SECONDE PARTIE. 345 TA BL ETV

(214) La Table IV contient les diviseurs tant quadratiques que linéaires de la formule # au° ; pour tout nombre 4 de forme 47+-1, non quarré ni divisible par un quarré, depuis 1 jusqu'à 105.

La première formule + 4° qui n’a qu'un seul diviseur quadratique J° +2, n'a aussr que le seul diviseur linéaire 4x + 1. Toutes les autres formules 4° -L 5u° , 4 15u°, etc. admettent à-la-fois des diviseurs 4n + 1 et des diviseurs 4n +5 ; il est même à remarquer 1°. que les diviseurs quadratiques qui contiennent les nombres 47 -E 1 sont toujours distincts de ceux qui contiennent les nombres 4n + 3 ; 2°. qu'il y a toujours autant de formes linéaires ppHr les diviseurs D +1 qu'il y en à pour les-diviseurs 47 + 3. Il n’en est pas toujours de même des formes quadratiques. On voit, par exemple , que la formule # 41w°, a trois diviseurs quadratiques 4n-+ 1, et seulement deux 4n an 3. De même la formule 44 65u° en a quatre dela première espèce , et deux seulement de la seconde.

(215) On a apporté dans cette Table une légère modification à red

forme générale des diviseurs quadratiques py?+ 29 ÿ3 + r2°; elle consiste en ce ‘qu'on a supposé constamment g impair. Par ce moyen, g° + à ou pr élant un nombre pair , on peut mettre 27» à la place de r, et la forme des: diviseurs quadratiques devient pr + 2473 — 2m , dans laquelle les nombres p et » seront toujours impairs. -

Cétte forme a l'avantage d’en fournir immédiatement une autre. ... 3py® + 2473 kms; et ces deux formes , à cause de la liaison qu'elles ont entre elles, s Sels ont désormais formes conjuguées , Où LE conJugues

Nous avons dit que les nombres p et » sont toujours impairs ;. en

effet , g° étant de la forme 82 +- 1, et a de la forme 47 + 1 , il est clair que g° + a ou 2pm sera de la forme 42 + 2, donc pm sera nécessairement impair. Mais il faut distinguer deux cas selon que a est de la forme 8n—x ou 8 +5.

1°. Si a est de la forme 87 + 1 , alors 9° a sera de la forme 82+ 2 et-pm de la forme 47 + 1, ce qui ne peut avoir lieu , à moins que les nombres p et »# ne soient tous deux dela forme 42. 1, ou tous deux della forme 47+-3; donc alors les formes conjuguées py?+ 2973 2m,

2py° + 2qY2 + mx appartiennent toutes deux aux diviseurs 4-1, où toutes deux aux diviseurs 47 + 3.

2°. Si a est de la forme 8» + 5, pm sera de la forme 4n + 3, de sorte que les deux nombres p et seront, lun de forme 4n + 1 , l’autre de forme. 47 +3. Donc alors les deux formes conjuguées appartiennent, l’une aux diviseurs 42 + 1, l’autre aux diviseurs 42 + 3. De là on voit que « & étant un nombre quelconque. 8r +5 , la formule #.—+ au aura » toujours autant de. diviseurs quadratiques 421 que de diviseurs » quadratiques 424 3. »

(216) Les diviseurs quadratiques de la formule # - au étant trouvés par la méthode générale , ilsera toujours facile de les réduire à la forme Pr +272 + 2m, où g-est impair; Car il n'y aura:à transformer que

| ceux où Sérait pain, et dans ceux-ci.il suffira de mettre y — 3 à la place de y. ( i

On peut aussi trouver directement tous les diviseurs quadratiques d’une formule donnée # + au”, réduits à la forme py° + 2q9y73+-2m2. Pour cela, il faut observer qu’en laissant g impair, on peut toujours faire ensorte que g n’excède ni p ni m. Car en substituant y — 243 à la place de y, siona g>p, ou z— «y à la place de 3, si on a 95m, on déterminera. aisément le nombre « de manière qu’on ait dans la transformée, 4 << p, ou g << m. Donc par une ou plusieurs substitutions de cette sorte, toute formule py®+ 29 73 2m2*, dans laquelle 2m—q=—@ pourra être. ramenée à une formule semblable, où g m’excédera ni p ni »#, de sorte qu'on aura 2pm—q" > q*, et par conséquent 9 < y/a.

Donc pour. avoir toutes les formes quadratiques py° 23473 +2m3" qui conviennent aux diviseurs .de la formule & + au? , il faut donner à g.les valeurs impaires successives, 1, 3, 5... jusqu'a ÿ/a. Chaque

gg +a

; et si cette valeur

valeur de 4 en donnera une pour pm =,

peut se décomposer en deux facteurs p et » non moindres que q, il en résultera les deux diviseurs conjugués py° + 2q7y3 + 2m3°, 2pY° + 2992 + mz°:

Gette méthode donnera , comme la méthode générale , toutes les > 5 ; formes possibles des diviseurs quadratiques ; elle est plus expéditive, en ce qu'on n’a à essayer que les valeurs de q impaires, et plus petites que ÿ/a , tandis que par la méthode générale on doit essayer toutes les valeurs de 4 paires: ou impaires jusqu'à ÿ/4a; or on a ya < y+a: . Suivant cette nouvelle méthode , le diviseur quadratique y°+- a3*

RL 2 ° LU - = PE RTENTOE EEE BERREE re : EN M Re NE TER CRUE V5 Ex x SRE £ * x sa ET pe gate NE gr 7 SR PR menée née red iee S n E

SECONDE PARTIE. 247 est représenté par la formule ÿ° -k 2y3 + (a + 1)z*, et son conjugué est 27° + 272 + (==) z°. On a laissé dans la Table, pour plus d’uniformité , la forme 7° + 2y3 (a+ 12°, excépté dans la première case où l’on n’a pas voulu altérer la simplicité du diviseur y*-+-2* en mettant à sa place y° + 272 + 25°.

Dans tous les cas, les formes linéaires ont été conclues dés formes quadr aliques par les méthodes du $ précédent, et le nombre dés groupés, ainsi que dés termes contenus dans chacun, ést toujours conforme à à la loi générale.