COR

PREMIÈRE PARTIE, 123 Donc si la fonction +43" Br: Cz72.., K est désignée par ®:2 ou @, et qu'on forme suceessivement par la différentiation les quantités ®, & ; ÉE ur, etc., qu'ensuite on substitue au lieu de z sa valeur approchée w, ces quantités deviendront respectivement les valeurs des coefñliciens 4’; 8", C', etc. de la transformée suivante. Telle est la méthode que Lagrange a le premier proposée pour le développement des racines des équations en fraction continue; mais cette méthode serait d’une longueur rébutante dans la pratique, si le même auteur n’eùt indiqué un moyen, fort simple de continuer sans tàätonnement la suite des entiers «, €, y, d\, etc. lorsque quelques-uns des premiers termes sont déjà connus, Voici en ju consiste ce per= fectionnement.

rs o one (102) La formule x=/%T#, donne =, où: »

gz+q p—qx di PpT pq Z ne enr er Tax) 5e g(p—qx) x désignant toujours la racine qu'on veut développer, soient x,, x,, æ3, etc. les autres racines de la proposée, et soient 3%,, 2, , %,. etc, les valeurs correspondantes de: ; ; alors, ‘outre l'équation précédente ; on aura Les 7—1 équations qui suivent :

g g(p—gx)

2 19. P# pa To g{p—qxs) g° __ Pq—P°q

Z te qq)

Ajoutons toutes ces équations, et observons que l'équation en z étant + B $ Az" + B37 + etc. 0, on a + ta tatec=— =, la

somme sera

35 +) LE (pr PRE,

où l’on a fait pour abréger:

SD M DE UD ESP É Æ LE én 13

DR re

Es

“24 pa DES NOMBRES.

Maintenant si An quantité > est assez petite’ pour pouvoir étre négligée ; il est clair que la valeur de 3 sera donnée d’une manière directe et

exempie de tätonnement, par la formule

4 B = (n — 13.7 £ do.

H faudra donc prendre pour. #.lenuerle plus grand, contenu dans cette valeur , et cet entier w sera le-quotient .qui répond à la fraction con-

vergente n Au moyen de ce quotient on calculera la fraction suivante 5 > €t la transformée suivante en 7’; de sorte que l'opération pourra

être continuée aussi loin qu'on voudra sans aucun tâtonnement.

(103) Lasquantité A var ie suivant les différ entes ation e auxquelles

elle se rapporte ; elle ne peut devenir infinie, parce qu’il faudrait pour celà qu’un dénominateur tel que Si fut zéro, et par conséquent

que l'équation - proposée eùt un diviseur rationnel pq, ce fi est contre la supposition.

: Néanmoins cetie quantité A pourra quelquefois être-un nombre assez considérable , et cela aura lieu, s’il y a peu de différence entre la racineæ et une ou plusieurs des autres racines x,, x, etc. Au reste, comme

les fractions convergentes = - approchent rapidement de la valeur de x,

ik est clair que les nt A s’approcheront non moins rapidement de

la limite

Dr 4

ZI —ZX; LT — La

Donc si.on continue par la première méthode, le calcul des, termes de la fraction continue, et celui des fractions Éonyereents, jusqu'à ce que

ñ soit plus petit qu'une fraction déterminée = —) OU qu'on ait q>V Tm (T° étant pris pepe il est. clair que la valeur de 3 trouvée cidessus, savoir : |

2=(n— 1) — ho

. 7» n 1 ne sera en erreur -que d’une quantité moindre que De Donc une con-

naissance assez imparfaite des racines de l’équation proposée, et seule-

ment de celles qui sont très-peu différentes de la racine qu'on développe, ‘ sufit pour déterminer la limite après laquelle on peut continuer l'opé-

ration sans aucun taätonnement, par le moyen de la formule précédente. = Parmi ces racines peu différentes de la’ racine donnée, il faut compréndre ‘même les racines imaginaires; car analytiquement parlant, une

racine a+ 6 /—1,.dans laquelle = est très-pelit, est censée peu dif-

férente de «. Si donc on a une racine imaginaire x,—=4+-€ 4 —1,et par conséquent une autre x,—4@—64/—1, il résultera de ces deux racines *substituées dans la valeur de 7° les deux termes

z—a—Cy/—1

qe x— 4 +6 y—1?

lesquels rédui è tirée) 2222" esq se réduisent à.la quantité réelle Gate

Lé Q 1 ne peut excéder son maximum », cependant elle peut être encore assez

Cette quantité

grande lorsque 6 est très-petit, ainsi que x — à.

Si la différence de la racine x avec chacune des autres racines (différence qui se convertit en somme lorsque les deux racines sont de signes contraires) est plus grande que l’unité, alors il est clair que 7° sera moindre que 71, ét la limite de g sera g> V(n—:1}m ; valeur, comme on voit, assez pelite; de sorte qu'on pourra ‘employer la formule presque dès le commencement de l'opération , et alors il n’y aura presqu'aucun tâtonnement.

Si au contraire la racine x diffère très-peu d’une ou de nlusicuré ra cines réellés ou imaginaires de l'équation proposée, alors la première méthode doit être employée dans un certain nombre de termes; maison ne tardera pas à atteindré la limite 9 > 7m, après quoi l'opération se continuera sans le moindre tätonnement. Au reste, on peut observer que sil y a réellement deux ou RUES racines peu diflérentes entre elles, l'équation j j

NAX" TI (nr) DATE (nr 2) cr" Æ etc. = 0

qui est vraie lorsqu'il y a des racines égales, aura lieu d’une maniere approchée lorsqu'il y a des racines peu inégales, ce qui pourra aïder à

trouver les premières figures de ces racines. 5

(104) Lorsque l'opération du développement est avancée’ jusqu'a us

certain point, et que les dénominateurs 7 des fractions convergentes

commencent à être un peu grands, la formule 3—(n— 1) TL

donne non-seulement le quotient w correspondant à la fraction : ; mais

en “développant cette valeur de 3 en fraction continue, les quotiens qu'on obtient de ce développement peuvent être employés à la suité des. quotiens déjà trouvés, et sont exacts jusqu’à une limite que nous allons déterminer. | La valeur exacte de 3 étant RS Je eD A or D Re le terme négligé = — occasionne dans x une erreur qui sera donnée par

em l'équation Here pq; en mettant 3 2 a à la placè

de 3, et x + d'x à la place de x. De cette manière, on trouve

A MNT TN

Soient donc w, w', m',....0 les quotiens qui résultent du développement de la quantité (7 — 1) —— + et supposons qu’en continuant par le moyen de ces quotiens le calcul des fractions convergentes vers x,

> à à P Eh on parvienne à la fraction =, cette dernière sera encore (n° 9) une

fraction pie , Si l’on PR OE < — Te ; donc tant qu'on aura P re > Re ou à peu près Q < 7€ se TT, la fraction Q sera eñcore

June des fractions AE are vers x. D'où il: suit qu'à partir de ka fraction convergente Ê =: ; la valeur de z correspondante, développée en

fraction continue, fournit les quotiens nécessaires pour prolonger. les fractions convergentes vers æ, jusqu'à ce qu’elles aient environ deux fois autant de chiffres que celle’ d’où l’on est parti.

Exrerwe»xe L

(105) Soit proposée l'équation x°—x"— 2% + 1 —0, dont on sait que les racines sont x = 2c05È#, m=—20c05%#, x— 205%, m étant

SR RE ER 5 ce