etc. ‘ete

Lagrange estle premier ‘qui ait'ouvert la voie pour la recherche de ces sortes de théôrèmes. ( Voyez Mémoires de Berlin, 1775.) Mais les méthodes dont ce grand Géomètre s’est servi, ne sont applicables que dans très-peu de cas aux nombres premiers 47+-1; et la difficulté à cet égard ne pouvait étre résolue complétement qu'à l’aide de la loi de réciprocité que j'ai donnée pour la première fois dans lés Mémoires de l'Académie des Sciences de Paris, année 1785,

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$ XI, Autres Théorèmes concernant les formes DUREE des nombres.

(231) So 1® P un nombre quelconque diviseur de la formule cu, et comme tel, renfermé dans le diviseur quadratique py° + 29/3277, on pourra supposer P— pa°+2qabÆ r6". Si ensuite on détermine &° et 6° d'aprè ès «l'équation a6r—«6—:x, et qu'on mette ay -+az et Ér-+6°zà la place de ret 3, le diviseur quadratique py°—2gyzrz" deviendra de la forme Py°+2Q7:+4+R:.

Soit P’ un autre diviseur contenu dans lamême formule py ee. ou dans son équivalente Py°+2Qyz:æR3, on pourra faire... P'=Pu° + 2Qu+ Pr, ce qui donnera PP=(Pu+ Q») Her. Donc « si P et P’ sont deux diviseurs de la formule # = cu°, tous deux com- » pris dans une même formule quadratique py° + 2q;2=rz, leur pro- » duit PP’ sera toujours de la forme cu: »

« Réciproquement si les deux nombres P et P° sont tels qu'on ait » PP'=#Æc, t et u étant premiers entre eux, je dis que ces deux » nombres appartiendront à un même diviseur quadratique. »

En effet, puisque t et w sont premiers entre eux, il faut que w et P

le soient aussi ; ‘on pourra donc faire 4=Py+Qu, y et Q étant des

En AR F JE indéterminées , ce qui donnera P'= Py° + 20 pu £ 5 - À. Dans cette

expression, wet P n'ayant pas de commun diviseur, on.voit que Q'Æc doit être divisible par P; ainsi faisant Q°Æc—PR, on aura... P'—Py+2Qyu#Rw. Le second membre, en regardant y et w comme des indéterminées, représente l’un des diviseurs quadratiques de la formule #Æcu’, et il est évident que.ce diviseur contient à-la-fois P et P”. Donc «siles deux nombres P et P”, etc. »

(232) «Tout nombre premier Z qui divise la formille cu, ne peut » appartenir qu'à un seul diviseur quadratique de cette formule. »

Car si le nombre premier 4 appartenait à déux diviseurs quadratiques différens, on pourrait transformer ceux-ci en deux autres, dans lesquels

A serait coeflicient du premier terme (n° 231). Soient ces deux diviséurs:

Ay° +2Byz+ C; = Ay° + 2B'y3-- C7 on pourra supposer en même-temps 4Â>>2B et 2B"; car si on avait

2B> 4, il faudrait substituer y —1» à la place de y , et déterminer » de manière que le coeficient de y3 ne füt pas plus grand que 4. Cela posé, on aurait toujours B?— 4C—B—A4C=+Hc; donc = ‘ rait un entier, et puisque 4 est premier, il faudrait que À divisät Pun des facteurs B+ BP", B—F'. Mais PB et B” étant l’un ct l’autre plus petits que = 4, ou l’un des*deux seulement égal à 4, les nombres B4-P, B —B seront tous plus petits que 4; donc ils ne seront ni l’un ni l'autre divisibles par À, à moins qu’on ne suppose B°—B. Mais alors les deux diviseurs quadratiques dont il s’agit, seraient identiques ; donc le nombre premier 4 qui divise la formule “cu, ne peut appartenir qu'à un seul diviseur quadratique de cette formule.

Se

Remarque. Le mème raisonnement aurait lieu, si 4 étaitle double d’un: nombre.premier, eten général, si 4 était une puissance quelconque

d'un nombre premier, ou le double de cette puissance; car l'équation LS

°—e n’admet qu'une seule solution, lorsque 4 est de la forme

mentionnée, ou même plus généralement, lorsque 4=—4'0, ou 246, 8 étant un diviseur de c, non-divisible par &, et 4 un nombrepremier (Voyez n° 191). Donc dans tous ces cas, qui sontfort étendus, lenombre A ne pourra être compris que dans un seul diviseur quadratique de Ja formule cu”.

(255) « Au contraire, si À est un nombre composé, il pourra y avoir » plusieurs au quadratiques de la formule # Æ cu° qui contiennent » le nombre 4.

En effet le den quadratique qui contient Æ peut se représenter par la formule 47° + 2Byz3+ Cz°, où l'on a 2B < 4 et PAS CE Or À étant connu, on peut prendre pour Z tout nombre qui satisfait à l'équation es pourvu que cette solution soit comprise entre zéro et.=4. D'ailleurs lorsque 4 a des facteurs premiers inégaux et non communs avec e, on a déjà vu (n° 191) que cette équation. admet ua nombre 2'—’ de solutions ; & étant le nombre de ces facteurs (2 ex-

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SECONDE PARTIE: 265 cepte). Donc 1} y-aura pareillement un nombre 27! de diviseurs quadratiques 4y° + 2Byz-4Cz’, ou. de’ formes de diviseurs quadratiques, renfermant:/.41l pourra arriver cependant que plusieurs de ces diviseurs, réduits à l'expréssion la plus-simple ; ne diffèrent point'entre eux; : de sorte qu’en vertu de la limite assignée, le nombre des diviseurs quadratiques qui contiennent Z ne peut excéder 27 , mais il pourra être plus petit. Cela est d'autant plus manifeste, que le nombre des diviseursquadratiques d'une même formule “ÆEcu* est souyent très-petit, et se réduit quelquefois à un ou deux, tandis que si l’on prend un nombre 4 composé de plusieurs. facteurs, É quantité A: qu représente le nombre des valeurs de B peut devenir aussi grande qu’on voudra.

Remarque. Jusqu'ici nous ayons considéré les diviseurs des deux formules # eu, 1 —cu indistinctement; dans le reste de ce paragraphe, nous ne nous occuperons que de la première formule cu, et de ses diviseurs quadratiques..

(234) « Tout nombre premier 4 qi est de la forme y°--az, a 3 étant » un nombre positif, ne peut être qu'une seule fois de cette forme ; » ensorte qu'on.ne pourrait aVoir à-la-fois 4=f°+ag*.et A=f'*°+ag", » g” étant différent de g.»

SUPROSONP, s’il est ee ; que ces deux formes aient lieu n-la-fois, à et qu’en conséquence on ait f°+ag"— f"? + ag", ou f°—f—a(g""—g"), il faudra que f+f’ soit divisible par un facteur de a et f—f’ par lautre facteur. Soit donc a— mn, m et » étant deux factéurs indéterminés; et on aura f+f—mh, f—f—=nk, ce qui donnera... hk=g"—g. Soit ® le plus grand commun diviseur de A et de gg, on pourra faire k=u®, g+-8' —v9, et il restera à satisfaire à l'équation wk— (9 —g}r. Or puisque # et y. sont premiers entre eux, il faudra qu'on ait =», 8 gp}, étant une nouvelle indéterminée, De là résulte

F=E + (nh+nk) =? (mao +)

g—2(69—ul).

Donc f°+ag* où 4 —2%(um +) (mp°+ nd). Et puisque 4 est un nombre premier, il faudra que l’un des facteurs du’ second HeRREe À par exemple-mu?+Æny, soit égal à 4ou à 2.

Soit d'abord muw°+n=— 2; on ne peut supposer w—0o ni »—0, parce que l’une ou l'autre supposition rendrait identiques les ‘deux formes f*—+ ag, f" ag"; donc la seule manière de satisfaire à à cette

Se me en

“équation , est de supposer tous: les nombres m, n, 1,» égaux à l'unité.

en alors on aurait ar; f==2(p #4), g—2(0—\), f—21(0— 0), = (+4), donc f°+agt et f+ag?, ne seraient qu'une seule

et aprés forme 4 (@+L)L2(0—4), contre la supposition.

En‘second lieu, soit mu°-m=—/; comme on ne peut faire encore p=0 ni »=—0, il. n'y aura que deux manières de satisfaire à cette équation, l'une en faisant m—n—2, p—vr—1; l'autre en faisant M= 1, n=5, p=»=—=1. Le prentier cas danétett A=29 +2, et ainsi 4 ne serait pas un nombré premier:

- Dans le sécond cas, on aura 4 —@g+ 542, f=:(o 54); g—?%(p—4); mais ces dérnièresvaleurs né peuventavoir lieu, à moins que ® ét | ne soient tous deux pairs où tous deux impairs, et dans les deux hypothèses 9°+34* ou 4 serait divisible par 4. Donc, dans aucun cas, le nombre premier .{ ne pourra être exprimé de deux manières différentes par la même formule y° + 47°.

Remarque. Si un nombre // peut être exprimé de deux manières par li formule 3° az, ce nombre sera nécessairement un nombre composé, et on pourra même, par l'analyse précédente, én déterminer les deux facteurs. Mais ilest à observer que ce théorème ne serait plus vrai si a était un nombre négatif, car l'équation 4=y° —4z* étant supposée ayoïr une solution, elle en a dès-lors une infinité.

(255) Nous avons déjà eu occasion d'observer que. le produit des deux formules semblables x° 47°, p° ag donne un produit semblable, Ique est suscepüble des deux formes

(pæ—aqy) ED

(pæ+.agr) +a(pr = gx).

C'est.ce dont on peut s'assurer par le simple développement. de, ces quantités. Mais on peut trouver directement la forme de ces produits, en considérant que les deux facteurs x° a nur: équivalent aux quatre suivans :

cHyV—a, ya, pHV— es p—qV—a Or si on multiplie les deux facteurs #=+yy/—4;p+qy—a, l'un par Fautre, le produit sera. px—agy (pr +gx)y/—4; les deux

autres facteurs auront de même pour produit px—aqy=(pr+qx)y —a; et le produit de: ces. deux. produits sera (px-=-497) + a(pr + gæ).

RARES EE: RES EE ou in fer ES Gong PS ED A PP SNA + Le Le NF D er SRE a

SECONDEPARTIE 267 Lé résultat serait le même, en changeant le signe de ÿ; ainsi une autre forme du produit est (pat agy) +a(pr ge): Ces formules ont lieu, quel que soit le signe de a; tout ce dus suit suppose que a est positif.

(256) Si la formule x°-+ay* représente un nombre composé NW, lequel soit 72 fois de la forme x*—+ay*, et que p*-+ ag représente un nombre prenuer 4, on voit, par le n° précédent, que le produit AN sera susceptible de 2% formes semblables à x? 4y*, pourvu toutefois que .V ne soit pas divisible par À : on :vérra tout-à-l’heure For nous mettons cette restriction.

Si le nombre premier 4 est de la forme p°ag", le quarré du nombre A sera une fois de la forme x*, et une fois de la forme x°=Lay’; car, on. a, suivant les formules précédentes,

A= (pag) et Æ=(pp— 499) dpi

Donc si le nombre composé W est m fois de la forme x* + ay*, etque. le nombre premier 4 soit aussi de la forme p{—+ag*, le produit NA° sera . susceptible de. 3» formes semblables X?-LaF*, parmi lesquelles il.y aura 2» formes où X'et F n'auront point de commun diviseur 4, . et » où ils en auront un. On suppose éncore que À n’est point. divis seur de’.

Le nombre premier À étant toujours dé la forme p*—ag*, le cube de 4 -sera deux fois de cette même forme; car Z*°.est de la forme ( pp—aqq) + a(2pq) ; et cette quantité multipliée par p°+ ag° fournit les deux formes

Çp° == ap) + a (Spiq— aq°Y

CP° pq} a pig tag}. | La dernière étant représentée par X°+4a}?, on voit que X et F 6nt pour commun diviseur Æ, et qu'elle se réduit à (p4)*+ a(g4), la même que si ôn eût mottolté simplement Pp'+ag par A.

* En général, Z étant un nombre premier de la forme p°+ aq, on peut faire 4" = Pr 2 40), et on aura, pour déterminer P et Q ; l'équation (p+ qV—a) —P+<Qy—a, dans laquelle, après avoir dévelôppé le premier membre, il faut égaler a partie rationnelle à la partie rationnelle, et”la partie imagmaire # la partie imaginaire.

: On aura aussi L'=4T, 4% de sorte que si on fait AFP P' #40; on aura une nouvelle valeur de À qui sera (4P'} La(4Q'). On en ti