PE SORTENT

Mais p étant un diviseur de cu’, on a-(n° 197) (E)=: ; donc €

a'ER 7 . Ü : Li p RE 9 » . est diviseur de #° —} ; ainsi On peut supposer Pas, et l'équation à résoudre deviendra

} ag ht Cpy —- GO 2C Or on satisfait à cette équation , en cherchant les tte Aimé ee get

telles que a® —(p} +92) 208 ;

équation toujours résoluble , puisque « et 2c sont premiers entre‘ eux. Donc les formes linéaires contenues dans le diviseur quadratique - p+2qgyz-ré, sont également contenues dans le diviseur PP"; ; et comme la propriété one se démontrerait de la même manière, il suit de toutes deux qu’un diviseur quadratique quelconque... pY°+ 2973 rz° renferme absolument toutes les formes linéaires qui conviennent aux diviseurs de la formule #+cx°. Donc lorsque € est un nombre premier 42-53, les mêmes formes linéaires sont affectées à la totalité des diviseurs FRE ENTUTE et à chacun d’eux en particulier. On verra qu'il n'en est pas de même, lorsque c est un nombre com: posé : alors les formes linéaires sont distinguées en plusieurs groupes qui répondent à différens systèmes de diviseurs quadratiques. L’existence de ces groupes est d’ailleurs une suite de ce qui a été démontré a priori sur la forme linéaire des diviseurs.

Ex EmpzE ‘I.

(210) On demande les diviseurs linéaires de la formule # —39u* avec les diviseurs quadratiques correspondans.

Pour cela, on commencera par chercher tous les diviseurs quadratüques, d’après la formule pr+4°— 39, où l’on peut donner à g toutes les valeurs moindres que y #2 ou <3; ces diviseurs sont:

7 __— 392* 39 FD nu 37° — 15z° 137° — 37° 197 2Y3 — 27° 29° — 22 —103 +473 7% 7 —4Js— Se.

Mais en suivant la méthode pour réduire ces diviseurs au moindre nombre possible, on trouve qu'il ne reste que les quatre suivans : 19 ÿ° + 273 — 27° 2Y° — 2ÿ3 — 193*.

- Il s’agit donc d’avoir les formes linéaires qui répondent à ces formes quadratiques.

1°. Le diviseur y* — 39z°, en supposant 3 pair et négligeant toujours les multiples de 4.39— 156, se réduit au seul terme y*, dont voici les valeurs successives : ; Différ. 8,16, 24, 32, 40, 48,56, 64, 72, 80, 88, 06. 7e 1, 9 29, 495 85, 121, 15, 69, 155, 49, 129, 6x.

SECONDE PARTIE. 243 Difiér. 1045 1123 190. 128, 156, 144, 152,45 123 y? 11005 OLA 20 104 EG A1 )4117; L2r CIC.

Supprimant dans cette suite les termes divisibles par 3 et par 15, ilne restera que Six termes différens , 1, 25, 49, 61, 121, 153; de sorte que le diviseur quadratique y° — 393* comprend les formes linéaires 156% += 1, 25°, 49, 61, 121, 133.

Il suffit de ‘changer les signes des nombres déterminés, ou d’en prendre le complément à 156, et on aura les formes linéaires qui répondent au diviseur 397°— 2° ; ces formes seront donc .

Venons à l’une des deux autres formes 19° + 273 — 23°, il süflira de développer la formule 19 + 24 — 24%, d’où l’on déduira les résultats suivans :

Différ. Oo —4 —8 —:12 — 16 —20.—24 28 —32 —36 Süite.s 19, 10, 15, dl 7;—b=—i151,2136, 115,01, 63, 31; Différ. —40 —44 —48 —b2 5660 —64 —68 Suite. —D=191, 111, 67, 19;—33=123, 67, 7, —57—09. Difiér. —72 —76 —80

Suite. 31, —41—115, 59, —41, eic.

Écartant les termes répétés et ceux qui sont divisibles par 3 ou par 15, il ne restera encore: que six nombres, d’où l’on conclura que la forme quadratique 19y° + 2ÿz — 22° comprend les six-formes linéaires 1567 + 7, 19, 31, 67,115, 151.

Le complément de celles-ci donnera les formes linéaires qui répondent à l’autre forme quadratique 27° — 2y2— 193, et:qui seront

Nous avons donc dans cet exemple quatre groupes de diviseurs linéaires, chacun composé de six formes , et chacun répondant à un diviseur quadratique de la même formule. C’est ce qui s'accorde avec la théorie générale donnée ci-dessus , en vertu de laquelle , si le nombre c est le produit de deux nombres premiers &«, 6; le système entier des diviseurs linéaires doit se décomposer en 2° groupes, chacun composé 5x

CARS | C—) : LA de ——.— termes; en effet, dans ce cas, a —3, 6 =—"13,.et

5—1 13—1 6 > . h il » d Q g 3-73 — 0 : aussi Chaque groupe est-il composé de six termes. és ExEemprze IIl.

(211) La formule # + 1054? ayant pour l’un de ses diviseurs 5y° + 21#, on demande les formes linéaires qui répondent à ce diviseur quadratique. Prenons d’abord y impair et 3 pair , le terme 5y° développé seul, en négligeant les multiples de 4c ou de 420, donne une suite qui se réduit aux sept termes 5, 45, 125, 185, 245, 285, 405 ; l’autre terme21z°, où z doit être puis ne donne que %s deux termes 84,336. Il faut donc aux sept termes précédens , ajouter 84 ou 336, ce qui donnera les quatorze termes 89, 129, 209, 269, 529, 369, 60, FAT, OBTINT AO 1O7 201,021 desquels retranchant ceux qui ont un commun diviseur avec 105, il ne restera que les six termes 41, 89, 101, 209, 269, 541. On trouverait absolument les six mêmes termes, si dans le diviseur 5y? + 212°, on supposait 3 impair et y pair , ainsi ï D’ y à que six formes linéaires eu répondent au diviseur 5y° + 213°, savoir ;

Exemeze I V.

(212) La même formule {+ 1054? a pour diviseur quadratique 13y° + 10y3 + 10%; mais comme dans ce diviseur 9 — 5, et que & est diviseur de 105, on ne peut donner au “diviseur quadratique la forme 13 104 + 104*, parce que le résultat en serait incomplet. Il faut donc, par une substitution (n° 206), faire ensorte que le terme moyen de la formule n’ait plus de commun facteur avec 105 ; or on trouve bientôt qu'en mettant y + 23 au lieu de y , on a la transformée... 137° + 6273 + 82z° , laquelle a la condition requise. Il reste donc maintenant à développer la formule 13 + 624 + 824°; en voici le calcul :

Différ. 144 508 52 216 380 124 288 32 1096 360 Suite, 13, 157, 45, 97, 513; 275, 397, 265, 297, 75;

SEGONDE PARTIE. | 243 et il est inutile de le prolonger plus loin, parce qu'il fournit six termes distincts ; ainsi les formes linéaires qui ARE au diviseur quads tique 137° ++ 10Y3 + 103° sont :

Voici, au reste, le système entier des diviseurs quadratiques de -

£ + 105w° avec les formes-linéaires correspondantes.

Diviseurs quadratiques. Diviseurs linéaires correspondans.

3 J° + 1057° 420x + 1, 109, 121, 169, 289, 361 53 y° + 27323 420x + 55, 113, 157, 197, 233, 317 5y°+ 217° 420x +41, 80, 101, 209, 260, 341 13 y° + 10y73—+ 107° 420x +13, 73, 07, 157, 513, 397 57° + 35z° 420x + 47, 83, 143, 167, 227, 383. 197° + 6yz + 63° 420% +19, 31, 139, 199, 271, 397 77° + 15z° 420% 43, 67, 127, 163, 247, 403

LLYÉ 1434145 | 420% 11, 71, 170, 191, 259, 350.

Il y a donc en tout huit groupes de diviseurs Jinéaires composés

chacun de six termes. Et en effet, suivant la. théorie donnée ci-dessus

(n° 202), le nombre 105 étant 3.5.7, il doit y avoir 2° groupes composés B3—1 5—1 7—:1 *FRONAT ETS

chacun du nombre de termes

—6. Nous voyons de

plus, dans ce développement, que chaque groupe répond à un diviseur quadratique , et ne répond qu'à un seul.

$ XI Explication des Tables III, IV, V, VI, et VIT.

TABLE IIT.

(213) Le Table IT contient tous les diviseurs quadratiques de la formule #— cu, et les diviseurs linéaires correspondans ; elle est cal culée pour tous les nombres depuis c — 2 jusqu'à c — 79, excepté les nombres quarrés ou divisibles par un quarré. On a exclu ceux-ci ; parce que les diviseurs de la formule # — cfu° , en les supposant premiers à c@*, sont les mêmes que ceux de la formule # — cu.

Les diviseurs quadratiques représentés généralement par la formule P° + 2qÿ2— 12, où l’on a pr+q°=c, sont réduits au moindre nombre possible par la méthode du $ XIII.

Tout diviseur quadratique py®+ 2473 — rz° doit être accompagné de son inverse 7° + 2973 —pz. Mais ces deux formes sont quelquefois identiques l’une avec l’autre, et cela arrive lorsqu'on peut Satisfaire à l'équation m° — cn —= — 1 (woy. n° 93). Dans ce cas, on n’a mis dans la table que l’une des deux formes qui doivent être identiques.

À. côté de chaque diviseur quadratique , on a mis les diviseurs linéaires qui en résultent, calculés suivant la méthode du $ précédent. Ges divi-, seurs sont toujours supposés premiers au nombre c, et on ne considère que les diviseurs impairs, quoique les formules py° “e2q73 7e en ferment aussi des nombres pairs.

On observe constamment dans cette Table , que les diviseurs linéaires se partagent en plusieurs groupes dont le nombre , ainsi que la quantité de termes contenus dans chacun, sont conformés à la loi générale (n° 203). Cependant il arrive quelquefois que deux de ces groupes sont réunis pour répondre à une même forme quadratique. Ainsi, lorsque c—66—2.3.11;

la proposition générale dit qu'il y a 2° ou 8 groupes composés chacun

3—1 11—1 TS de OÙ 5 termes; mais on ne trouve dans la Table que quatre groupes composés de ro termes, ce qui a lieu par la réunion. de deux groupes en un seul. D'ailleurs le nombre total des formes li-

néaires est toujours 40, comme il doit être suivant la théorie.