REMARQUE GÉNÉRALE

Dans ces diverses Tables, il est à remarquer que chaque groupe de diviseurs linéaires répond toujours à un même nombre de diviseurs quadratiques , si toutefois on ne compte que pour £ chaque diviseur quadratique qui est de l’une des formes py°+rz, py°2qy2—2q2 Ppr°—+2qyz+-pz. La raison ‘de cette exception ét que ces sortes 1 diviseurs donnent le même nombre dans deux suppositions différentes sur les valeurs des indéterminées y et z; de sorte qu'ils ne contiennent réellement que la moitié du nombre des diviseurs compris dans les autres formes.

$ XII. Suite de Théorèmes contenus dans lès Tables précitées.

(226) THÉORÈME GÉNÉRAL. ( Ste 4cx + a l'une des formes linéaires » qui conviennent aux diviseurs de {’-E cu*, je dis que tout nombre » premier compris dans la forme 4cx-+ a sera nécessairement diviseur » de la formule 4 Æ cu°, et sera par conséquent de l’une des formes » quadratiques py? + 2973 =E rs qui répondent à la forme linéaire » 4CXx + a. »

Aïnsi enprenant dans la Table VII Pexemple de la formule t* + 3ou° ; et choisissant dans cet exemple les formes linéaires qui répondent au diviseur quadratique 157° + 23°, on peut affirmer que tout nombre premier de l’une des formes 120x + 17,.23, 47, 115 est diviseur de + 3ou°, et conséquemment doit être de la forme 15y°-+ 23°.

Par un autre exemple pris dans la même Table , on peut afirmer que tout nombre premier de l’une des formes 56x + 3, 5, 135, 19, 27 , 4b estidiviseur de & + LAu? > et par conséquent doit être de la forme 3° +4ys +6.

La démonstration de ce théorème a été donnée ci-dessus, lorsque € est un nombre premier ou double d’un nombre premier ; elle peut être aussi établie sans difficulté pour toute valeur de ce, si le nombre premier À de la forme 4cx + a , est en mème temps de la forme 4743, car alors il est nécessaire que le nombre À divise la formule # + cw, ou la formule £ — cu° (n° 171). Or si on cherche les formes linéaires des diviseurs de #—cu°, ces formes seront trouvées différentes de celles des diviseurs de # cu? ; donc le nombre 4, s'il est de l’une de ces dernières formes , ne peut diviser 4 — cu? ; donc il divisera nécessairement + cu”, et sera par conséquent de l’une des formes quadratiques qui répondent à ces formes linéaires.

Le même raisonnement n'aurait plus lieu si.Z était de la forme 47 1 ; il est même incomplet dans le cas de 4—4n +3, parce qu'il suppose le développement effectif des diviseurs linéaires tant de la formule # +cu* que-de la formule — cu; c’est pourquoi il convient de suivre une autre route pour parvenir à la démonstration générale de la proposition.

(227) Observons d’abord que la forme linéaire 4cx a, à laquelle se rapporte le nombre premier Z, peut toujours être censée l’une de celles qui répondent à un diviseur quadratique. Soit ce diviseur.....

PI° + 2972 HE rz°, et on pourra supposer py° #4 JS Er = 4ex + 4; ou, ce UE est É même chose,

PY° + 2973 Er = 4cxtet A.

Cette équation multipliée par p, donnera C7 + gs} Æ cs = 4pox + Ap,

d'où l'on voit que LEE £ est un entier; donc, à plus forte

. : » da? — raison , si est un nombre premier.qui divise c,. l'équation ——=e

sera résoluble, et par conséquent on aura (£ ) 1, ou C : 6 LSTR

“mais en général on a (= ï ou — 1, donc (?) : (7) ir sel

par conséquent (5) = (E).

. Nous pourrions considérer le cas particulier de p— +1, et celui de p = à un quarré, dans lesquels on conclut aisément que Z doit être un diviseur de là formule proposée #& cu? (1); mais il vaut mieux suivre la démonstration dans toute sa généralité.

(228) Nous avons vu ci-dessus que les diviseurs 4n x et 4n 3 sont distingués par des formes quadratiques particulières, et même lorsque la formule proposée est 4 + 2au*, les diviseurs se subdivisent en quatre formes 821,825, 8n+5, 8n—+7, et ceux-ci sont contenus chacun dans des formes quadratiques distinctes. On pourra donc supposer que le diviseur quadratique py° + 2qyz = 2mx° qui répond à la forme linéaire 4cx+a ou 4cx + 4, ne contient que des nombres de la même espèce que À, c’est-à-dire tels que la différence de ces nombres avec 4 est divisible par 4 et même par 8, si la formule est &—2au®, ou si l’on a 2pm— q° — 24. Par conséquent p qui est l’un

—A : : — A Le est un entier , ou méme que =

en est un, Si C— 24. à

de ces nombres, sera tel que

(1) Le double,signe indique seulement que la formule proposée pent être 1 Heu* où t— cu; maïs d’ailleufs il ne laisse aucune indétermination.

RE RE Se tes PTE

Nous supposerons de plus, que le coefficient p est un nombre premier;

sil ne l'était pas, on chercherait un nombre PHONE compris dans la

formule p 24Y3 Æ 2mz°. Soit ce nombre LL + 2q ur EE 2”, Pre q> P'=P q

si l’on AÉFTIUTE p®:'et »° d'après l'équation ywv° — pe°y = +, et qu'on Les

FT=PY + r Due y +1°z, On aura pour transformée le diviseur

quadratique p'yy" + 2g/y'2 E om'z'z', dans lequel le coeflicient du pre-

mier terme est un nombre premier. Ainsi, en regardant cette prépa-

ration comme déjà faite , 1l est permis dessupposer p un nombre premier.

. . L4 e LA LA A A! LA i Reprenons maintenant l'équation dejà trouvée () —= (E) , où Ü dé-

signe un diviseur premier quelconque de ce ; soient &, aa", etc. les diviseurs premiers 441, et.6, 6’, 6"... les diviseurs premiers 4243, nous aurons, en mettant ces nombres au lieu de 0,

CHONOMONOMON.

De là on déduit par la loi de réciprocité, et parce qüe Z et p sont

Donc 1°. si « est impair , il sera égal au produit de tous les nombres

premiers &, «, a"....6, 6, 67,... et on aura | D=Q:Q:0:.:0 0:06).