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SECONDE PARTIE. : 197 Lx eim p Le -Tl:

(165) Soit encore proposé le nombre 4=—2°—1; comme l'exposant 51 est un nombre premier, les diviseurs de 4 ne pourront être que de la forme 62x71, et il n’y aura aucune exception, attendu que 4—x se réduit dans ce cas à 2—1=—1. Si l’on considère en même temps que le nombre: 24 est de la forme 4’ —2, et qu’en conséquence les diviseurs de À doivent être de l’une des formes 821, 8-7, on trouvera, en combinant ces dernières formes avec la première 62x+- 1, que tout diviseur premier de Z est nécessairement de l’une des formes 24831, 2483-+- 63. Or Euler nous apprend (Mém. de Berlin, ann. 1772, pag. 56) qu'aprèsavoir essayé tous les nombres premiers contenus dans ces formes, jasqu’à 46330 , racine du nombre 4, il n’en a trouvé aucun qui füt diviseur de À; d’où il faut conclure, conformément à une assertion de Fermat, que le nombre 2%*—1= 2 147 485 647 est un nombre premier. C’est le plus grand de ceux qui aient été vérifiés jusqu'a présent.

Nous ne terminerons-pas ce paragraphe , sans observer qu'Euler est auteur des principaux théorèmes qui y sont contenus. Voyezle Tom. E des Novi Comment. Petrop.

$ VI. Théorème contenant une loi de réciprocité qui existe entre deux nombres premiers quelconques.

(164) NES avons vu (n° 155) que si »-et 2 sont deux nombres

premiers quelconques impairs et inégaux , les expressions abrégées m TL) ; ss :,

(2) à (=) représentent l’une le reste de »* divisé par », l'autre le

reste. de 2° divisé par 1; on a prouyé én même temps que Jun et

l'autre restes ne peuvent jamais être que 1 où — 71. Cela posé, ül

existe une elle relation entre les deux restes e F (2) , que d’un

étant connu, l’autre est immédiatement déterminé. Voici.le théorème général qui contient cette relation.

« Quels que soient les nombres .premiers m ei n', s'ils nesont pas

» tous deux de la forme 4x-+3, on aura toujours (2)=(), et.s’ils

» sont tous deux de la forme 4x3, on aura (2)= — (=). Ces

» deux cas généraux sont compris dans la formule (= (> mn 1

Pour développer les différens cas de ce théorème, il est nécessaire de distinguer, par des lettres particulières , les mombres premiers de la forme 4x1, et ceux de la forme 4x-1-3. Nous désignerons dans le cours de cette démonstration, les premiers par les lettres 4, «, æ; les seconds par les lettres 8, b, 6. Cela entendu, le théorème que nous venons d’énoncer renferme les huit cas suivans :