PREMIÈRE PARTIE. vai

$ XIV. Développement en fraction continue des racines des équations d'un degré quelconque.

(100) Soir proposé de développer en fraction continue une racine réelle de équation

ax" DRE A CAT EH AO,

dont les coefliciens sont des nombres entiers-positifs ou négatifs. D'abord on peut supposer que cette équation n'est divisible par aucun facteur rationnel, car autrement on pourrait supprimer le: facteur étranger à la racine qu’on veut développer, et l’opération en deviendrait beaucoup plus simple : par la même raison, l'équation proposée ne pourra avoir des racines égales; car si elle en avait, elle serait divisible par un facteur rationnel qu’on trouverait aisément par les méthodes connues. Cela posé, la racine dont il s’agit, étant choïsie entre toutes les autres, Sera connue à moins d'une unité près. Soit & le plus petit des deux entiers prochains entre lesquels elle est contenue, on fera, si x

ss 1 . , . 1 est positif, T4, OU s’il est négatif, X—=—4—5"7, Ci On sera

sûr. que la valeur de x’ est positive et plus grande que l’unité. Substituant cette valeur dans l'équation proposée, on aura la transformée

BAM Va a ER 0,

qui servira à déterminer x’. Or on sait déjà que la valeur de x’ dont on a besoin, est positive et plus grande que l’unité ; il peut même y avoir plusieurs valeurs de x’ qui remplissent ces deux conditions, parce qu'il peut y avoir plusieurs racines de l'équation proposée qui, sans être égales, soient comprises entre & et a--1. On.essaiera donc pour x” les nombres successifs 1, 2, 3, etc. jusqu'à ce que, par les caractères connus, on trouve les nombres entiers les plus proches entre lesquels tombe la valeur de x’. Soit 6 le plus petit des deux, on fera

x = 67, et en substituant cette valeur, on aura, pour déterminer

x", une nouvelle transformée .

vu a" ba L'stES Der lo,

qu'on traitera comme la précédente. En continuant ainsi aussi loin qu’on voudra, il est clair que la valeur de x sera exprimée par cette fraction continue

x = +: cl y etc.

Et au moyen de ces quotiens connus, on calculera à l'ordinaire les frac tions convergentes Vers x.

(101) Soient = : È , deux de ces fractions consécutives et 3 le quo-

tient-complet qui répond à la dernière, on aura, par la propriété con- PzcHp°, gz+q 52 quelconque ; en substituant cette valeur au lieu de x dans RL rap SRpEnEe Soit cette transformée

AH Br Cr... MK =0, et on aura par conséquent A= ap" + bp Hop qq" K — ap°"+ Ep q + (es és 22 .—+ kq°* :

de sorte que suivant nos notations. ordinaires , on aurait en général K— A°, où K'=— A. Mais il ést beaucoup plus simple de déduirè

successivement chaque transformée de. la transformée précédente ; comme on la déja expliqué: Pour rendre à cet égard le calcul aussi

nue, x —E donc on peut trouver.directement une transformée

simple qu’il est possible; observons qu’en faisant z2= u + l'équation précédente en 3 devenant AE Ba Cr. LE K = 0, on aurait A Apt + Bu LE Cure. HRK BE n AT LE (n— 1) Bu (n —2) Cu + etc, CE ee Apr + LT BurT3 + etc.