RS

On voit en même temps que si on avait à résoudre l'équation

On aura donc x —

on y satisferait en faisant 4 — 1247; u — 12654.

Une telle réduction entre de si grands nombres paraît remarquable; cependant pour peu qu'on y réfléchisse, on verra que toutes les transformées ‘comprises dans le développement de la même racine jouissent dela mème propriété, c'est-à-dire que si lune quelconque de ces transformées est représentée par 4° + Br ,Cz+D—o, les nombres 4, B, €, D pouvant-s’élever à une grandeur quelconque, on satisfera tou

es A CIN AE

PREMIÉRÉ PARTIE. 133 jours à l'équation | ; AB + Bôu+ Cu + DÉS ET,

en prenaht {=—=—q, u—=4q, B étant la fraction convergente à laquelle répond le quotient-complet z.

Si l’on considère de plus que la proposée a at 2e EH 0 et ses trois premières transformées ont à leur premier terme Funité pour coefficient, et que-chaçune de ces quatre-équations peut être regardée comme l'équation principale qui, par le développement de sa racine; fournit toutes les autres transformées, on. en conclura qu'il y a toujours au mins quatre manières de réduire à l'unité la quantité AË+ Bru+ Cité + Du. Par exemple, si lon se propose encore

l'équation :

478796 + 250158lu— 0699" + 2baaiu = 1,

on y satisfera de ces quatre manières :

t = 6296 u—=63889 t— 5049 u = 51255 t— 1247 u — 12654 sun O1 ME 619...

: (108) Mais on :péut encore trouver d’autres solutions par le développement des deux autres racines de la même De ie En eflet ; puis+ qu’en partant de Véquation

47870 + 2501583 — Fotos LA 3921.— 0;

et faisant. 3 — Pie haiag OU a la transformée

on peut shpposer qu’on est prvenu à ce résultat, en développant en fraction continue ane racine de l'équation en z, cotmprise entre o ét r. Voici l'opération qui serait Finverse de celle de l'exemple I:

0 — 478703250158: —50609:4-2521 |+ 0 dois

o— 25217"—506997°14250158y+-47870| 10 FAR

o— 559 7°—75227°+-240317 2521 6 fre M0

SE DE PAQN ETES PAR 20 61 : Gr9

0 = ue Vian Het I 5049 *: 51235 0 RER ne nn 1 *| G296 + 65889

T} — PSP IZH | 11345 : Ph.

r AREAS # £ J ; ET. 13482-16306 Arrivé à cette transformée, on aurait BE 5042-0680 ainsi en met-

tant — : à à la place de Z, on voit que la substitution de là valeur

ES 62096x—11345

7 65889x—115124 Mais le développement précédent, qui est exact jusque dans l’avantdernière transformée, cesse del’être dans la dernière, et par cette raison, nous avons séparé par un trait les derniers résultats qui ont besoin d’être rectifiés.

L’avant-dernièré transformée 0—7*#—92)— ra deux racines positives, l’une comprise entre o et 1, l’autre entre 2 et 3. Si on fait d’abord usage de la dernière, il faudra prendre 2 pour racme approchée, au lieu de 1* qui a‘été nus dans le tableau précédent , alors le

gt se continuera ainsi :

donne en effet la transformée x°—x®—2x+1—0.

bo49 : 51255

X © = po 2 y 2 6296 : 63889 O0 + 57 +A4ytHi 4. 17641 : 179013 0—7Y— 20} —9Y—1 2:20 76860 : 770094 0——181y"+3019°+407 1 2 1534841 : 15777883

Suivent les mêmes'transfor- etc. etc.

mées et les mêmes quotiens que dans l'exemple L.

Et comme on trouve ici deux nouvelles transformées dont le premier