraction donnée dont les termes sont premiers
entre eux, et satisfont à l'équation
JP + gpg#+hq = EH,
je suppose qu'on développe - en fraction continue, et que les quotiens
qui résultent de cette opération soient &æ, 6,....A,uw. Au moyen de ces quotiens, on calculera à l’ordinaire les fractions conyergentes vers
és, et en désignant par = celle qui précède immédiatement È > NOUS avons
déjà vu (n° 9) qu'on peut faire à volonté pq—pg=+1, ou pg—py=t. ù à Cela posé, considérons les mêmes fractions consécutives È É comme
appartenant au développement de x en fraction continue; soit 3 le quotient-complet qui répond"à la dernière, il faudra donc qu'on ait pz-+p° gx —p° XL, OU 3 = .
gx +9 ? PES sont deux fractions consécutives convergentes vers x, sera légitime , si la valeur de zqu'on vient de trouver est positive et plus grande que
Maintenant la supposition faite que Fe :
l'unité ; car telle est la condition à laquelle doivent être soumis tous les quotiens-complets qui résultent du développement d’une quantité quelconque en fraction continue. Il s’agit donc d'examiner si cette condition est remplie. .
PEAR = p°q
- +2 + (/4 toujours 4=—19°—fh,0on a x= EVE; ; Substituant cette valeur
De l'équation précédente on tire AR LT > Or en faisant
à la place dex, et faisant passer le radical au numérateur, on aura
Prato 2f- ov A s+ê= pq° — p°q TE ra 2 © fp+epa+h Dans cette équation, on peut prendre à volonté le signe de ÿ/4, parce qu'on est maître de prendre pour x l’une ou l'autre racine de Véquation fx + gx+h=0o, et la valeur de 3 est différente dans les deux
cas; en mèmé temps, puisqu'on a /p* + 8P9 + hq* =), .Gelte équation donnera
par conséquent on aura e + vas (4) 2 He (prepa) SOS LT NENTS
De ces diverses indéterminations de signes il n’y a que dalle de Æy4 qui soit arbitraire, car celle de Æ dépend de l'équation, proposée,
et celle de (74 (4 =) est également fixée par la valeur de 2 . Lte, Mais comme il importe de considérer la valeur la, plus dE de 3, on prendra.le signe de y 4 pareïlä-celui de 4/ ( ASE . ) + -et
alors le second membre de notre équation”sera nécessairement de la forme
Pise VAHVUAE Æ(pq°—=p'q) - se > 1 )
Enfin on pourra toujours supposer cette quantité positive, puisqu'on
peut faire à volonté pq p°q = #1 où — 1; donc on aura dans tous
les..cas ct . VA+V(AE ETES Le SET à q à H :
(85) Soit" 1°. fp°+gpq=+ hj = HA, et on aura VA+ “ex nu mn)
VA
Le second membre est plus grand que = > Ct par conséquent > 2,
puisqu'on a A <y4; d'ailleurs g° est Lg; donc la-valeur de 3 est positive et plus grande que l’unité. Donc la fraction donnée F ; Qui satisfait à l'équation fp° + 9pq=+ hq —+ H , est toujours l’une des fractions convergentes vers une racine, de l'équation fx + 2x h=0, et ceite conclusion ne souffre aucune exception tant que le. second membre À est positif.
(86) Soit 2°. fp° + 2pq kg, —=— 1, on aura va+v(a- À )
Qu,
Or on voit que dès que g* devient suffisamment grand par rapport à e (et il ne peut jamais être moindre) la valeur de er est à très-
; ; Ag , de sorte qu'on aura 3 = ae, ; ‘Quantité
eu près égale ge PRE 8 A positive et plus grande que l'unité.
Au reste, sans négliger le terme 7 il est facile d’assigner la limite
de q, telle que z soit encoré positive et Sp grande qué l'unité. Pour cela mettons 3 sous la forme
Re (RC) |
à cause de y 4 > H Fa 1 ou’tout au plus +, d'est clair que
3 Sera positif et plus grand que l'unité, si la quantité / (4 1) est
plus grande que ÿ/ 4 + Soit donc y (=> v 47 de Là on tire, en quarrant et réduisant, 9
f+A RÉSERVÉ
Donc tant qu'on aura g au-dessus de cette limite, il est certain que la valeur de 3 sera’ toujours plus grande que l'unité; mais si on a
q <r, on ne peut plus: affirmer en général que 3 soit plus grande
que l’unité.
(87) Quel que soit 9, l'exception n'aura jamais lieu, lorsque f étant, comme nous le supposons, un. nombre positif, À est un nombre négatif, cér alors l'équation proposée aura la forme
JP° + gpqg— lg =— A, laquelle est la même que |
Kg —8pq —fp=+ A.
Cette équation-étant ainsi ramenée au premier cas , il s'ensuit que = D T est une fraction convergente vers une racine de l'équation k'x—2x—f—0 ; donc (en mettant = = à la place de x)? 2 sera une fraction convergente
vers une racme de lé équation fx? Fee 0
(88) Si on ,a à résoudre l’équation fy° + 83 he = H | dans laquelle f et À sont positifs » on pourra toujours (n° 58) transformer cette équation en une autre ay + by's'=cz®= 2} dans laquelle z et c serontposiufs, et où l’on aura bb + 4ac—gg—14 fh=— 44. Cette équation sera donc dans le cas du n° précédent, et si d'ailleurs on a 7<y/24, toutes ses solutions seront données par.les fractions convergentes vers une racine de l'équation ax° +bx—c—o.
On voit par la, que l'exception dont nous ayons fait mention , et qui d'ailleurs n’a bai que très-rarement et pour de très-petites Vilenre de p et g, peut être entièrement évitée par les transformations déjà indiquées. Il:est donc vrai de dire généralement, que lorsque Æ est < 1y/(gg —4.fh), toutes les solutions de l'équation
HE gr Lhe = + H ; Lt
sont données par les fractions convergentes vers une racine de l'équa-
tion fx° +gx+h=o:
(89) Il ne sera pas inutile, au reste, d'apporter un exemple sujet à l'exception mentionnée , et qui nous fournira de nouvelles remarques. Soit pour cet effet l'équation
: 18017° ME pte Doi12 = 3, dans laquelle on à 4 2 ge fh=32,) H=3, etpaï conséquent A< y 4;
on satisfait à cette équation en faisant y — 31 et z—28; cependantla 3%
fraction 5% n’est point comprise parmi les fractions convergentes vers une racine de: l'équation 18012 — 3091% ++ 2211 = 0."
En effet, le développement de la plus er ande racine donne
L=—— 8& = I1+ Etes. O ENT + Ml
CIE NT 8 Lo iihg sis EU L ap, 81 75 etc: rs eics |
et celui de la plus petite racine donne
—1801 ER ET S HPÈS DS re T7 no re Mon: TT: e En em dé ee SUN :
+ 1 ag: 2+ 10 # 9 5.4 + 143 - TE 3 0 21 19 £ s ASLPEISE 0 | 52, :<47 ; ete. eté.
On ne trouve donc ni d'un côté m de l’autre la fraction convergenie +; c'est au reste ce qui S’accorde,avec la formule de l’art: 86, car ici 28,
qui est la valeur de g, «est plus petit que ? Er À qui € ste
PSE DER T7 CIRE Ses &
PREMILRE PARTIE. 107 Pour éviter cet inconvénient, et pour faire ensorte que la solution soit donnée par les fractions convergentes , il suffit de réduire la quantité 1801y*— 3099173 2211%°, si Ce n’est à l'expression la plus simple, au moins à une forme où les termes extrêmes soient de signes contraires. C’est ce qu'on obtient immédiatement.en faisant F—=107 — b1z # f 3—= 9 — 463 SE
car alors l'équation proposée se réduit à cette forme très-simple JV HNT — 072 ——5.
Développant donc une racine de l'équation x°-+x—9= 0 en fraction continue, On aura
mit + A : o # de 2997 :
3 = 1 + LÉ ae CSG 1 a 3 . L 2 54 21/57 __ ; : =D + 5 2 x A 28 x IT etc. etc.
. : . . $ A l'inspection des quotiens-complets, on voit. que la fraction conver- P q À » q
gente = peut être prise pour ; Car en faisant y = 2, SI RONA 4 à SVT +HI2 05 = —35; de là résulte y=— 31 ets 28; c'est la solution-qu'il s'agissait de trouver par les fractions conyergentes.
Au reste, la solution générale de l'équation en y’ et 3’ déduite du développement qu’on vient de faire, est comprise dans les: formules suivantes :
1°. Si l'on fait (6-+ ÿ/37)*=ÆF4+ Gy57, on aura Y=2F + 16G | Ti FES CA d'où résulte i J=-3F+0G 2= 287 RE 86G.
