RAR

AU VUE RE LR si er c.

ire +4

heptagônis' et polygonis quibuslibet, enuntianda. videlicet pro* numero angulorum generali et mirabili propositione, Ejus autem demonstrationem que ex multis varits et abstrusissimis numerorum ‘my$tertis derivatur hic apponere non licet, opus enim et librumnr integrum huic'operi destinare decrevimus et Arithmeticen hac in. parte ullra veteres et notos temninos mirun in ImoduM promovere, »

Nous-avons rapporté les propres expressions de l’auteur , parce que c’est surtout dans:ce passage :qu’on voitque Fermat s'occupait d’un grand ouvrage qui devait contenir, comme il le dit lui-même, beaucoup de belles propriétés des nombres. Les Géomètres regretteront long-temps que ce savant illustre n’ait pas. réalisé son projet, ou que du moins ses

parens ou amis ; devenus dépositaires de ses manuscrits.;.m’en aient pas fait part au public. On y aurait trouvé sans doute, outre les, démonstrations encore inconnues de plusieurs de ses théorèmes, des méthodes dignes de la sagacité de l’auteur ; méthodes qui jointes aux découvertes postérieures, auraient contribué beaucoup : à perfectionner cette partie irès-dificile des. sciences exactes.

Pour revenir à la proposition citée, si on considère qu'un moindre nombre de termes polygones: est toujours contenu dans un plus grand’, parce. que zéro, peut être mis à la place. des. termes qui manquent, et qu’en effet zéro est un terme de chaque suite des nombres polygones ; on pourra énoïi@èr plus briévement la proposition dont il s’agit, en ces termes :

« Un nombre quelconque peut être formé par l'addition de ‘trois » nombres triangulaires ; ; il peut être formé également par l'addition

» de quatre quarrés , par celle de cinq nombres PEMAGOnSS RE celle » de six hexagones, .et ainsi à l'infini. »

” (155) Soit donc ‘un nombre donné, et x, 7,13, etc. des nombres indétérmmés, les différentes parties du En général. pourront se détailler de la manière suivante: \

1°. « Quel que soit le nombre donné 4 ; on pourra toujours satisfaire

» à l'équation 4 — + + use ; Qu, Ce qui revient au même, » à l'équation 8443 (2x +1) + (27 Hi) (as) »

Cette première partie, si-elle était: démontrée, -prouverait que: tout

nombre de forme 8243 est la somme de trois quarrés. Réciproquement,

s’il était prouvé que tout nombre 8245 est la somme de trois quarrés,

î ER à Dm SNA EP RUE Mr ur EREETE PA PONS PR ee SES TEE = - " D RE TR pe mr ntm a ht Émis Eli

SECONDE PARTIE. : 189 il s'ensuivrait immédiatement que-tout nombre entier est la somme de trois triangulaires. | 2°. « Quel que soit le nombre donné 4, on pounra satisfaire à l'équa- » tion À = x°+y "+, ; Cette seconde partie a été re ée cisdessus d'une manière qui ne laisse rien à desirer: cependant il ne sera pas inutile de faire voir que la première partie a une liaison nécessaire avec la seconde. En eflét, s’il était démontré qu'on peut toujours satisfaire à l'équation BA+S—=x ty Ee, on tirerait de là 84442" y st 1 Mais les quatre quarrés

du second membre ne pouvant être qu'impairs, les nombres x-+7, 273 313 27, seront pairs, ainsi on aura en nombres enliers :

dt (DEN ET

ou pour abréger, AA + 2= x? Hp + 39 Hu Or de ces quatre nouveaux quarrés deux doivent étre pairs et deux impairs, sans quoi la somme ne pourrai être 44<+ 2, on aura .donc Aa ja 4 (ce 1) + (ad);

d'où l’on déduira

V4 Donc la première partie de la proposition générale, celle qui concerne les nombres triangulaires, étant supposée, il s'ensuit, comme conséquence immédiate, que tout nombre impair 24+ 1 est la somme de quatre quarrés. Mais si un nombre est la somme de quatre quarrés

nn +p°+qg, son double sera aussi une semblable somme, puisqu'on a

2 (nn psg) = (mn) + (eh) (pH) + (p—

Donc un nombre quelconque ‘est la somme de quatre quarrés.

On voit par là que la première partie du théorème de Fermat renferme implicitement la seconde, et puisque celle-ci est démontrée rigoureusement par une autre voie, on doit regarder la première comme déjà

pourvue d’un grand degré de probabilité,

3*. La troisième partie du théorème général donne .

: 3x? — 3y° — 3—t. : Bu? — AE END HE HP TEE,

RE Dr

où

24A + 5=— (Gx—1) + (6Gy—1) H(Gz—1) + (Gi) HE (Gu—r) ; de sorte que l'énoncé de cette proposition particulière revient à celui-ci : « tout nombre de la forme 244 +5 est composé de cinq quarrés dont

» les côtés sont de la forme 6m — 1.»

4°. La quatrième partie donne

A=X(22%—1) +) (27 — 1) +2 (221) ( 251) Hat) Huour) | ou BAG (4-1) (4 a) (4e) sa (Ga) (ue) Il faut donc que «tout nombre 84-+-6 se décompose en six r'quarrés » dont les côtés sont de forme 4m— 1.»

En général, la proposition dont il s’agit se réduit toujours à la dé-

composition d’un nombre donné en quarrés, et toutes les propositions partielles sont contenues dans cette formule générale :

Sa A+H(at 2) (a— 02) —= (2x —a+2) Ro a “+ etc. ;

le nombre des termes du second membre étant ab 2.

$ V. De la forme linéaire qui convient aux diviseurs de la formule #+x, a et n étant des nombres donnés.

(156) ie ne serait pas plus général de considérer la formule ar, a et à étant des nombres premiers entre eux; car si cette formule ést divisible par le nombre premier p, on pourra toujours faire 4 =—&bx+py, et il faudra que x" 1 soit aussi divisible par p. Cela posé, nous examinerons successivement les deux formules ar, a"— 1.

Soit proposé d’abord de trouver la condition nécessaire pour que le nombre premier p divise la formule a" + x.

Quel que soit p, on peut toujours supposer p=onx +, x étant une indéterminée et + un nombre positif moindre que 27. On aura donc, en rejetant les multiples de p, 4"=—— 1; on aura aussi, parle théorème de Fermat, et parce que a ne saurait être divisible par p, +7,

QUIL == Tien ] , an 212 « .

ou & "+ 1. Mais à cause de a =—1,ona a —1, et ainsi

A . Prey . TT =] :

l'équation précédente devient 4 —:1; de sorte que nous avons à satisfaire aux deux conditions

QG 1] , a = I:

La seconde sera remplie d'elle-même, sionar=1, et alors la forme du diviseur deviendra p—2nx+ 1.

Sionaæ>1, soit le plus grand commun diviseur de » et de #—1;, on pourra faire 2=n%®, et 7—1—=#0, ce qui donnera .n'o T'o a TS 48 =.

Mais puisque # et 7’ sont premiers entre eux, on PATEA toujours trouver deux nombres entiers f et g, tels que fn —ga=r.

De là je tire CAE RU POLCET Pet , Où 4 RTE à etcett

n valeur étant substituée dans les deux équations 4 "=="1, ns

il en résulte-les deux conditions

Per, Ts

mL,

RU De I

La première fait voir que f et » doivent être des nombres impairs; la seconde que 7’ est un nombre pair. Celle-ci, au reste, renferme la première; Car Si” est pair , il faudra bien, d'après l'équation JR = F1, que f et »’ soient impairs.

Cela posé; on aura 4°=—1, c’ést-h-dire que «+1 sera divisible par p.

Et comme les seules suppositions à faire sont celles de #—:1 et de #>3, on peut établir le théorème géñéral qui suit :

(157) « Tout nombre premier p qui divise la formule 4"+ 1, doit » être ou de la forme 27% = 1, ou tout au moïns de la forme nécessaire À se 1°] $ » pour diviser une autre formule a + r dans laquelle l’exposant © est » le quotient de x divisé par un nombre impair, »

Ce théorème s’appliquera de même.aux diviseurs.de 4°+ 1, et fera connaître ainsi, de proche en proche, toutes les formes dont sont susceptibles les diviseurs de la formule proposée a" +1. Voici quelques corollaires principaux qu’on.en déduit immédiatement, et qu'il suflira SERRES

. Si l’exposant z est un nombre premier impair, tout nombre premier qui divise la formule 4"—+-1 doit être de la forme 202 1, OU au moins il divisera a+.

. Si l'exposant n est une puissance de 2, la formule "1 ne ou avoir pour diviseurs que les nombres RE compris dans la forme 272x+ 1.

Ainsi si l'on veut cherchér les diviseurs premiers dé 25? +7 TA 294 967 297, ils doivent être contenus dans la formule 64x-+ 1; on essaiera donc successivement 103, 257; 449; 577, 6412 La. division réussit par 641, et on trouve le quotient 6700 417. Pour trouver. Jes diviseurs de celui-ci, il faut essayer de même tous les nombres premiers de la forme 64x + 1, plus grands que 641 , et moindres que 2588 — \/670041 73 cé sont 760, 1153, 1217, 1409, 1601, 2113. Et comme aucun de ces nombres ne divise 6700 417, on en conclura, dr D'Aseurances Te qe 417 est un nombre premier.

. SionazAv, À étant un terme de la progression 2,4, ns étc., et » un nombre premier, le diviseur premier de la Lier a me x sera de la forme 22x71 , ou tout au moins il divisera la for-

h 4 à mule 4 +1, et alors il sera de la forme 21x41

PE ns RE a 2 RAT En andere PNEUS UNE RME, S TA s- BE r 0 DR. 2 ASUS >

SECONDE PARTIE. 193 4. Sion a =, m et» étant deux nombres premiers impairs, le diviseur premier de la formule 4"—1 sera de la forme 27441, ou

bien il divisera la formule ax et sera de la forme 24% + 1, ou bien

il divisera la formule a -r et sera de la forme 2:x 1, ou enfin il divisera la formule a-t 1. Ces cas ne s’excluent pas mutuellement; car, par exemple, il est clair que le nombre premier qui divise la formule

ax, divisera toutes les autres formules a -L1, a “1, etc., et de

# ; ans y RS : . :

même le nombre premier qui divise & +1, divisera nécessairement

(158) Il-est inutile d'étendre ces corollaires à un plus grandnombre de cas. Observons seulement que lorsqu'il s'agira de trouver les diviseurs d’une formule proposée a" + 1, on cherchera successivement ceux

de toutes les formules inférieures & 1 , en commencant par celles où l’exposant de a est le plus petit, et il ne restera plus à chercher, d'après la forme, 22# + 1 , que.les diviseurs, qui ne sont pas donnés par les formules inférieures à d" +1.

On observera encore que lorsque 7 est un nombre impair, la for= mule #1, multipliée par a, devient de la forme x +4, elle ne peut donc avoir pour diviseurs que les nombres premiers qui divisent x a. Cette condition servira à,exclure la moitié des nombres premiers renfermés dans la formule 2nx—+1; mais pour cet effet, il faut consulter ce qu’on démontrera ci-après sur les diviseurs de x* +4. On peut voir dès-à-présent que si & était 2, les diviseurs premiers de x*+2 ne peuvent être que des formes 8m 1, 8m+-3; d'où il arrive que les deux autres formes générales 8m-15, 8m+-7 sont exclues et ne diviseront jamais la formule 2", 7 étant impair. Une semblable exclusion aura également lieu pour d’autres valeurs de z.

E xe me x

(159) Proposons - nous de trouver tous, les diviseurs du nombre 549 755 813 888—2%L1— 4. , Je conSidère d’abord les formules inférieures 21, 2%, 243 la dernière donne 3 pour diviseur de toutes les formules précédentes,

ME TTC ER

La formule 2° “1 —9, ne donne encore que 3 pour diviseur premier; elle apprend de plus que Æ sera divisible par 9.

La formule 2*—1= 8195=—5.2737r, si elle a un autre diviseur que 3, ne peut en avoir que dans la forme 26x - 1 ; mais comme le moindre nombre premier Compris dans la forme 26% 1, est 53 déjà trop grand, puisqu'il excède la racine de 2731 , il s'ensuit que 2731 est un nombre premier, et qu'ainsi 21 n’a pas d’autres facteurs que 3 et 2751.

Cela posé, le nombre doit être divisible par 9.273: ; si on le divise d’abord par 5.2731 , qui est la même chose que 2'°+ x, le quotient sera 2*°—21° 1, ou 67 100 673, et celui-ci étant divisé par 5, on aura A=53.2751 . 22 566 801.

Il ne reste donc plus qu'à chercher les diviseürs du nombre B=— 22 566 891; ces diviseurs doïvent être de la forme 78x71, et puisqu'ils doivent aussi diviser la formule #2, ils ne peuvent être que de l’une des formes 82 1, 82-53. Mais la forme 78x71 , en comprend quatre autres, ‘selon que x est égal à l’un des nombres 47, 47 +1, AJ "+2, 4y+3; ces quatre formes sont :

La seconde et la troisième doiventètre exclues commeétant comprises dans 877 et 8245; ainsi tout nombre premier Fa divisera B doit être renfermé dans l’une des deux formes

Les nombres premiers compris dans ces formes, et en même temps moindres que ÿ PB, qui est environ 4620, sont: 313, 547, 859, 037, 1171, 1249, 1483, 1873, 2751, 5121, 5453:, 4057, 4603. Stonessaie successivement ces treize nombres , ou seulément douze (car il estinutile d'essayer 2731), on trouvera qu'aucun d'eux ne divise B; d’où l'on con- -Clura que 22366 89x est un nombre premier.

Le nombre 2 étant diviseur de “+2 doit être de la forme p°+2q*;

si on veut réellement mettre 2 sous cette forme; on le pourra sans tàtonnement à l’aide de la. formule suivante:

Am 9m? +1 = om? 2m—1\ Om° E m— 1\?, Re 3 SON eo +2 no. TRS De

V8 22691 1 2 " x £ Orona B— ; donc si on fait m—25, on trouvera

Sn mr ph

SECONDE PARTIE. : 7295 (160) Venons maintenant à la seconde question, et proposons-nous de trouver la forme que doivent avoir les diviseurs premiers du nombre donné a"=—1.

Quel que soit le nombre premier p qui divise cette formule , on peut le supposer de la forme p=nx+#; # étant un nombre positif moindre que 72. On aura donc, en rejetant les multiples de p, 4=1, et @—'=1,

d’où résulte #7 "—1. Dans cette dernière équation, on ne peut supposer que 7—=:1, ou T>1.

1°. Sionax—1, la forme du diviseur est p=—nx+1; elle restera ainsi tant que = Sera pair; mais $i » est impair, il faudra nécessairement que x soit pair, et ainsi On aura p—223—+ 1.

2°. Si on a æ>5, soit © le plus grand commun diviseur de-7 et de m—1, (æ devant être 1 lorsqu'il n’y a pas d'autre mesure commune)

on pourra toujours trouyer deux entiers f'et 2 tels que fn —g(r—1)—».

, . nn T—1 CT —] ) Lo 7) Orles deuxéquations & —1, & 1, donnent en & )1 Re

; (Ori Pere .

où & —1, donc p sera diviseur de a —1; et ici il n’y a aucune res-

Bee x , (Q] , . d) triction à apporter au résultat a —1, parce que l'équation à —1 sa-

. » 7 T—1 tisfait aux deux a —1, a ne

Cela posé, toute la théorie des diviseurs de la quantité 4"— 1 est comprise dans le théorème suivant,

(161) « Tout nombre premier p qui divise la formule 4"—7+, doit » être compris dans la forme p— 2x1, ou au moins peut être divi-

Ajoutons que si » est impair, auquel cas la forme 7x1 devient 2n3+ 1, le diviseur p doit encore être compris dans les formes qui conviennent aux diviseurs de la formule #°—4.

Le-même théorème s'appliquant à la formule a —1, ou à telle autre qui résulte immédiatement des diviséurs de z, on aura, par la combi- “naison des résultats, tous les diviseurs de la formule proposée. Voici quelques corollaires généraux qui en résultent. 1°. Si le nombre 7 est premier, tous les diviseurs de la formule a"— 1 seront compris dans la forme 273 + 1, il faut seulement en excépter Ceux qui peuvent diviser a— 1.

Si le nombre » est le produit de deux nombres premiers & et » (2 excepté), le diviseur premier p de la formule 4"— 1 sera de la forme

onz13; où bienil divisera 4"—1,et.sera de la forme 2w3—+1, ou bien il divisera 4 — x: et sera de la forme %3-L71; ou enfin il divisera a—1 et sera de la forme 2341, laquelle convient à tous les nombres premiers. En effet, lorsque 7 est impair, il est évident que a—1 divise a“— 1 ; donc tout diviseur de la première quantité doit être diviseur de la seconde.

3°. Si le nombre 7 est une puissance de 2; et qu’on fasse a—27,

. Éæ—ix,y—£%6, etc. le diviseur p de la formule a“—1 sera de la

forme »2x+ 71, ou bien il sera de la forme ax 1 et diviséra la formule

a : È ee 6 a —1, où bien il sera de la forme 6x1 et divisera la formule a —1, ainsi de suite jusqu'a la forme 2x+- 1 qui divisera la formule 4°—1.

Ext mr EE

(162) Pour avoir tous les diviseurs du nombre 4=—2%—;; nous

formerons le tableau suivant, où l’on voit la formule proposée et

celles qui s’en déduisent , avec les formes correspondantes du diviseur :

p—32x+1....... Aer (26 +) B

p = 16x + 1 B—2$—i—=(2 +i)C p= 8x +1 C8 —i;i—=(2t +i)D P= 4x +1 D=2t —i=(2 +1) E p— 2x +: JR «

Le dernier nombre Æ, qui se réduit à 3, doit diviser tous les précédens, et d’abord on a D—(2°+1).3=3.5; ensuite C—(2#+1)D=53.5. 17. Lenombre B contient les-:mêmes diviseurs que €, etde plus 2°+1—257, lequel est un nombre premier. Enfin 4 est le produit de B par 264 1 —65537. Or comme 2 +1 ne peut avoir aucun diviseur commun avec Z qui est 2°—1, il s'ensuit que 2 +1 ou 65537 ne peut avoir pour diviseur qüe des nombres premiers de la forme 32x+1. Mais les nombres premiers contenus dans cette forme et moindres que V65537 sont 97 et 193, lesquels ne divisent point 65537. Donc 65537 est un nombre premier, donc le nombre Z{ décomposé en ses facteurs premiers =3.5.17.257.65557. Si on multiplie. cette valeur par celle

qu’on a trouvée (pag. 12) pour 2®%1, on aura la valeur décomposée de 254— 3.

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