VI. Si l'on a (©) =—1, d s'énsüit C
(169) On peut remarquer que les quatre premiers cas sont démontrés d'ane manière complète et qui ne laisse rien à desirer. Les quatre autres supposent qu'étant donné le nombre a de forme 42 1, il est toujours possible de trouver un nombre premier d de forme 47 +3, tel que # divise la formule 3° + à.
L'existence de cet auxiliaire se prouve ‘immédiatement ne a est de la forme 8745; car faisant 3=—1,1l6 nombre 3°+ à qui devient 1 +a,'est de la forme 8n +6 — NT RE 5); il est donc divisible par un nombre de la forme 4r + 3, et par conséquent par un nombre premier de la même forme, Lorl pourra être pris pour ©.
Lorsque a'est de la forme 82 + 1 ,.on peut observer que cette forme considérée. par rapport aux multiples,de 3, se divise en deux autres, qui sont 242 1 et 24n + 17. Dans ce dernier cas, il suflit encore de faire 3— 1, et a étant divisible par 3, on pourra faire d — 3.
- Reste donc à considérer seulement la forme 24% + 1 , laquelle pourrait se subdiviser de même relativement aux multiples de 7, 11, etc., et à chaque opération on réduirait le nombre des formes à moitié. Il semble que la difficulté qui se présente pour détérminer à priori un nombre de la forme 4n + 3 qui divise la formule 2° + &, tient à ce que dans le cas particulier où a— 1, Cas qui est compris dans la forme 87 + 1; il n’y a réellement aucun nombre premier de forme 47. + 3 qui divise 3° + x (n° 140).
Mais excepté ce seul cas et celui où a est un quauré ; Qui revient au mème , toute formule # 4, dans laquelle 4 est un nombre donné quelconque, a toujours une-infinité de diviseurs des formes 47 + x et 4n + 3,.et doit même en avoir un nombre égal de châque espèce.
Au reste le théorème général auquel nous avons donné le nom de loi de réciprocité , étant ‘la proposition la plus remarquable et la plus féconde de la Théorie des Nombres , nous donnerons ci-après une seconde démonstration de ce théorème, fondée sur d’autres principes /et exemple de toute difficulté.
(170) C'est ici le lieu de placer quelques théorèmes assez impôrtans ; 3 dont plusieurs ne peuvent se démontrer qu'à l’aide de la loi de réciprocité qu'on vient d'établir.
« Tout nombre premier 47 + 1 divise à-la-fois les deux formules » EP +cu, ®— cu, ou ne divise ni l’une ni l’autre. »
Soit 4 le nombre premier dont il s’agit; si l’on a é ) =+1,4 divisera les deux formules # + cu*, — cu°, où c est un nombre quelconque : si l'on a (2) —— :,ilne divisera ni l’une ni l’autre. C’est ce qui résulte immédiatement des n° 134 et 135.
(x71) « Tout nombre premier 4n + 3 qui divise 4 + cu°, ne peut
» être diviseur de # — cw*, et réciproquement. » Car soit ce nombre premier — &, la condition pour que à divise
lou, est (5 = r; ou (5 ) — — 1 ; et la condition pour qu’il divise
# — cu est (5) — 1; or cés deux conditions s’excluent mutuellement.
Corollaire. "Tout nombre premier à de forme 47 + 5 divise nécessairement l’une des deux formules 4° + cu*, { — cu; car on a toujours ;
€ . - .». x 4; ou(=) —+ 1, ou ( 5) — — 1. On fait abstraction dans ce théorème ; ainsi que dans le précédent, du cas où 2 serait diviseur de c; alors en
effet on ne mettrait plus en question si à divise © + cu? ou € — cu.
(172) « Si le nombre premier c divise les deux formules # — au*; » 4 — bu*, il divisera également la formule &#— ab. »
Car ayant par hypothèse (+ }= mir ( == 1, il s'ensuit que = Le
et qu’ainsi € est diviseur de # — abu.
Le même résultat aurait lieu pour un plus grand nombre de facteurs:
(175). « Si le nombre premier c ne divise ni la formule # — ax? , ni » la formule # — bus, il divisera nécessairement la formule # — abus.
Car ayant par hypothèse (2) = — 1, (2) — — 1, il s'ensuit encore
( — + 1; donc c est diviseur de £* — abus.
(174) « Soïent a et 4 des nombres premiers, tous deux de la forme » 4n=+ 1, je dis que si 4 divise la formule 4 + 4u?, réciproquement 4
ET PU PET LT ENT SUPER VE PRE one D RO EE 2 - AA ni moe moine ne ES
» divisera la formule {#4 au? ; etsi ane divise point la formule # + 4u, » réciproquement À ne divisera pas la formule # + au’. »
. — À 1 qe A Car dans le premier cas on a (==) = 1, c’est-à-dire (©) — 1; donc
réciproquement ©) — 1; donc À est diviseur de &° + au.
. A . , A L4 L4 ” Dans le second cas, on aurait (2) — — 1; d'où résulte également
© —œ— 1; donc 4 n’est point diviseur de + au.
(175) « Soit a un nombre premier 47+1, et soient 4 et B deux » nombres premiers quelconques tous- deux diviseurs, ou tous deux » non-diviseurs de la formule #—au’, je dis que & sera diviseur de la » formule Æ — 4Bu. »
Car 1°. si 4 et B sont diviseurs de la formule —au*, on aura G\ AN __ Ë d 7 + A NE B mt x d ED me E}= 13 donc réciproquement (©) = 1, ©) = LL; oncC AB E (©) —1, donc a est diviseur de. — 4Bw.
2°. Si À et B sont non-diviseurs de la formule £ —au?; on aura , A Lé A B (S)=— 15 (5) —— 1; d'où résulte (©) =—1, (©) ——1; donc AB qe 2 s on a encore )=+ 1; donc a est diviseur de #—4Bu*. (176) « Soit a un nombre premier 47 1; et à un nombre premier
» 4n+-3 qui ne soit pas diviseur de #—au?, je dis que a sera au con- » traire diviseur de 4°+ bu, »
Car ayant par hypothèse ()=- 1, Ou 6) —=-+1, il s'ensuit (5 — 1; donc à est diviseur de 1° + bu.
En général, si on a plusieurs nombres premiers D, b', b”, tous de la forme 4n+ 3, et non-diviseurs de x°—a, a sera diviseur de la formule #68 bu
(177) « Tout nombre premier c de la forme 821 ou 8n+7, » divise ä-la-fois les deux formules #+-au°, #—aau*, ou ne divisera » ni l’une ni l’autre.»
Car la valeur de (—) et la même que celle de (+); puisque le
nombre c étant de l’une des deux formes Se, on a toujours
élite scatte CRIE ste al is ie om
(178) « Tout nombre premier c de la forme 823 ou 8745, dis » vise toujours l’une des deux formules &#-H au, au, mais n’en » peut diviser quune. »
Car dans les formes mentionnées on a(£ ÿ=—: 1; donc les deux
quantités (Æ) et (—Æ) sont de signes contraires. Donc il faut que
l'une de ces quantités soit + 1 et l’autre —1; d’où il suit que c divise
l’une des deux formules dont il s’agit ; et ne divise pas l’autre. Remarques que dans ce théorème, ainsi que dans le précédent, a est
un nombre quelconque positif ou Re 54
(179) Nous ne nous arrêterôns pas à multiplier davantage ces sortes de théorèmes, mais nous croyons que les Géomètres verront avec plaïsir l'application de notre loi de réciprocité à la démonstration de deux conclusions générales auxquelles Euler est parvenu , par voie d'induc+ tion, dans ses Opuscula Analytica, tom. I, et qui sont la base d'une théorie importante. La première est conçue à peu près en ces termes : (Voyez l’ouvrage-cité, pag. 276.)
« Si tous les quarrés successifs 1, 4, 9, 16, etc. sont divisés par un | » mêmie nombre premier 42 1, les restes des divisions comprendront » non-seulement tous les nombres contenus dans les formules 7—79—9 » et gq—+g—n; mais encore tous les facteurs premiers dont ces nombres 5 sont COMPOSÉS. » ES
D'abord ik est facile de voir, que puisque c=4n+-1, on satisfera à
l'équation nie Mure Ge , en prenant 2%—2q—+1=Æc. D'ailleurs
L Ha . >? .
Te est possible, l'équation
c étant de la forme 4n+1, si l'équation 7— 4 . .
1 =e l'est également ; donc , en effet, tout nombre compris, soit dans
la formule 2—4qq—4 ; soit dans la. formule 499-qg—n, du ce nombre diminué d’un multiple de c, peut être regardé comme le reste d'un quarré divisé par c. Cette première partie du théorème ne soufire aucune difiiculté, ainsi qu'Euler lui-mêmé l’a fait voir. Venons, à là seconde qui exige l'emploi de la loi dé réciprocité.
Soit 4 un nombre premier qui divise 72—qq—q où gq+q—n, On pourra faire 99 +-q—n—=#taA; donc en multiphant par 4, puis met tant au lieu de 42 sa valeur c—1, on aura
(291) —c= Eat.
© SECONDE PARTIE. $07 De là, en omettant les multiples de &, on tire c—(2g-— 1)"; donc
c* , ou suivant notre notation (5)= (2g=+3) —=1. Mais de ce que
(2) —=1, il s'ensuit par la loi de réciprocité (2) —=1; donc c est diviseur de la formule x°—*. Donc + doit se trouver parmi les restes des
quarrés divisés par le nombre premier c, ce qui est la proposition d'Euler.
(180) La seconde conclusion générale (Voyez l'ouvrage cité, pag: 281.) est celle-ci :
« Si l’on divise les quarrés 1, 4, 9, 16, ete. par le nombre premier » 4n—1, les restes des divisions conrÉtendront non-seulement tous les » nombres représentés par la formule 29q+4-q, mais encore tous les » facteurs premiers dont ces nombres sont composés. »
Pour satisfaire à la première partie, 1l faut trouver un nombre x tel que æ°—(n+gq—+q) Soit divisible par le nombré premier c—4n—r; or c’est ce que l’on obtiendra immédiatement ,'em prenant 27294156. Donc le nombre 2 4q=-9, ou ce nombre diminué d'un multiple dec, est toujours le reste d’un quarré x° divisé par c
Soit en second lieu & un nombre premier qui Hate n# qq, si 4 on fait +9q+q—=u4À,onen déduira comme ci-dessus, (5941) head j Donc en omettant les multiples de æ, on a e——(27+41); donc
(=) — 1. Cela posé, il y a deux .cas à distinguer.
- 1% Si « est dela forme 4» 1 , l'équation (—=)= 1 est la même
que = ; et on en déduit par la loi de réciprocité (= > donc C4 C
c est diviseur de x°—«.
