VI. Si l'on à (= 1, il s'ensuit

VIE, Si l'on a ()=-+1, il s'ensuit (F)=—:

VIN. Si l'on à (S)=— 1, il s'ensuit (7) = + 1°

Démonstration des cas: IF et F.

(165) J'observe, d'abord que l'équation x*ay*— 83", ou plus généralement l'équation (4f+ 1)2° + (48 + 1 1 — (4n +3)z, est impossible; car x et y devant étre supposés premiers entre eux, le premier ‘ membre sera toujours compris dans les formes 44 1 et 4e +2; tandis que le second l’est dans les formes 44 ou 4k +3. Mais suivant le n° 27, l'équation x° + ay° — bz° serait aps si ON En NL aa b a

et RER des

pouvait trouver deux entiers À et , tels que entiers. D'un. autre côté , la condition pour que £ soit diviseur de 2° + à, est (5°) tr, Ou (=; parce que est de forme 4n+-3, et la éondition pour que a divise m°— b, est (2) = + 1. Donc on ne saurait avoir à-la-fois (5) = et C=+ 1; d’ailleurs ces expressions ne peuvent être que + 1 ou —1; donc

(IV) Si lon à (F) = — 1, il s'ensuit (= — x;

(r4 (V) et si lon a (© = + 1, il s'ensuit (5) = + 1.

Au reste ces deux propositions; sont liées entre elles, de sorte que l’une n’est qu'une conséquence de l'autre; car la première étant posée,

soit (2) = +1, on ne pourra ayoir (5) = — 1, puisquil s’ensui-

2e AO (a .

Nrail () —— x contre la supposition ; donc on aura (e) = + Lt

| Démonstration des cas VIT et VIII.

(166) B et 8. étant deux nombres premiers 4n+5 ,,on a démontré | | | généralement (n° 47) qu'il est toujours possible de satisfaire à l’une des équations Bax° — batir, Br— by = — 3x.

: B on :

Soit 1°. (5) —œ +1, l'équation Bx°— by" = — x ne pourra

avoir lieu; car il s’ensuivrait que à est diviseur de Bx°+r, ou

. .,, f—B de + B (en faisant Bx—5%);. partant on. aurait ( —) SE ou

Will | (5) — — 1, contre Ja supposition. L'une des deux équations étant

| ainsi exclue, l’autre Bx°— by = + 1 a lieu nécessairement : or par celle-ci on voit que P est diviseur de by° + r , ou de 3° + à (en faisant

| by = 2); donc on a (7) A (5) = 1,

Soit 2°. (5) —— 1, On prouvera semblablement que léquation

Bax° — by = + 1 est impossible ; donc alors l’autre équation, ... Br? — by? = — 1 a lieu nécessairement, et il résulte de celle-ci que

Re . b Best diviseur de by — 1, ou de #—b, ce qui donne (>) = +1,

Donc

(VIH). Sion a (7) = + 1, il s'ensuit (D) = — 7,

| (VIT) et si Fon à (5) = — 1, il s'ensuit (G) — + 1,

| AT , B b $ : ; | .… d'où l’on voit que (5) et (5) sont toujours de signes contraires.

| Déinonsirationdes. cas T'ei-L],

| (167) Soit E)=+ r, je dis qu'il en résultera également (5) = + 1, | En effèt, soit # un nombre. premier de formé 4n.5, qui divise la | formule x°-+.4 ; 1l faudra qu'on ait C) = — 1, et par le cas IV, il s’ensuivra ( = —— 1. Considérons l'équation impossible.....,....,

2° + Ay° br"; cette équation aurait lieu (n° 27), si on pouvait trouver

SECONDE PARTIE. 20Y À + A L? — ab ab et A, É la première condition est remplie d'elle-même ; car pour que À “+ 4

HR CN TUE È ., /— À A , soit divisible par a, il faut qu’on ait (5) 1 ON É)=: ;Cequia lieu par hypothèse; et pour que +4 soit divisible par 4, il faut qu’on ait (=) SION (@) = — 1, ce qui a encore lieu.

La seconde condition exigerait qu’on eût (©) hr onde |

(5) - (2) =} 1; mais on a déjà (2) —=— 1, donc il faudrait qu’on

äeux entiers À et x, tels que , fussent des entiers. Or

* BE De À : TE eût (5)= —1. Cette seconde condition ne peut pas être remplie,

. 2 . » . . 7 (54 x Ra l'équation proposée est impossible, donc on a (5) = “#1. onc

(1) Si l'on'a SD =+r, il s'ensuit (S)=+r.

F ; A ESA G Soit maintenant (2) — 1, On ne pourra avoir (©) #1, Car

de celle-ci il résulterait (par le cas qu’on vient de démontrer, et parce que les nombres a& et 4° sont tous deux de la même forme 4n + 1)

A .. ù ee) —=+ 1, contre la supposition. Donc on aura (5) — — 1. Donc II. Si l’on a (£) —— 1, il s'ensuit (5) = — 1. a A

On a trouvé ci-dessus (n° 48) que a et 4 étant deux nombres premiers 47 + 1 , il est toujours possible de satisfaire à l’une des équations Ax— aÿ = Ex, x — Aay — — 1. La première exige qu'on ait

ANSE a\ ; rs ANT > ANR:

()=+ 1 et (5)=+ 1 ; donc si l’on a(Æ)=—: et (5) =— ras conditions qui dérivent toujours l’une de l’autre , ainsi qu’on vient de

le démontrer, la seconde équation sera la seule possible, et aura lieu nécessairement ; d'où résulte ce théorème :

GS. Â ; F A SRE ; » ou (5) =—1, l'équation x — Æay*=— 1 sera toujours possible. »

Us THÉORIE DES NOMBRES.

Démonstration. des cas III et VI,

(168) Soit () — + 1, je dis qu'il en résultera (2) = + 1. En effet, soit encore B un nombre premier de forme 42+ 3 qui divise la formule x° + a, ensorte qu'on ait(à) =—1, et par Suite () —=—1

On à déjà vu (n° 49) qu'il est tua possible de satisfaire à l’une des trois équations suivantes , pourvu qu on prenne convenablement le signe du premier membre

HE 1 = ax — Bby HE 1 0x — aBy° HE 1 = Bx°— aby*.

» : ! B | Or ayant supposé ()=+: ; (& =—1;, C)=- 1, on trouve

que de ces trois, équations qui en représentent six, ily en a quatre qui ne peuvent avoir lieu; savoir :

14, L'équation +1 'Pa— aby*, qui suppose C)=+ 1; æ. L’équation — 1 — Bx° — aby*, qui suppose )=+ Œ 3°. L'équation — 1 = ax° — Bby*, qui suppose ()=— 4°. L’équation 1 = ax. — Bbhy?, qui suppose (5)=+ ï. T1 ne nous reste tie DRE que les deux An :

us bat — aBy° — 1 = x — aBy, j dont lune doit avoir liew nécessairement; or elles exigént HARAS deux

qu'on ait (à = +1 ; puisque par la pr emière a est diviseur de,z—#, et par la seconde « est diviseur de m + b. Donc

IE. Si l'on a fe PL LS il s'ensuit ()=+ m:

: : b sg: À ; Soit en second lieu (2) = —1,je dis qu'il en résultera (5) = — a b

Tr mms. a Ed ne sm

SECONDE PARTIE, 203 Car si on avait (2) —= +- 1, il s’ensuivrait par le cas qui vient d’être

PRE ,(b AE démontré ( =) —+1, contre la supposition. Donc enfin