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quantité, qui étant réduite en une seule fraction, et développée en frac+ tion continue, donne les quotiens 5,2, 2, 1, 2, 2, x, 18, 1, 1, 5, etc.
On pourra donc, au moyen de ces quotiens mis à la suite des quotiens
P : ; Y g à es
déjà trouvés, continuer le calcul des, fractions convergentes, jusqu'à ce
que leurs termes aient 1x ou 12 chiffres. Par des opérations semblables,
on développéra’les deux autres racines , comme on le voit dans Jes deux
tableaux suivans :
do THÉORIE DES NOMBRES.
Développement. de:la.racine comprise-entre © et 1. . 1: >
en “Équation proposée ! 22bfr#" Entier * !} Fractions :rettiseso transformées: de la racine: | convergentes. KA — Lt 20 À 1 0" o 3210 ft: B— 982 1 TASSE 278 £ 75 SCA ns 2 52° 2 45 hi OO | 4 > Lt :2 é 20 +03 1=0 + "20 2:19 cé 73 192 8r : 182 roSuivent les; mêmes trans=- 3 166: 573 formées, et par conséquent les 21 579 41307 amêmes) quotiens que dans le |° 6: Qi fe 20745 20074 : développément de la: première 10 114 60497: 11345 Ç ‘racine. | HSE 251285 + 14124 | 2 261224258606 ni? etc. . ns CLOS ES à
Développement de la: racine comprise entre —x et — 2.
cou nosfcositrobatbus oi alone 06 pes 00: l'hur cata nie à
RER z5 — 53° —43— 1 —0:. 4 ri 01 RAS RE stone" Lab LA@. albert Mis ce —101-{ 81.
SCT encor les mêmes , Bis skob er207i 0 K6GE 10 transformées et les mêmes I —722 3 bygoie quotiens qu'on a trouvés, dans 6 —929 : 745 le développement de la pre- 10 —6296 : 5049 mière racine. 5 —65889 : 51235 | etc. eic
Dans cet exemple, il est très-remarquable qu’on trouve un rapport entre les trois racines, au moyen duquel le développement de la première racine suffit pour donner celui des deux autres. Ce rapport est tel, ‘que si On appelle 6 ure même racine de l'équation 3°—33—47—1=0, celle par exemple qui est éntre 4 et 5, les trois racines de la proposée
Haras en ere RSR PR RUES
PRÉMIÈRE PARTIE, 135 seront : ».
a 1 à d —1 : —- & a— 1 je 1 GE a&—1:
Ces propriétés se .vérifieraient aisément par. les formules des smus ; puisqu'on a X—2COSÈT, Xi 2C0SÈT, X,—2COSÈT——2C0S2 7. Nous remarquerons au reste que l’équation dont il s’agil tire son origine de l'équation 7°—1=0, où l’on a fait *-rx+1—0o; elle servirait aussi : à inscrire le polygone régulier de 7 et celui de 14 côtés, car on a le côté de l'heptagone régulier —2sin}; #7 =—4/(4—x")}— AE 2)(xæ—5), et celui du polygone de 14 côtés —2 cosir —x.. : l
Toutes les équations relatives à la division du cercle sont telles, qu’une de leurs racines suffit pour déterminer rationnellement toutes les autres ; mais il en existe une ‘infinité d'autres qui, offrent la même facilité, et entre toutes ces équations, on doit distinguer surtout celles dont une racine développée en fraction continue suflit pour donner le déve= loppement de toutes les autres racines.
ExemprseE IL
(106) L'équation. xf—x°—3x°+2x+1—0 aurait pour racines
T 27 Br. AT À X—2C0S- ; L——2C0S —, H—2C0S—, X—=—2COS—:+ mais en
. 13 « , . tt , .,7 : 1 .
excluant la racine 2 COS" quesse réduit à l'unité, on à l'équation. . . T OT" x— 3% — 10 dont-les racines sont x = 2 cos - , x —=— 2c05 —:
= — 200$ £. Voici le développement de la plus petite — 2 cos £.
ee: :
; LL 3x x Lo : — 0 — 1 : 0 — SL 53—1—=0 2 O0: TI 3z—33—1—0 ‘1 — 1 : 2 — 2 +63 +934 3 — 0 7 —1 : 3.
172 — 54z— 1531 —0 3 .4=—8.: 23 —752 + 1207093417 — 0 2 — 25 : 72 CII ES == 2072 —3183—73— 0 3 — 58 : 167 ” — 70378072 470234 111 —0 1 — 199 : 573 10072° 5872 — 12123— 705 — 0 1 — 257 : 740 —5213%-+2583:13/408:1007 — 0 6 — 456 : 1313 ‘109072°—2186/43—670903—521 — 0 11 — 2093 : 8618 etc. ec etc.
La dernière transformée aura pour racine approchée
et le développement de cette fraction donnera à la suite de 11 les quotiens ti 93e 15 0:13 2,10 LC.LE AU royen desquels l’approximation des fractions convergentes .peut être poussée jusqu'à ce que les S nominateurs n'excèdent pas (8618)°.
, à ‘ TT.
Développement de la racine Are
ba bel ©
1 rl 2° — 67 —93—3—0 HMS 2" 178548195341 —0 3 15 : % 3 2 AT Les autres transformées sont | 2: 109 : E les mêmes que dans le déve- I 374 : 199 - loppement de la première ra- E 488 : 257 cine. 6 857 : 456- I 5625. : 2095
| etc est he etc.
ER
em dns.
