Si æ est de la forme 4m—1, l'équation (=) =: ; donne
(£ )=— 1, et on en Les par la loi de TRE (= ; donc
e est encore diviseur de x°— æ.
Donc, dans tousiles cas, le nombre premier &, ou ce nombre diminué d’un multiple de c, est le reste d’un quarré divisé par ec, et par conséquent .doitse touyer parmi lés restes que donnent les différenstermes de la suite .r, 4, 9, 16, etc. divisés par €.
ST PME TRES EME Te RES RESTE
SET TRES AR MERS GET PE een = RTS. a er NN Re
S VII. Usage du théorème précédent pour connaître si un nombre premier © divise la formule x° La. Des cas où lon peut déterminer a priori le nombre x.
(181) lions c est un nombre un peu grand, et qu’on a besoin de savoir si c est diviseur de x a, äl peut être fort long d'élever à
< . Ci; » , . .
à la puissance , même en abrégeant l’opération autant qu'il est
possible , et en ayant soin d’omettre les multiples de e à mesure qu'ils
se présentent. Voici un procédé que fournit le théorème précédent,
et qui conduit très-promptement à la valeur cherchée de ( 2)
1°. Si a est plus grand que c, on mettra, au lieu de à, le reste de la division de a par c; ainsi on pourra toujours supposer que «est plus
C—1 petit que c. En effet, on voit bien que (mc+-x) * divisé par c, laissera Cr pes même reste que & * . Si le nombre à ainsi réduit est un nombre premier, l'expression
es se changera suivant le théorème, soit en (2); soit en — (2); ce
dernier cas n’ayant lieu‘que lorsque à et c sont tous deux de la forme 4n +3. Mais puisque c est >4, on peut, au lieu de c, prendre le reste
de la division de c par a; soit ce reste c’, on aura donc (2) (2) ; 5hS =
ainsi la recherche de la valeur de ©) est réduite à celle de l'expresf sion (=) qui est composée de plus petits nombres; la résolution se fera
donc ultérieurement , tant par ce qui a été déjà dit que par ce que nous allons ajouter.
3°. Si a n’est pas premier, décomposez a en ses facteurs premiers æ, 6, y.... parmi lesquels 2 peut être compris, vous aurez
a : : a (a ‘ (2) = au produit des expressions (5) (2) ( 2) ,; etc. Omettez parmi
Dress Re - ni in en netns el 7 ME dnr !
à SECONDE PARTIE: 209 les facteurs &, 6, y, ceux qui sont quarrés, car en général. (==) (E)=+1; observez de plus, que suivant le n° 148 on a (5)=+:, si c est de la forme 821, et C)=—:, si c est de la forme 825.
Au moyen de ces préceptes et des renversemens donnés par le théorème du paragr aphe précédent, on trouvera bientôt la valeur de l'ex-
pression proposée (£). Et l'opération, assez. semblable à «celle par
laquelle on cherche le plus grand commun diviseur de ‘deux: nORDES, sera à peu près aussi DRae
ExsmpPbrce LL
- : 6 ‘ (182) Pour avoir la valeur de l'expression (23) jobserve que ces î 1013 deux nombres sont. premiers, et.j'aurai, en vertu du théorème, 6or 1013 Le (23) — Ce); la division de 1013 par6ox donne 412 de reste, et 412 étant le produit de 4 par 103., on peut omettre le facteur quarré 4, ce $ 3 : z s qui donnera (Æ s)— ee Ÿ. Mais 103 étant encore un nombre pre-
mier, on a par le théorème, ( re )—= (Æ | —(en divisant 601 par 103
et ne conservant que le reste) (< = )— (=) (SH) =(parce que
Ge 1) (S)= =()=— ( Hd )=—(S)=- +
Donc (Æ —— 1. Donc 10r3 n’est pas diviseur de x°+ 6or-
Pour faire la même vérification par la voie ordinaire, il aurait fallu élever Goxr à la puissance 506, en rejetant les multiples de 1013 à mesure qu'ils se présentent. Or 506 exprimé en chifires de l’arithmétique binaire (1) est 111111 010, c’est-à-dire en d’autres termes.que 506
(1) Voici un moyen très-court d'exprimer un nombre un peu grand en carac-"
tères binaires: Soit par exemple le nombre 11183445 dont il sera question dans l'exemple IIT, je divise ce nombre par 64, j'ai le reste 21 et le quotient 174741; celui-ci, divisé par 64, donne le reste 21 et le quotient 2730; enfin 2750 divisé par 64, donne le reste 42 et le quotient 42: mais 21 s'exprime en chiffres binaires par 1o1oL et 42 par 101010. Donc le nombre proposé s'exprimera par 2101019 Y01010 010101 010101:
est la somme des puissances de 2, dont les exposanS sont 8,275 0:49; 4, 5, 1. Pour former les puissances de 6or qui ont ces puissances de 2 pour exposans il faut faire huit maltiplications ou élévations au quarré; ensuite, pour multiplier entre elles les diverses puissances de 6o: dont les exposans sont 2°, 27, 2%, 25, 2f, 25, 2', il faut encore six multiplications ; de sorte ot ft en tout tbe multiplications , et autant de divisions par 1013 pour arriver au résultat final. Voici au reste le détail de l'opération, afin qu'on puisse mieux comparer les deux méthodes; on n’a mis que les restes des divisions par 1013.
(6o1) = 593 (6or)4—89x525— 127
(Goï}f =(573) 117. : (Cor) ft rar x 437 ER 216 (6o1) —(117) —520 (Gore —HL216X—24—=—7r19 (601)'5 = (520) =— 71 (OO) ur 19 71 345 (6Gor)® = (71 }—=— 24 (6or)#—345 x 520 —099
(Go) —(24)}=—437 (Gor)*—099x573—— 7.
FUN Al re en Donc en effet Le SON ER N
Ce PE MC D À
(185) On demande la yaleur de () ?
Pour cela je décompose 402 en ses trois facteurs -2.3.67, et j'as
= GC): or où s ans G)= Ca) =(5)=— ss Ga)= )= Gm)=-G)=—-
et le produit de ces trois résultats est +1, donc ee = +1; done 929 est Cie, de #H4oaw, ou de x° 402.
Etxemwre LITE
(184) Prenons un nombre premier irès-grand , tel que 22 366 80x ; et cherchons si ce nombre est diviseur de x° + 1459?
a os RES - V'OLOTEMPOP ENT SFA ER LCR, z RE S ë s RE men UE Serre ét gi omnrn EE
SECONDE PARTIE. | rt
: .: 1459 À ki Il faut donc avoir la valeur de Cl et parce que 1459
29, 766 .8gi 1459 ) m)=—1, (parce que 196 est un
est également un nombre prémier 4745, cette valeur ——( SR ( A9, y=— 1459 196 1459 421 / — 421 quarré).. Donc la valeur cherchée est —1. Donc 22366 891 est diviseur de x°+-1450.
C’est ce qu’on n'aurait pu trouver par la voie ordinaire, qu’en faisant 34 multiplications et autant de divisions très-laborieuses, puisque le diviseur serait 22 566 89x.
(185) Apres s'être assuré que lé nombre premier € est diviseur de æ°+a, il reste à déterminer la valeur de x qui rend la division possible. C’est ce qu'on peut faire z priori dans quelques cas généraux que nous allons indiquer.
1°. Lorsque c—4#+-3; la condition de possibilité donne (—4)"*—1 . divisible par ©; donc 4"*?-La est divisible par c; donc si on prend æx°4- a
Le
x —=a"t*. ou égal au reste de 4"*: divisé par c, on sera sûr que
est un entier. Ce premier cas très-général comprend déjà la moitié de tous les cas possibles. Il ne reste donc plus à examiner que le cas de c—4n+-1, lequel comprend les deux formes 871, 8n+5.
2. Lorsque c=—8n+45,la condition de possibilité exige que 4"+#—+ soit divisible par c ; mais cette quantité est le produit des deux facteurs ati, ati, il faut donc que l’un de ces facteurs soit divisible par c. Si le facteur a**'—r est divisible par c, faites x —a"t", et æx°+ a
Vous aurez —e. Si c’est l’autre facteur qui est divisible parc,
k B—@ à faites de même 0—a"*, et vous aurez — e; dans ce dernier cas,
—e. Or puisque cest de
À à NS Se 2 É ô iline reste plus qu'à satisfaire à l'équation Æ la forme 4mb1, on peut supposer c— f* g*; cherchant ensuite les indéterminées p et 4 d’après l'équation
(J = fp 89 ,
on en conclura x=f7—op; car de là résulte »°+ La Cfitg) (p°+q*); donc a? 0° , et par suite x* 4 esl divisible par c: ) 3. Le dernier cas à considérer, est cel de c—82--1, mais alors
one
: «on ne peut pas toujours satisfaire à l'équation
a pe LA:
—e d'une maniere
directe et sans tätonnement: Si l'on a »=— 46, 6 étant un nombre impair et & une puissance de 2, la condition de possibilité exigeant que
2 L L .… . L € . . - &* —71 soit divisible par ce, il pourra arriver.que a Æ7 soit divi-
sible par «, et'alors à cause de 6 impair, ontrouvera la valeur dex
de la même manière qu'on l'a trouvée lorsque c—8n+-5. #2 26 PAPE :
Si a 1 n’est pas divisible par c, on ne trouve pas de solution RARES TU He à a+ a :
a priori; ainsi pour résoudre l'équation + —e, il faudra calculer
les différens termes de la suite c—a, 2c—a, 3c—a, 4c—a, eic.,
jusqu'à ce qu'on en trouve -un qui soit un quarré parfait.et qui donnera la valeur de x*; cette suite, au reste, contiendra nécessairement le -quarré qu'on cherche, quarré qui doit être moindre que +c*, ainsi
le nombre determes à calculer ne peut excéder £c.
Lté est déjà établie par la condition (G)= 1; il faudra former les
Par exemple; soit proposée l'équation —e, dont la possibi-
différens termes de la progression arithmétique dont le terme général est 64re— 229. Cette progression est 412, 1053, 1694, 2335, etc. mais il faut la continuer jusqu'au 94°" terme avant qu'on trouve le quarré 60025 dont la racine 245=—%x. Il est vrai qu'on peut passer sur beaucoup de termes, lorsqu'on prévoit que le chiffre qui les ‘termine n’est pas un de ceux qui conviennent aux quarrés (1). Mais le travail'est encore’assez long par cette voie, lorsque le nombre cherché x n’est
- pas beaucoup plus petit que Lo.
(186) Pour rendre cette détermination moins laborieuse, on pourra
QG) Le quarré de 1om+n est 100m —920omn—+n°, donc le chiffre” qui termine
-le quarré de 10m-—+-n, est.le même que celui qui. termine le quarré de 7. Mais
les nombres 0, 1, 2, 8,..9 ont leurs quarrés terminés par l’un des chiffres o, 1, 4,5, 6, g; donc aucun quarré ne peut étre terminé par 2, 3, 7,8. On peut ajouter
à cette observation, 1°. que si le dernier chiffre d’un-quarré est o, il faut que les deux derniers soient deux Zéros. 2°. Que si Je dernier chiffre est 5, les deux der-
‘niers doivent être: 25. 3. Que si le dernier chiffre est impair, l’avant-dernier doit
être pair. 4°. Que si le dernier chiffre est 4, l’avant-dernier doit être pair, afin
que tout le nombre soit divisible par 4. 5°. Que si le dernier chiffre est 6, l'avant-
dernier doit être impair par la même raison.
D tm Re À
SECONDE PARTIE. | 213 avoir recours aux propriétés des diviseurs qui seront démontrées ciaprès. En vertu de ces propriétés, tout diviseur de, la formule au? est lui-même de la forme »° + 47°, ou au moins il devient de cette forme,
en le multipliant par un nombre p moindre que 2ÿ/ 3: Supposons donc
qu'on a trouvé pe—f°+ 48", on. cherchera x d’après l'équation
F=8t+cs et la valeur de x sera telle, que x°+a est divisible par c.
- Ainsi, dans l'exemple précédent, :on reconnait-bientôt que 6/41 n’est pas de la forme f*+42208*, mais il le devient, étant multiplié par 14, car on a 641 X 14 8974—=57° + 220.5"; faisant donc 57—=5x+6417r, on trouvera æ——2/5. Cette méthode. peut faire éviter beaucoup de tätonnement, et: elle sera surtout utile lorsque le nombre à,’ est peu considérable; car les Tables feront connaître, d’après la forme 4a3-ta du nombre. c, quel est le multiplicateur p qui peut rendre Le produit pe
de la forme f* +4.
$ VII, De la-manière de déterminer x pour que x°+-a so divisible par un nombre composé quelconque N,
(r8;) S ôtT e un nombre premier, et & un nombre quelconque nondivisible par e, si lon demande la valeur de x telle que x°+4 a soit divisible par c", cherchez d’abord par ce qui précède la valeur de À qui rend 0 4 divisible par c; faites ensuite (044/—a)"=p#+7y—0; vous aurez de même (4=ÿ—a)"=p—qy—a , et le produit de ces deux équations donnera (9° 4)" = p°2+ 44°, donc p°+ ag? est divistble par c". Dans ce résultat, 7 et c sont premiers entre eux ; ainsi on pourra supposer PI c'y, et x°-+-a sera divisible par €", ce qui est la question proposée, He:
Nous venons de supposer que 4 n’est point divisible par c; car s il Vétait, p le serait aussi en vertu de l'équation (6°+-a)" —p*—+ag® dont le premier membre est divisible par €”. Mais on a
M. 1 Qr—: y 1.2 E
.M—1.Mm—2,m—5S
p=ê"— mar — etc.
et puisque 6*--a est divisible par ec, on ‘peut mettre —@L ec à la place de #, ce qui donnera p de cette forme
M ,.Meel.M—-92.m—
p=—8" D + | ER 3 et0.)+ Bo,
ou p=2""0"+ Be; mais Ô n’est De an par €, donc p ne peut l'être, ni par conséquent g.
Si le nombre & est divisible par 6, la quantité a*—a sera divisible par €, en prenantæ — 0 où un multiple de c; mais il sera souvent impossible que x*+4-a soit divisible par c* ou par une puissance plus éleyée de c; par exemple, si & est divisible par c et non par c’, il est évident que jamais æ° a ne peut être divisible par «*.
(188) IL est facile maintenant de trouver, lorsque cela est possible;
la valeur de x, telle que x?+- a soit divisible par un nombre composé
quelconque ap
Da ER RUE RER RER RSR
GE PP PE TE F4 Le TE NS EEE SI CE EE LE" re gt mr nee PER J
SECONDE PARFIE. oi5 1°, Si Net a sont premiers entre eux, on décomposera V en ses
. Dr TETE En À Y , facteurs premiers impairs @ él, , etc., et on cherchera par la méthode qui précède les nombres 4, B, C, etc. tels que les quantités
SELS Berne RS le.
a ch y
soient des entiers ; il faudra ensuite satisfaire aux équations indéterminées À 7 y = A+ey=tB+CsirE C+ pue.
He - CRE] Et il est facile de voir que x°+ « étant divisible par chacun des fac-
À y . « À cl teurs &, 6, y, etc., sera divisible par leur produit #6"), etc.
2. Siles nombres W et ane sont’ pas premiers entre eux, soit A0 leur plus grand commun diviseur ; * étant'le plus grand quarré qui divise Lo, et par conséquent w ne pouvant plus avoir que des factéurs
» tp q is q - « . 7 ! (4 simples; alors il faudra faire N=4"0N", 4 — ad, x— ox, ‘et za FA Ris = — e, deviendra — w et IV’ doivent être premiers entre eux, car s'ils avaient un commun diviseur +, il faudrait que a’ füt aussi divisible par x (sans quoi l’é- ; q TP q quation à résoudre serait impossible); donc «*% ne serait pas le plus grand commun diviseur de & et N, contre la-supposition.
Puisque-æ et IV’ sont premiers entre eux; on pourra trouver deux entiers f et g tels qu'on ait fo —2gN'—:; multipliant done par f l'éox? + a
IN’ tion deviendra
—e€e. Dans celle-ci
l'équation à résoudre
—e, et mettant g/V'+ 1 à la place de fo, cette équax'+fa FA
quation —e; ainsi la question est ramenée au cas pré-
cédent où À et a sont premiers entre eux,
. “ . V2 (189) Si, outre les facteurs impairs æ, 6“, etc. qué nous avons Con« sidérés dans les deux cas précédens, W contient le facteur 2", il faudra combiner les valeurs trouvées pour chaque facteur impair avec celle qui za :
ont
résulte de l'équation —e, dont nous allons nous occuper.
Lorsque a est divisible par 4 ou par une puissance plus élevée de 2, telle-que 2* ou 2*+1, il faudra faire x— 2x", et la question sera ramence immédiatement au cas\où a est impair où double d’un. impair.
Si 4 est double d'un impair, il est visible que l'équation x°+4=2"7
n'est résoluble que dans le seul cas où »3—1, ainsi on peut fairé abstraction de ce eas.
Soit donc a impair et »°> 1, 1l faudra que x soit impair, et comme alors x° est de la forme 821 ,.on aura suivant les différentes formes de a="kc, les formes correspondantes de x°Hc: comme il suit :
c—8n +5, x Ec—=8n +4, x'—c—8n +6 c—8n+5, x'+Lc—=8n+<G, x —c—8n+#4 c—8n+7, : x'+ic—8n > 2 —c—8n+ 2.
Écañtant donc les cas qui ne permettent pas que x c soit divisible par une puissance de. 2 supérieure à la première, les cas qui restent sont les quatre suivans ;
c=B8ntr......2" —c—=8r c—8n+3..,:..2 Lc—8n+#4 c—8n<+5...... a —c—=8n+4 C—8n+7......x + c— 8n.
Le second et le troisième ne sent résolubles que pour la seule valeur m=—= 2, et alors la solution est simplement x =1.
Les deux autres cas où l’on a a—œ—1"+82 sont résolubles pour des valeurs quelconques de lexposant », et-on peut aisément parvenir à la solution par des substitutions successives. Par exemple, soit proposée l'équation relauve au quatrième cas
En faisant æ=—1, on a x°—+:15=— 2"; soit donc x—12x, la substitution donnera 1 Lx’ 222? — 5 J: Celle-ci fait voir que 143 doit être divisible par 4. Faisant donc x =— 1#+ 4x", on aura LE 226)
d'Or gs Mel 217 +
Aussitôt qu'on connaît une solution particulière æ—@; on en déduit la solution générale x = 2"=}x"Æ 4, laquelle satisfait à l'équation proposée ta 2" ; puisqu'on a m>1. Gette valeur deyra ensuite être combinée avec celles qui expriment fe x*a est divisible par les différens facteurs impairs de 4,
SRE ETS LEE
Pr re SAR 3 |
a La IN avoir de solutions, mâis nous nous bornerons aux Cas où À est
impair ou double d’un impair.
I faut maintenant examiner combien l'équation —œe pourra
(190) « Si AN est impair et premier à a, le nombre de solutions de
\ 2e —e, sera 2°, 2 étant le nombre des facteurs pre-
» miers différens'qui divisent M.»
» l'équation
Soit d'abord N— 4", & étant un nombre premier, je dis qu'il n’y aura qu'une manière de satisfaire à l’équation ae — €. Car s’il y avait deux solutions désignées par x et x’, il faudrait que x°— x"? fut divisible par &° ; et comme: aucun des facteurs x+-x', x—x" n'est-divisible par a, puisque x.et x° sont, supposés inégaux et plus petits
que de il faudra que ces facteurs xx", x—x" soient tous deux divisibles par æ, donc leur somme 2x serait également divisible para ; mais si x était one par &, il faudrait que a le fût aussi, d’après
