EP EURE ET RSS

rerä! ue semblable ‘de’ A. A6, etc. Donc. autant il y'aura d'amités

dans ‘ 1 ce a autant on aura de formes diver ses À” Lo = pour la puis-

sance A"; mais parmi ces formes, il n y. en aura qu'une seule dans laquelle. # et F seront premiers entre eux; dans toutes les autres X et F auront successivement pour.commun diviseur 4, 4°, 4”, etc. Dont la valeur de 4° sera

vlorsque 7—2, une fois 4° et une fois de la forme Æ°-HaF?;

“lorsque 7 — 3, deux fois de la forme A7 Hay, “lorsque Res une fois 4! et deux fois de là forme X?+ar?, lorsque LE ds trois fois de la forme ARS à

£ “ainsi de suite.

Ét comme chaque Ne Mer 2 HuIHphe par un nombre de mème forme, produit deux résultats de cette même forme, tandis que X° seul n’en donne qu'un; on peut conclure en général que le. produit d’une formule .f?+ 49°, par 4" sera susceptible de 2-1 formes sem-. blables x°— ay’, lesquelles seront toutes différentes entre ARE pourvu que 4. ne divise point f°+as’.

Donc sion a N—a"6")", «ete. , &, 6, y, etc. étant gée nombres premiers, tous de la forme pag’, É nombre !V sera autant de fois de la forme x°-ay? qu :l ÿ a d'unités dans le produit

sf] ot (na) (nr HE (a 1) (n" + x) etc:

Ce nombre coïncide avec la moitié de celui des diviseurs de N, ow aveé celui qui indique en combien de manières on peut partager N en deux facteurs.

Dans le cas où (2 +1) (nr) ei. sh impair , le résultat serait toujours vrai, pourvu que la fraction restañte + fût poraplée pape une unité. ;

Lorsque a+, ou que la foie dont ils agit est x' 23, le facteur.2 ni ses puissances n’entrent point en considération 3 €etne changent pas. le nombre: des formes du produit. Car en multipliant dE Ly par 2, on n'a qu'un. produit de larmême forme, qui est (x.y) + Ge Doi

(237) Pour appliquer la formule générale, considérons les trois ur 5, 15, 17, qui tous sont de la forme p°+-95, on trouvera: PE Que le de 5.15-17 est £.2.2.2, ou quatre fois de la forme

RP ST né mers RE à

5, Que le produit rest 2,3: 2, oustrois fois. de la même orme

°. Que le produit DAS 17 1eSt 1,3.3.2, ou neuf fois de cette pos ve

4°. Que le produit nt 134 est 4.5. Hi ou treize fois la somme de deux quarrés ; toutes propositions qu'il est facile de vérifier.

Le problème inverse, qui au premier abord aurait pu paraitre fort difficile, se résoudra très-simplement, en faisant attention au résultat trouvé dans la solution directe.

Par exemple, soit proposé de trouver un nombre qui soit trente fois de la forme p*+ 24°. Les nombres-les plus simples de cette.forme sont les nombres premiers 3, 17, 19, 41, 43, etc., je les désigne par «, É, 7, et le nombre cherché par «76">", etc. ; 1l faut donc faire ensorte qu'on ait 30—2(2—+ 1) (7/1) (n"+ 1), etc. Pour cela, décomposez 60 en facteurs, premiers ou non, tels que 3.4.5; diminuez chaque facteur ‘d’une unité, vous aurez 2, 3, 4 pour les valeurs de », n,n. Donc 6"y{ sera du: des nombres chekôiés ainsi : 3f. ae «10° deit satisfaire à la question. |

Ferhat a indiqué cette solution, sans.en donner à none on ; dans une de ses Notes sur Diophante, page 128. Li

Le théorème du n° 234 dont nous venons de donner diverses applications , renferme une propriété à et tres -remarquable des nombres premiers, mais il est suscepuble d’être rendu beaucoup plus général, ainsi qu’on va le voir dans les propositions suivantes. .

(238) « Tout nombre premier 4 compris dans Ia formule my°+nz, » où net 7 sont posilifs (1), ne peut être exprime de deux manières » différentes par cette formule, ensorte que si l’on à 4— mf? ns", » on ne pourra avoir en même temps A=nmf"®+ n8", g' étant diffé- » rent de g. »

Si on avait à-la-fois 4 =rf" += nf nf ; il en résulterait FE = E =

entier, que "1 et’n n’ont point de commun diviseur. Soit donc

La 2——©= ; équation dont chaque membre doit être un nombre

@) Les nombres m et » doivent être premiers entre eux , puisque MÉUENS est égalà un nombre premier; mais on peut supposer de plus que m et n n’ont aucun facteur quarré: car sion avait m=—=nva* ;il est clair. que la formüle my° + n2* serait comprise dans m'y? n2°.

n= 46, my, on pourra faire en général

ff = UN. g+=>MP JS =6PQ à g+8=0N0;

ce Qui ne 2—= MN + CPQ, 2 —9yMP —ISNQ; donc.

brafe uns où 4A (a M +680). (de + EP

Maintenant, puisque A est un nombre'‘premier, cette, équation ne peut subsister, à moins Ho des facteurs du second membre ne soit égal à 4 ou à 2,

Soit 1°. M4 60Q = 2: j'abserre qu'aucun des nombres A7, N;, P, Q ne: peut être supposé égal à zéro; parce que eette supposition rendrait identiques les deux. formes. 1f*-+-ng*, mf'*+ng"*; on ne pourra donc satisfaire à l'équation précédente qu'en faisant a6yd x; M=Q@= 1. Maïs alors le nombre 7 serait de la forme :y° + 2?, et par conséquent il ne pourrait être qu'une fois de cette forme (n° 234).

“Boit. >. ayM°>+ 69 Q—#, cette équation ne pourra avoir lieu qu'en faisant abyd'=5, M=Q=x, alors le nombre # serait de la forme J° +37, ce qui DR dans le cas déjà examiné n° 234. #

Donc dans tous les cas le nombre premier #ne pourra être exprimé

que d’une manière par la formule my°+n2".

(239) wLe double d’un nombre premier 4 ne peut être exprimé non » plus de deux manières différentes par la même formule »y° + nz°, » ensorte que si l’on a 24 dis + 8°, On ne pourra avoir en, même » temps 24 =mf"°—+ng"”, g' étant différent de g. »

Car toutes choses restant comme dans la proposition précédente, on sera conduit de même à l'équation

84 — (ayM° + GS Q) (a d'N:+ 6% P:).

Or pour que cette équation subsiste, il faut que l’un des facteurs du second membre soit égal à 2, où à 4, ou à 8, sans cependant us des nornbres M, M, », Q:soit zéro. :

Soit 1°. &yM°+ CS 0°= 2; cette équation ne pourra avoir lieu qu'autant HA aura a6yd—1, M— OS Mais alors 24 serait de la forme F3) et si On avait 24=f +8 =f" +8, il en résulterait