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j BEST s SE à EE R D ER SL ns = x à

SECONDE PARTIE, . 220 représente en généralitrois diviseurs quadratiques de forme ordinaire où le coeflicient moyen est pair ; car dans l’application de cette formule, 1l faudra prendre les nombres y et 3 tous deux impairs, où l’un pair ; l'autre impair; on ne pourra donc faire que les trois suppositions 3— 24, Y=2U, y = 2u— 32, lesquelles donneront les trois formes

pY° + 2qyu + 4ru°

4pu® + 2q2u + Ta

pu + (29 — pus (pq Tr).

Ces trois formes se réduisent à deux, lorsque deux des nombres p, 9, r sont égaux. Elles se réduisent à une seule , si les trois nombres p, q,r sont égaux entre,eux ; mais Ce-Cas n’a lieu que lorsqu'ils sont égaux à l'unité, ou lorsque la formule proposéesst ? + 37° , et alors le diviseur J° +73 +2 se réduit à la seule forme y°+- 33°, comme nous l'avons déja trouvé (n° 141). Dans tout autre cas, les trois formules qu’on vient de développer seront essentiellement différentes les unes des autres. Il suit de là qu'on diminue beaucoup'le nombre des diviseurs quadratiques en les représentant par la formule à coefficiens impairs p7°+qy3-+r3; il est d’ailleurs facile , ainsi qu’on vient de le voir, de développer ces diviseurs à coeficiens impairs en diviseurs quadratiques de forme ordi- ‘ naïre, Ce qui en donnera un nombre à peu près triple.

(220) Il est utile d'observer que les diviseurs quadratiques compris dans la Table V, tant pour les cas de a — 8n +3, que pour celui de a — 8n + 7, peuvent toujours être ramenés à la forme py°+49yz-xz, laquelle ne diffère de la forme:générale py°+ 29y2+ rz°, qu’en ce que g est pair. En effet, si on a trouvé d’abord, par la méthode générale, tous les diviseurs quadratiques py*+ 2478 + rz° de la formule € au, il ne restera à transformer que ceux dans lesquels q serait impair ; et comme alors l’un des nombres p et r doit être pair et l’autre impair, si on prend p pour celui-ci, il suffira de mettre y — 3 à la place de 7, ét le coeflicient moyen 27 deviendra 29 — 2p, c'est-à-dire sera de la forme requise 49. |

Maintenant , puisque tous les diviseurs quadratiques sont réduits à la forme py°+ 4072 +2, et qu'on a pr — 49° + a, il s'ensuit que pr est dela forme 4n + 3, et qu'ainsi les deux coefliciens p et æ sont , lun de la forme 42 + 1, l’autre de la forme 42 + 3. On voit par là que chaque forme quadratiquepy* + 4973 + #2* contient à-la-fois des

DS

15e THÉORIE DES-NOMBRES.

diviseurs 4n: + 1 et des diviseurs 42 3; mais 1l est facile de séparer ces deux formes l’une: de Fautre, comme cela a lieu dans les Tables HE et. IV. En effet, si prest de la forme 47 + r, et qu'on fasse 2 = 24, il est chair que la formule py*+ 8pyu+-4ru* ne représentera que des diviseurs 47 x ; au contraire, si- Von fait y — 2u, la formule... . 4pu* + Sozu + 7x ne représentera que des diviseurs 47 + 3.

(221) Quant aux formes linéaires qui répondent aux diviseurs quadratiques, elles peuvent de même se partager en deux sortes, les unes 4n + , les autres 4r + 3; c’est ce qu'il suflira de développer dans un exemple.

On voit dans la Table, que la formule {*—+ 1ru* n’a que le seul diviseur quadratiqué à coefficiens impairs y* 7x + 53°. Ce diviseur en renferme deux autres de forme ordinaire, savoir :

De —— 13° Ë 37° + 2#3 + 45°.

De ces deux diviseurs qu'on aurait trouvés immédiatement par la méthode générale ; un a le coefficient moyen zéro, et partant de la forme 49; pour réduire l’autre à la même forme, il faut mettre y — 3 à la place de 7, ce qui donnera pour transformée 37° + 472 + 57°. De là résultent deux diviseurs quadratiques 42 + 1, savoir :

FT

By? + 8yz + 123’, et deux diviseurs quadratiques 4n + 3, savoir :

Quant aux formes linéaires correspondantes, on les déduira facilement de celles qui sont données dans la Table, savoir, 22x + 1, 5, 5,0, 15. Ainsi, pour avoir les formes 4. + 1, on consérvera les nombres déters minés 1, b, 9 qui sont de cette forme, et aux deux autres 3, 15 on ajoutera 22, ce qui fera en toutles cinq formes 44x+ 1,5,9, 25,37: on trouvera semblablement,les formes 4r-+-3 qui seront 44x45, 15, 23, 27.531. Donc si l’on veut séparer dans la Table les formes 42+- 1 des formes 4n + 5 , il faudra substituer l’article suivant à-celui qu'on voit dans la Table concernant les diviseurs de 4-4 11%,

SECONDE PARTIE, 25r

Diviseurs quadratiques. Diviseurs linéaires:

Pr 44 kr By? 873 + 127 Yéiw+ 1,5, 9: 29, 57 19% + 42? } Sr. E ” 372 + 8y3 + 202? } ALES 19,20) 27.97

Il n’est pas nécessaire de faire observer que l’article tel qu’il est inséré dans la Table, est beaucoup plus court sans être moins général. 2 P P

(222) Enfin, pour ne rien omettre de ce qui peut abréger la recherche des diviseurs quadratiques, nous ajouterons.encore deux mots sur le cas de 4d=—8n+4 7. Si donc on aa — 8» +7,et on suppose g impair dans le diviseur quadratique PI + 2978 + r#°, Ce diviseur prendra la

forme py°® + 24972 8mz, où l’on aura pm — TES . Dans cette forme,

on peut supposer q plus petit que 4m, et non plus grand que p; par conséquent q sera te que V/a. On essaiera donc pour g tous les nombres impairs 1,3, 5... jusqu'a ÿ/4; on Calculera pour chaque

valeur de g celle de pm = 7 + Se et on verra si cette valeur peut se

décomposer en deux facteurs, l’un p impair et non moindre que 9,

l'autre » pair ou impair, maïs > % Autant de fois cette condition

pourra être remplie, autant on aura de diviseurs quadratiques de la formule 4 + au; diviseurs qui pourront ensuite être réduits soit à la forme ordinaire où 2q est < p et r, soit même à la forme dont nous avons fait mention où g est pair. Cette méthode est RERO ; puis=

qu'elle n’opère que sur des nombres pm Moujours moindres que + 2° tandis

que dans la méthode générale pr peut aller jusqu’à £