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"2SECONDE-PARTIE, «275 -Donc:le nombre premier 4 serait-deux fois de ke forme y ae ce “qui est impossible (n° 234). :

Soit 2°. æyM°+CJQ—/; la seule manière de Hire: cette équation (sans supposer # ‘ou Q égal à zéro, mi a6yd divisible par un quarré), est de faire a67d —5, M3, Q=1r; mais alors on aurait 2A=/f*+ 3e* équation impossible, parce que le premier membre est de :la forme es, tandis que le second serä toujours, où impair 5 ou multiple de 4.

Soit 5°. «yM+6909°—8, il est aisé de voir d'abord que a6yd' ou 17 ne peut, dans ce cas, être un nombre pair; car, par exemple, si l’on fait dy=2, 6d'—5, on aura l'équation 2° 3N°=8, à laquelle on ne peut sastité qu'en faisant V6. Lies autres säteuis paires de mn ne pourraient être que 2 Où 103 maïs on reconnaitra de même qu'elles sont inadmissibles.

"Il reste donc à examiner les valeurs impaires' de "nn où de a6yÿd", au moins celles qui né donnent pas plus de 8 pour la somme des deux facteurs &y + 6d\; car la quantité &yM° +690" ést au moins égale : à - cette Somme, puisqu'on ne peut faire ni M ni Q égal à zéro.

Le cas de mn=—1 ayant été déjà examimé, soit mn=—3; on aura M: + 30°—=8, équation dont l'impossibilité est manifesté.

Soit nee ôn aura M°+50°=8, équation pareillement impossible.

Soit mi—7, On aura M+n02S8, équation possible ; mais alors on aurait 24—/f°+#7g8", équation impossible, parce que le second membre est ou impair, ou multiple de 8.

On ne peut faire »2—0 à Cause du facteur quarré, ni mn —11, où Mmn—= 13, parce que 1 11 Où 1-13 surpassent 6.

Soït enfin mn—15, «y —3, Cd'=5, l'équation 5M°+5028 sera possible; mais alors on aurait 24=f" + 159* où 24—5f° + 59°, équations toutes deux impossibles, parce que lé second membré est ou impair, ou multiple de 8.

Donc, dans aucun cas, le double d’un nombre premier ne peut être compris cd deux manières.dans la formule 27° + n3

(240) « Tout nombre P premier, où double d'un premier, qui est » compris dans la formule quadratique py°-+ 5qyz 4 272, ne peut » être exprimé que d'une mamièré par cette formule ; ensorte que si » a EE “27/8 are" +, on ne pourra avoir en même temps » P =pf" + 2qf 8 +278". » (On soposs as P re et ra; pu à un nombre positif c.)

J'observe d'abord que le cas ‘où 2 est double d’un nombre pre= . mier se ramène aisément à celui où P est un nombre premier; car

si HR