COROLLAIRE GÉNÉRAL

( 147) Il suit de ces quatre théorèmes, que les nombres prerniers ims pairs étant distribués en quatre classes ou espèces 8n+ 1, 8n+3 "8n—+b, A on peut établir les propriétés suivantes qui distinguent deux espèces de deux autres :

1°. « Les nombres premiers 871, 825, sont, Ste ément à .» tous autres, dela forme 7°+7.»

2°. « Les nombres premiers ar x 8n+5, sont, exclusivement à » tous autres, de la forme y?+-22°. » \

5°. « Les nombres premiers 82 1, be, sont, exclusivement à -»-tous autres, de la forme 7*— 23°. x:

D'où l’on voit que la seule espèce 87 +1, dans laquelle unité est

(1) On a démontré ci-dessus, n°44, que.c étant un nombre premier 8n+53, il est ‘toujours possible de Ce. à l'équation x°— cÿ ——2: de là il résulte fort di- :rectément.que.c est diviseur. de x? 92,ret qu'ainsi c'est dela forme ÿ+ 22.

.t* (2) C'est encore ce: qu'on'peut déduire immédiatement dela proposition du. x° 45; car puisque, suivant cette proposition, l’équation x°—cy*=—2 est toujours possible, -il s'ensuit qué c divise x°—2, et qu'ainsi c est de la.forme ÿy*—927?. Ges quatre théorèmes, et quelques autres semblables , ont été découverts par Fermat;: , mais les démonstrations de ce sayant ne nous ont point été transmises. Euler a démon . tré le premier' et le second dans les nouveaux Comment. de Pétersbourg ; , Ragragse a démontré les autres dans les Mém. de Berlin, En 1779.

comprise, réunit les trois propriétés, et que chacune des trois autres espèces ne jouit que d'une seule de ces mêmes propriétés.

À laide de ces théorèmes, 1l est facile d'évaluer l'expression (5) se-

lon les diverses formes du nombre premier €. On se souviendra (n° 155) mx

que cette expression désigne le reste de 2* divisé par c, reste qui ne peut être qué Hr Ou —1.

(148) Tnéorème V. « L'expression () sera égale à “1, si lé » nombre premier c est de forme 82+-1 ou 827; elle sera égale à » —7+1, si le nombre premier evest de l’une des deux autres formes » 8n+3, 8n+5.)»

Car 1°. si c est de l’une des formes 8n+1,8n<+7,0on pourra faire c—y— 25, ou 23*—y*—c. levant chaque membre à la puissance

et négligeant les multiples dec} on'aura 2 Le = RE ; mais en

omettant ces mêmes multiples , On aura (n° 120) TD De ele Es

Donc 2° — 71, où suivant notre notation abrégée, ( +) = 1: ,

2. Si c est de la forme 8n 3, on. pourra faire c— EN - +27, où

Let observant

22° RU Éleyant chaque membre: à la puissance =

que —

= est impair, On aura, en négligeant Rae les multiples C—1: CT

AS = a ON, de ©, 2°7==ÿ"", où 2° ——1;,0u enfm =.

3°. Si c est de la forme 8245, c ne pourra être de la forme y*—23" donc c ne pourra diviser-un nombre de la forme #—27*. Mais si c divisait un nombre de cetté forme , on aurait ( en vertu du n° 154)

2,1 ARE . ; . 2. LE r D.

Ce théorème, joint aux observations contenues dans le n° 135,

formera une sorte d'algorithme très-utile. pour le calcul: des: quan-

Li 2 T: « ités ©). x

$ IV. Où lon prouve que lout nombre entier est composé de quatre ou dun moindre nombre de quarrés.

No us commencerons par démontrer la proposition suivante , qui n'est pas seulement subsidiaire pour l’objet que nous avons en vue, mais qui contient une propriété très-remarquable des nombres premiers.

© (149) Tuéorbwr. «Étant donné un nombre premier 4 et deux autres » nombres quelconques Bet C, positifs ounégatifs, mais non divisibles » par À ;je.-dis qu'on peut toujours trouver deux nombres £ et w, tels » que la quantité #— Bu—C soit divisible par 4. » (Lagrange, Mém. de Berlin, 1770:)

Car 1°. si l’on peut trouver un nombre w tel que Bu + C soit divisible par Z, on prendra pour 4 un multiple de 4, et la formule... t— Buw— C sera divisible par À.

2°, S'il ny a aucun nombre qui remplisse cette condition, faisons, pour, abréger, A—2a+1, Bw+C=—#", la quantité dont il s’agit #— Bu—C ou —F étant un diviseur de &*—##, on pourra faire le quotient

k ADO ROME PRIE ES. Pre pe

et on aura

(— Plat Vi=c-i (V5 — ;), Soit Q=F“+ 1, et en multipliant de part et d'autre par Q, on aura (CV) PQZ=Q(E—-1) —(P— 5).

Mais d’après le théorème de Fermat (n° 129), on sait que le second membre est divisible par 4, pourvu que # et Ÿ7 soient premiers à À. Donc si, outre ces deux conditions, on peut faire ensorte que À ne divise ni P ni Q, on en conclura avec certitude que &— 77 est divisible par À, ce qui est l'objet de notre démonstration.

Mais d’abord on à supposé que 77 n’est jamais divisible par 4; et

5 TR EN TENTE CE TRES ETS TER EEE = F = em rs M UT EPA CPR NE CR CE RE ER RERRRQT EE RP" "M TR à A ET

pour que # ne le soit pas, il suffit de prendre pour # Yun des nombres 1, 2, 3....4—1. Ainsi les deux premières conditions se remplissent d’elles-mêmes, et il ne s’agit plus que de satisfaire aux deux sure c’est-à-dire de faire ensorte que 4 ne divise ni P ni Q...

Or 1°. la quantité Q = 7 His (Bu + CH étant développée ; donne

Q=1+ Be + ab Ci = — Br Cu 4 E etc.

pr BC. + etc.

+ CC HaBC=ue, +

Et il faut de ‘deux chosés l’une (n° 134), ou que C*—1 soit divisible par 4, ou que C1 le soit. Si le premier cas a lieu, ou en d’autres

termes, si-l’on a(5)= 1, On pourra faire u=—0, et la quantité Q sera non-divisible par. 4. Ce cas, au reste, est-évident: par/lui-même, puisqu'indépendamment dw terme: Bu? qu'onspent faire zéro où multiple de 4, la parte + € est. divisible re A, en:vertu de a congfion

Si le second cas a lieu, ou si l'on a (2) 1, alors en séparant

dans Q la partie C*+-1 qui est divisible par 4, et divisant le) reste par w, nous aurons le quotient :

de Bius—s 4 ab: Cu He. aBC—,

Cette fonction, considérée par rapport à, n'étant qué du dégré 24—3 ou 4—3, il ne peut y avoir au plus que 4—3 valeurs ie 4, qui rendent Q’ divisible par Z ; donc il y aura au moins deux valeurs de qui rendront Q, ‘et par‘ Cr Q non divisible par 4.

2°. u étant ainsi déterminé, la fonction P ne contient plus que la variable 4, et comme relativement à cette variable, elle n’est que du degré 2a—2 où 4 —5, il ne peut y avoir au plus que 4—3 valeurs de ts entre o et 4, ‘qui rendent. divisible par #; donc il yaura au moins deux-valeurs de #, toujours entre o-et #, qui rendront P nondivisible par 4.

Donc: il sera Protidite possible de satisfaire aux'deux conditions éxigées, de manière que la quantité #—Buw°—C sera divisible par le nombre premier 4.

Corollaire. Si Von fait B=C—=—1, on conclura de cette proposition , que tout nombre premier 4 est diviseur de la formule #-u?-1.

C'estce qu'Euler a démontré le premier dans le Tom. V «des NOUVEAUX. Commentaires de Pétersbourg.

(150) Lemme. « Le produit d'une somme de quatre quärrés par uné » somme de quatre quarrés, est semblablement la somme de quatre » quarrés. » |

Il suffit, pour s’en assurer, de développer la formule suivante , qu'on trouvera être identique :

Cr es) (PER re st) = (ppt gg trihss) + (pq gp 4+rs — sr) > PRÉC RE TPE MERE (ASTM PT

Dans cette formule, on peut changer à volonté le signe de chacune des lettresiqui.ÿ:enfrent , ce:qui donnera plusieurs manières de GisOmp one en quatre quarrés FE produit ,dont il s’agit. (r).

Remarque. :Cerbeau théorème d’algèbre est-encore dù à Euler ; il a été généralisé depuis par Lagrange dans les termes suivans : ( Mémoires de Berlin, année 1770.)

(p°—Bq = Cr + BCs)(p°— Bq° —Cr+ BC") = (pp + Bqj' ECrr'E BCss)—B(pq' +p'qE Crs Æ Cr's) — Cp BqsÆrp Bsg') + BC(qr ps Æps+rq y.

On voit par cette formule, que. deux fonctions de la forme.. x°— By°— Cz + BCw, Bet C étant des coefliciens constans , on pour leur produit une fonction semblable. Donc un nombre quelconque

de semblables fonctions multipliées entre elles, donneraient pour leur produit une fonction semblable.

(1) On peut s’assurer qu'il n'existe aucune formule. semblable pour trois quarrés ; c'est-à-dire que le produit d’unesomme de trois quarrés par une somme ; de:trois quarrés , ne peut pas être exprimée généralement par une somme de trois /quarrés. Car.si cela-était possible, le produit, (1 + 1-1) (1644-14), quiest 65, pourrait se décomposer en trois quarrés. Or cela n’a lieu, (n° 153) ni pour le ponte 63 ni pour atcun nombre 8n + 7.

Par la même raison, ou par l'exemple de (1+4+2.4) (0444211), on démon: trerait que le produit de deux formules telles que p+9°+r*, paq/ars ne peut généralement être ee à une formule semblable x°--y°-92*.

de D RE orne Te

SECONDE PARTIE. 185 (51) Tréorème. «Tout nombre premier À est de la forme

» pq Hire st, » 3 | ‘On a prouvé’(n° 149) qu'il existe toujours deux nombres £ et w tels que & +4 rest.divisible-par 4. Mais si à la place de £ et4 on'met t— Aa et u— A6, le résultat (t— Aa) + (u—A46) +1 sera encore divisible par 4; on peut donc supposer que les premières valeurs de 4 et z sont moindres que +4, ou qu’elles ont été rendues telles en en re-

/ tranchant des multiples de 4. Cela posé, si l’on fait

AA=E+ HS, on aura AA°LE A+ A1, où A°<LE 144 Considérôns plus généralement l'équation AAEpP' Ha Hs",

dans laquelle chacun des nombres p, 9, r, s, sera supposé moindre que. = 4, on aura #4 <£4°, où 4'< A. Et d’abord si on ‘avait #1, il est clair que À serait égal à la somme de quatre quarrés, ét la proposition serait démontrée.

Soit done 4'> 1, et parce que 4'est diviseur de p*+q*+r+ss,

il sera aussi diviseur de la quantité (p—a4'} +(q — CA) (y 4} +(s— d'A}, «, 6,7, d'étant pris à volonté. Supposons qu'on prenne ces indéterminées de manière qu'aucun des-termes p—x 4", g—64", etc. n'excède +4"; alors si l’on fait

A'A=(p—aAÂ ) E(q—<EA'ÿ +(r—34'} +(s— d'A"), on aura d'A"<£4'A' ou 4"< 4’. Maintenant si au moyen de la formule du n° 150 on multiplie la valeur de 44’ par celle de 44", on

trouvera pour produit une somme de quatre quarrés dont chacun est divisible par 4’4'; de sorte qu’en divisant tout par 4”, on aura

AA= (A—0p—€Cq—7yr— ds) + (ag —Ep+ys — dr)" A a mal:

Cela osé, sion a #’—1, la proposition sera démontrée; mais si on a 2 Aro pe de A"> 1, 0on procédera de la même manière pour obtenir un nouveau > .

produit 44” exprimé par quatre quarrés, et dans lequel on aura 4”< 4". Continuant ainsi la suiterdes entiers décroissans 4, 4°, 4", 4";etc., on parviendra nécessairement à un terme égal à l'unité; donc alors le nombre premier À sera exprimé par la somme de. quatre quarrés,

(152) :Taéorème. «Un nombre quelconque estla somme de quatre » ou d’un moindre nombre de quarrés (1). »

C’est une conséquence immédiate-de la proposition qu’on vient de démontrer, et du lemme qui la précède ; car un nombre quelconque étant le produit de plusieurs nombres premiers égaux ou.inégaux , et chacun des facteurs étant de la forme p°=+g+rs®, si on multiplie deux facteurs entre eux, puis le produit des deux par un troisième, puis le produit des trois par.un quatrième, etc. jusqu’à ce que tous les facteurs soient employés, il est clair que les produits successifs seront toujours la somme de quatre quarrés. Donc le produit final, qui est le nombre proposé, sera aussi la somme de quatre quarrés,.et pourra être,représenté par P° RE s°. Rien n'empêche d’ailleurs qu’un ou plusieurs des quarrés p'; g, 1°, s° ne soient zéro ; donc un nombre quelconque est ue à la somme de quatre où d’un moindre nombre de quarrés.

( 155) Il n’est point de nombre entier qui ne soit compris dans Ia formule p° +++ 2, mais ils peuvent, pour la plus grande partie, être représentés par la formule plus simple p®+g°-+ 7°. En général, on peut aflirmer que «tout nombre impair est de la forme p*+-9*+7", . excepté seulement les nombres 8247. »

On excepte les nombres 877, parce que si des trois termes p, q,r, deux sont pairs et le troïsième impair, la formule p°+q*+r* sera de la forme 4n+ 1, et si les trois nombres p, g, r sont impairs, la formule p#+ g° + r* sera de la forme 82453. Doncaucun nombre 8247 ne peut être la somme de trois quarrés.

Si dans la formule p° + g°+7®-Ls* on suppose deux termes égaux, on aura une nouvelle formule p*+ g* + 2r°, laquelle est encore trèsgénérale; Car on peut affirmer que «tout nombre impair, sans excep- » tion , est de la forme p°+ 9° 27°. »

Ces propositions Seront mises ci-après dans. un plus grand jour: observons quant à présent, que les deux formés pq, p°+g+ar dont il est question dans ces théorèmes, ont entre elles cette relauon,

: (1) Lagrange. est le premier qui ait donné la démonstration de ce beau théorème {Mém. de Berlin, 1770) : cette démonstration: été ensuite beaucoup simplifiée par Euler danses Acta. Petropsan: 1777» »

terne LE AS LRQ CL CT ET EE Eee ET EEE en anis ie: ES Es

que le double de l'une reproduitl’autre. C’est ce qu'on voit parles formules 2 PEER (PRO) RAT | 2 (pp ta) = (p+9) +(p—9) + (ar).

(154) La proposition que nous avons démontrée dans ce paragraphe , fait partie d’une propriété générale des nombres polygones découverte -

par Fermat, et dont nous ne pouvons nous dispenser de fairé mention. Mais d'abord il faut, en faveur de quelques lecteurs , expliquer ce qu’on entend par nombres polygones.

Si on considère différentes progressions arithmétiques qui commencent toutes par l’unité, et dônt les raisons soient successivement 1, 2, 5, 4, etc.; si ensuite, par l'addition des termes de chaque progression, on forme une suite correspondante, ces’différentes suites composeront ce qu ‘on appelle /es zombres polygones; elles sont np dans le tableau suivant :

Progressions arithmétiques. | Suite des nombres polygones.

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SD, OAI. Ana | DO, 1, 28, GBeusssrsrs.e R(2R2— 1)

OR RS TC PO PE TN MES M PO 0, 0 PAU De OR SP PT PA PES

TBE TS 0 0e: ie TiL0 123 205:10. EC.

TL) GT, 2er. eNmgtr | 1, da, 35, .

ir a?)

La première suite 1, 3, 6, etc. est celle des nombres triangulaires, la seconde r, 4, 9, etc. celle des quarrés, la troisième 1, 5, 12, etc. celle des nombres pentagones,,et ainsi de suite.

+ Voici maintenant la proposition dont nous voulons parler, telle qu ’elle est énoncée par Fermat dans une de ses notes sur Diophante, page 180.

«-]mo propositionem pulcherrimam et maxime generalem nos prümi deteximus: Nempe omnem numerum vel esse triangulum vel ex duobus aut tribus triangulis compositum, esse quadratum vel ex duobus aut tribus quadratis compositum; esse pentagonum vel ex duobus tribus quatuor aut guinque pentagonis composilum et sic deinceps in änfinitum in hexagonis,