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Et puisque les facteurs de ces expressions sont égaux chacun à à chacun >

on aura (2) = (©)

2. Sicestpair, outre les facteurs précédens , c contiendra le facteur 2; mais puisque p et { sont de même forme par rapport aux multiples de 8;

( AE (2) as ñ Res GN ES fc on à 7) Lee p n nc on aura encore (5) = CS).

Mais p étant diviseur de 9 Æ c, on a Ge) = 1; donc on a aussi

Œ = — 1; donc le nombre premier A est toujours diviseur de Ja fe

rule proposée ta. Donc il doit être de l'une des formes etes qui répondent à la forme linéaire 4ex + a,

(229) La RS à que nous venons de démontrer, est sans contredit l'une des-plus générales et des plus importantes de la théorie des nombres; la démonstration que nous en avons donnée suppose seulement qu'il exisle un nombre premier compris dans le diviseur quadratique. ... py° + 2q73 HKr2°. Or cette supposition n’a rien que.de tres-admissible , ct elle se vérifié aisément à Fégard de {outes les formes quadratiques renfermées dans nos Fables; il ny a même aucun doute que la formule...

\pY° + 2qyz + rz° we contienne une mfinité de nombres premiers ,

excepté seulement dans le-eas où les irois nombres p, g, r auraient un commun diviseur 4; mais ils ne peuvént en ayoir, puisque c ou pr— q° est supposé n'avoir aucun facteur quarré.

On pourrait néanmoins rendre la démonstration tout-à-fait indépendante de la supposition que p est un nombre prenuer ; il faudrait pour cela examiner différens cas, selon. le nombre des facteurs dont c est composé.

On a déjà examiné les cas où c (est un nombre premier ou le double d'un tel nombre : supposons donc maintenant c— «6 , & et 6 étant deux nombres premiers impairs à volonté; soiten même temps py°te 2972 + m2°ù la forme quadratique qui répond} à la forme linéaire 4ex + a ou 4cx + À, de sorte que p et À seront tous deux de l'espèce 47 + 1, ou tous #0 de l'espèce 42 + 3. On aura donc par hypothèse

PI + 2978 +.oms = 4cx + 4, et en multipliant par p, . ; Cp qe) 688 = 4opa fe Ap-

(On ne considère ici que le cas de c posiuf, celui de. c négatif pouvant être traité d’une manière semblable, ) Maintenant puisque ce = 26; on aura, successivement, par KÉRRORE: à

æ et 6:, tes équations (Éd EE (Æ)=— = 1, lesquelles donnent

OPOMOSC)

Soit p= 74 7"n", @tc., mn", #"", etc. étant des nombres premiers

SECONDE PARTIE. 259 An + 1, et 7”, x”, etc}, desnômbres premiers 4n+-3; si p était divisible par ‘de quarrés, on les omettrait entièrement, pour ne Conserver que les facteuys, i inégaux. On aura donc

M ercuen 1=0:0.© ”

Mais l'équation pm —q"=c= «6, donne

€ PERS EN ( = = ( ra Ve (= De etc.

et ainsi, par rapport à tout-facteur de p. On.aura donc : LR NV A PORTA NET A BEN iG GE CLIS Qi CoeCor fe € NT €; Gr Ms Coer

Delà on déduit par la loi de réciprocité (n° 164) D=@), =: O=G ee & oi ol D)=n Ch =) ©, ec

Ces dernières seulement ont besoin Re quelqu'explication : or la loi

Lirns. RIT

générale donne - (= 1) FT Ghe et parce que —

Coms |

est

impair , cette Ra devient (Y= = (— ) 4 Aie > on aura de

même )= = (— Je 7): donc puisque GS — (Æ œ)s il en

résulte ()= = (— a at) elainsi des autres relatives à a”, x", etc.

MAEPRSSE ss ce les deux suites d'équations qui précèdent, on

aura (£)= = es Aves fe F);, k étantle nombre des facteurs-7’ ,7",etc.

de la forme ‘4n +3.

Soit d'abord'Æ, et par conséquent p de la forme 47 1, il faudra

que le nombre Æ soit pair, et aiusi on aura © — (): donc aussi - F

2 n = (2; il s'ensuit réciproquement ( = C DE 5a 2) tr;

donc 4.est diviseur #° + aËw’.

Soient en second lieu Z et ie > la forme 4n +5, le nombre à sera

De là on déduit par la loi de réciprocité

mi) (=) ce qui se réduit à E)=(— 1) (5); ou (de (6) Donc

— af = =) = = 1; donc A est'encore diviseur de ë AC

La conclusion que 4 est diviseur de & + cu* a donc lieu, quel que soit le coefficient p, et il n’y a pas de doute qu’elle ne se vérifiàt également , si c était le produit de plus de deux nombres premiers.

(230)-On voit maintenant que chaque article de nos Tables fournit plusieurs théorèmes qui donnent des rapports enire les formes linéaires des nombres premiers et leurs formes quadratiques. Voici les plus mémorables de ces théorèmes, ou ceux qui s'appliquent aux formules les plus simples.

D'après la Table III.

1. Tout nombre premier 8x 1 ou 8x + 7 est de la forme y°— 23°.

2. Tout nombre premier 12x “+ x est de la forme y°—33, et tout nombre premier 12% —- 11 est de la forme 37° — 2°.

5: Tout nombre premier , de l’une des formes 20x + 1 ; ; 20x09, 20% + 11, 20% + 19, est de la forme 7° — 52.

4. Tout nombre premier 24x41 ou 24x + 19 est de ki forme y°—6z, et tout nombre premier 24% + 5 ou 24x + 23 est de la forme Gy° — 2°.

5. Tout nombre premier 28x + 1, 9, 25 est de la forme y°— 7, et tout nombre premier 28x +3, cts 28% “DT est de la forme 77° — 2°.

6. Tout nombre premier 40x + 1,9, 31, 59 est de la be — 102’, et tout nombre premier 40x + 5,15, 27; 37 est de kB forme: 27? — 57°,

1 ESA à RT x SRE

SECONDE PARTIE, 261 D'après la Table IF.