HARAS

De la on voit que toute quantité indétermmée py*+2qyz=#r2t, dans laquelle 79° —pr— 70, doit se réduire à l’une des douze formes suivantes :

TT IQ 7095 2y° + 273 — 393* 397 + 2Y2— 27° 37° + 273 — 263? 267? + 273 — 33° Gy° + 273 — 132 137 + 2yz — 67° 5y° + 4yz— 157 15y° + 473— Dz° 7° + 6ÿ3 — 107° 10? + 6yz —"72;.

De ces douze formes il y en a six qui ne sont autre chose que les six autres prises avec des signes contraires, car d’ailleurs la forme. ..: aÿ* + 2byz— cz ne diffère pas de ay*— 2by3— cz, puisqu'on peut prendre indifféremment 3 positif ou négatif.

(95) Il pourra arriver pour certaines valeurs de 4, qu'une formule ay*=+ 2byz — cz soit identique avec son inverse cy* + 2byz — a°, et c’est ce qui a toujours lieu, si on peut satisfaire à l’équation....... nm — An —=—1. En effet, si l'on a m°— An ——1,et qu'on fasse ay° + 2by3— cs = Z—c3° + 2by 3 — ay", ces deux valeurs de Z, l'une donnée, l’autre hypothétique, étant multipliées par 4, on aura, apres avoir fait pour abréger, ay +b:=x, ay +bz=x,

aZ = x" — A7 — aZ = x" — A7", d'où, à cause de —1 — me — An, on tré x 47° = (rm — A (x? — Az),

Pour satisfaire à cette équation, on peut la décomposer en-ces deux autres :

az 4=(m—ny À) (x +: A4)

d'A = (mn À) (x 21/4); desquelles. résultent

L'E= MX = NAT r FE b 3 , = m—nx = (m— Ùn)z— any.

Donc en premier lieu z est un entier; ensuite si à la place de x et à’

CR le ie tte ce - MS Um — 4 mener phau…— -P E

CPREMIÈRE PARTIE. 113 on met leurs sise ay + bz, ay Hbz, on.aura, après les réductions, y’ = (m + bn) y—cnz. Donc y’ est aussi un entier, et ‘ainsi la formule ay? -E20yz—cz" est la méme que son inverse c2/°=2by"#—4y". Lorsque A ne surpasse pas :139,. l'inspection, de la, Table .X, fera voir si l'équation 7° — An —=— 1 est possible; elle-le: sera toujours (n° 43) lorsque À est, un nombre premier 4k—+x ,.et en général il faut que tous les diviseurs premiers de 4 ou de :A soient de la forme 4k+ 1; mais cette condition n’est pas suffisante, puisqu'elle est remplie à l'égard de 34, 146, 205, etc., sans néanmoins que l'équation dont il s’agit soit possible.

(94) Gela posé, voici la méthode pour découvrir parmi toutes les formules qui résultent d’un même nombre 4, celles qui sont identiques à une formule donnée ay? 2byz—cz.

Si la formule Z = 4y*+ 2byz— cz est identique à une autre formule dy® + 20'y"z3 —c'z°, 1l faudra que celle-ci résulte de la première par quelque AE Or la transformation la plus générale consiste à faire (n° 53) ie PS og au 45 les nombres Ps 9» P°s 9% n'étant pas entièrement arbitraires ( ,, mais devant satisfaire à la condition pq*—p°q=—=# 1. Supposons donc que Ja substitution ,de-ces valeurs, donne Z = «y* + 20y 3 — cz", nous aurons - a = ap? + 2bpq —cq*

D = app° +2 (p + pig) 7699 FE; ° — ap°* + 2bp°q° r re cg.

Maintenant si lon veut que & et —c soient réellement de différens signes, afin diras la transformée soit semblable à la formule proposée, il faudra qu’une racine de l'équation ax + 20x — c—0o tombe entre

les deux fractions É, 55 d’ailleurs comme on a Bb La c—=bb+ac=À ,

et qu’ainsi lun des nombres a’ et c’ est nécessairement 4/4, il faut que l'une au*moins des deux fractions précédentes soit rnb parmi

(1): Les lettres. pet g n’ont aucun rapport avec les coefficiens de la forme primitive que nous avions représentée par py*+2qyz + ra,

DR EE ES US DE SAIT cs L QU 34, 72 1

les fractions sa vers la raciné Et S XIL.). Soit B cette” frac?

tion, ét soit:prise pour F3 ‘ la fraction convergente qui crécéde ? d alors

Îés quatre nombres p, g, p°, qg° seront déterminés par deux fractions successives résultantes du développement de la racine x en fraction “éontinue. Mais j'observe qu'il n’est pas méme nécessaire de calculer ces fractions pour avôir les transformées successives 47° + Tr — Cat.

En effet, soit Le le quotient-complet qui répond à la fraction con=

vergente £; on aura, comme il a été trouvé ci-dessus (n° 59) q

ap + 20pg cg = D (pq pa) ; est appèt b(pg° +p'g)— cg =—1(pg —p'4) CRÉENT RE RE PAS

Donc Étraféfoimeg Z'sèra simplement

=(pg —p°q) (Dy? al z =D); 7

ainsi, de ris quotient-complet on déduit immédiatement et sans calcul, la transformée correspondante. Il est inutile d'ajouter que le faire pg°—p°q aura pour valeur —1, dans la première transformée , ser dans la seconde, et ainsi altériativement. L.4*

(95) "Éherchons; par exemple, ; Les Tes dont ‘est susceptible la formule Z=— y? — 705"; il faudra faire la même opération que pour changer en fraction continue une racine de l’équation x*—79—0: voici cette opération et les transformées qui en EE

Lys 84 Tranfomées. | PES ice or RATER Vrotr =, + D pe yen ee Ne on Vo 6 ne 6pêe TUE RE 14 | | etc.

I est inutile de continuer l'opération plus Join} parce: que le-retour

STE de SM rous" Rs, SR ee - Re nee tnt en ess Le

PREMIÈRE PARTIE. 115 des. mêmes quotiens ramènera les. mêmes transformées. On voit done

que de la formule proposée y*— 70z* il ne résulte que ae transfor« mées , lesquelles se réduisent aux deux suivantes :

TH 1073 — 153, Si ensuite on ramène celles-ci à la forme ordinaire où 2b soit <aetc, elles deviendront

“et comme l’une des deux n’est autre que la formule proposée, il n'y a véritablement que 27*— 2y3 —59z* qui en soit une transformée.

Pour réduire. les autres. formules trouvées (n° 92). dans le cas de A = 79, considérons une d’entre elles 3y?-4 2y3—263°, et développons en fraction continue une racine de l'équation 32° + 2x4 — 26—0; nous trouverons les transformées suivantes :.

= —TEVIs 24

Transformées.

VISITE ve 107" + 14y3 + 32

vai 1+ 7) — 6ys — 102!

VAE = 1 + — 9 8 73 LB Fe Gy*— 1073 — 97 VI 54 — 5i4yzt 63 ES: ei #1 By" Gps. — 53 VIT = etc. etc,

Ces six transformées réduites à la forme ordinaire, seront

37° + 273 — 267* à 77° — 673 — 107" 77° — 6yz— 1027" Gy® + 273 — 152 by" + 4yz + 102 37° + 273 — 267,

De là il résulte que les douze formes trouvées citdéssns pour Ja quan tité indéterminée py° Rs de rs", PERTE h A dpi ; 86 réduisent |

aux quatre suivantes : £ Le 797 —#.

Donc toute équation de la forme py*=+ 2qy3-br# — "EH, dans laquelle 4° — pr = 79, pourri “He étre. ramenée à l'éné des deux équations J'—179=<EH ts Leu 27e — 26 als ;

(06) C’est d’après ces principes que nous avons constfüit la Tablé I, où l’on trouvé pourchaque nombre non quarré 4 dépuis 2 jusqu’à 156% les'diverses formes principales auxquellés peuvent toujours se réduire les formules indéterminées Ly° +2My3-'Nz#, dans lesquelles: .1 M> — LN — 4. Les signes Æ qui affectent la plupart des formules , indiquent deux formes également possibles, mais qui s’excluent mutuellement. Lorsque les formules ne sont pas précédées d'un: ‘signe ambigu, elles ont lieu telles qu’elles sont indiquées, mais elles auraient également lieu ayec des signes contraires.

On trouve, par exemple, à côté de 03 la formule réduite Æ(y°—033°); cela signifie que toute-formule proposée py° + 2qgyz + re, dans laquelle g —pr Su se réduira toujours à la forme 7° ee ou à la forme 933°—7"°, mais jartais aux deux à-la-fois.": |

Au contraire, vis-à-vis de 97 on trouve la forntule y*—07z* sans ambiguité; cela signifié que toute formule py°2 2gÿ2—rz, dans laquelle 9° — pr=97; se réduira toujours à la forme 7-07" . Mais elle se réduirait aussi, si on voulait, à la forme 97° —7", parce que dans ce cas l'équation 7° — 97n°= — 1 est «possible.

(97) Considérons maintenant la formule Ro minée TL+-MyeNes g®, dans laquelle M est impair’, et où la quantité M°— 4LN est égale à un nombre positif B. Cette formule peut toujours être réduite à la forme ay°+-byz— cz, où l’on auraWa-la-fois 4 ét c posiuts, b£aet c, eE b® + 4ac—B. Au moyen du seulnômbreiB, supposé connu, il est facile de trouver toutes les formules 4y?+ by ce qui satisfont aux conditions précédentes; mais: ensuite: D sages de réduire ces formules au

EURNEE PER ER ns DR CRE sm — re me SN, En

PREMIÈRE PARTIE. 117 moindre nombre possible, en supprimant cellés qui sont inutiles ou comprises dans les autres.

Pour cela, considérons l’une de ces dites ay byz er, où , plutôt son double 2ay°+ 2byz —2cz"; et alors le coefficient du terme moyen étant pair, on pourra procéder, par la méthode précédente, à la -récherche dé ses transformées successives. IL faudra à cet effet développer en fraction continue une racine de l'équation 2ax°+-20x—2c—0; —b+VB

cette, racine étant x — . Les transformées seront également de

la. forme. 24/y°.+ 2b'ys — 2c'z°, laquelle résultera toujours de l'expression . : &

(pa — p°q)(Dy° — 21ÿ3 — D°s),

et le multiplicateur 2 commun aux ünes et aux autres ; n’empêchera pas de reconnaitre avec une égale facilité les formes identiques.

Il n’y a donc.véritablement aucune différence essentielle dans la manière de traiter le cas de M pair et :celui de M impair. Mais les résultats de ce dernier cas doïvent être consignés dans une Table particulière qui offrira pour chaque nombre B de la forme 4nx, les formes essentiellement différentes auxquelles se rapportent toutes les formules indéee Ly°+Myz+ Nz, dans lesquelles M est impair et.

—ALN =B.

(98) Pour donner un exemple du calcul de cette Table, soit B—:181. Nous chercherons d’abord les diverses valeurs de 4, b, c qui satisfont à lé équation bac 3181, et comme en vertu des autres conditions le nombre i impair b doit être <y/==, on fera successivement = 1, 3, 5; ce qui donnera, en supposant ac,

= ST CS 45 19-26 = 4) 3 A a Dr 5 ( DS 2. < ac — 43: non décomposableax 3 À ch — —— 5 BP. ac -— 359 nôn décomposable en facteurs pis À M 5:

Done toutes les formules indétermimées Zy°4 Myz+ Nz, dans lesquelles

RRAPORSPENE NES

RPM PAP NEA

M 2ALN = 181, peuvent se réduire à l’une de ces six fofmes:." ‘+

Æ (57° +73 — 1571) sd Æ (7° +73— 9).

D'ailleurs puisque 181 est un nombre premier 4741, l'équation. mi —18in°=— 1 est possible (n° 43) ; ainsi les six formes précédentes : se réduisent à trois, en Ôtant le signe ambigu. Il ne reste donc plus qu'a examiner si ces trois formes peuvent se réduire à un moindre nombre, Pour cela, je cherche les transformées de la formule’ 2y°+-272—0907, ce qui se fera en développant une racine de l'équation fictive... 2x° + 2x7 —00 = © par le calcul suivant:

G: = — 0 da Transformées.

A Va © sauge —6yt 4 2673 + 25" Dur A 2 + 10}*+2272— 6% Vi — 10y° + 1872 + 102* = EE — 4 + 6y* + 2273 — 103" — —13+ — 27 + 26yz+ Gz° 13 + V181 4+ Gy®+ 2673 — 23° etc. | ete.

Il faut ensuite prendre les moitiés de ces transformées , et les réduire à la forme ordinaire, en diminuant le coefficient : or j'observe que cela ! peut se faire de deux manières, tant que le coeficient moyen est plus grand que chacun des extrèmes. Par exemple, dans la première transformée —3y° + 13yz +2, on peut Substituer y — 23 à Ja place de y, ce qui donne —3y* + y2+ 15z*, ou bien on peut mettre 3 — 6y à la place de z, ce qui donnera 2° + yz—45y*. Traitant ainsi les deux premières transformées, et observant que par la nature du nombre 181, il est permis de changer tous les signes de chaque résultat, on trouve qu'elles comprennent à elles seules les trois formes

M DR RE D PE né, ne id — eg ee tout ere. LES