Hd + 29/8 + 278° =pf"-H+2qfs +2rg

il faudra que f et .f' soient pairs. Aïnsi faisant f— 2h, f —2h#, on aura

A = 2ph° + 2qhg + reg

A — 2ph° + 24h + re".

Donc sil est impossible qu’un nombre premier 4 soit compris de deux manières dans une même formule quadratique, il sera pareïllement impossible que son double 24 soit exprimé de deux manières par la formule quadratique qui contient 24. Réciproquement sila proposition était démontrée parle cas de P— 24, elle le serait pour celui de P=— A; c'est pourquoi:l suffira de considérer l’un de ces cas.

Soit, donc Æ.un nombre premier compris dans la formule... py° + 2qyz+ 2x2 qu'on pourra considérer. comme l’un des diviseurs quadratiques de la formule # +cu?. Si l’on fait 4=pf+2qfo+2meg", et qu'après avoir déterminé. f° et g°. par l'équation fg° —f°2—1, on substitue fy+f°z et gy +g°z à la place de y et 3 dans la formule

PJ+2qretans, cette formule deviendra de la forme 2 Br EG : où l’on aura 4C— B°—c.

Donc si le nombre 4 est compris de Fe manières différentes Gr la formule proposée py°—+29y3+27#3, il faudra qu’on-puisse satisfaire à l'équation 4 — 4y°+ 2Byz+ C7, sans supposer. z — o. Cette équation étant multipliée par 4 donne 4 — (4y+Bz) + cz, ou A? —(Ay + Bz)ÿ =cz. Soit c—=mn, m et n étant deux facteurs indé= terminés, on pourra faire

A+ Ay + B:=mM A— Ay—Bz=nN,

et l'équation à résoudre deviendra MN —3%. Or on satisfait généralement à cétte équation, en prenant WM—aAuw, NN", 3 Au, pety étant premiers entre eux; on aura donc :

À + A7 + Bu = my > A— A7 — Blw=nN,

d'où l’on tire 24= À (mu? mr).

éh

Ge résultat, qui a lieu quel que soit 4, prouve que si un nombre quelconque Æ*est:compris de deux manières différentes dans une même formule quadratique pY° + 2qr3 + 272, son double 24 sera le produit de deux facteurs À, © » l'un © de la FE M 2H nz (où mm—=c),

l'autre À moindre. que Fe

Maintenant si 4 est un nombre premier, comme on peut faire abstrac tion du cas de c—1, on ne pourra faire ni A= 4, ni A—24; donc puisque À est diviseur de 24, il faudra que X soit r ou 2; ainsi on aura soit À — mu? + n°, soit 24 —mp° + n°.

1°. Si on a Amp", le nombre premier À sera compris dans la formule my°+-nz2°, qui est l’un des diviseurs quadratiques de la formule & ou’. Mais comme un même nombre premier ne ‘saurait appartenir à deux différens diviseurs quadratiques d’une même formule #+4-cu?, il s'ensuit que la formule »y* + 12° doit coïncider avec la formule donnée pr'—+2qyz 282. Or'on a prouvé (n° 238) que le nombre premier 4 ne pen être qu'une fois de la forme my*+ n£*, donc il ne peut être gr une fois (1) de la forme équivalente py sors - ®. Sion a 24—my"+nz", le nombre 24 appartiendra au diviseus tte my*—-nz*. Mais de ce que le nombre Z est compris .dans le diviseur Py +29 + 272", il s'ensuit que 24 est compris dans le diviseur conjugué 2py* 2972 #2. Donc comme 24 ne peut appartenir à deux diviseurs quadratiques différens, il faut que la formule 2py°*+ 2qyz+4- #2" soit identique avec my*—+nz. Mais s'il y avait deux solutions de l’équation 4=—py°+2qyz+-272, il y en aurait deux de l'équation 24 = 2py* + 2972 + m2° , et partant deux de son identique 2A=—= my" + nz°, ce qui est impossible (n° 239).

Donc le nombre premier 4 ne peut être exprimé de deux manières

différentes par la même formule py°+ 29yz+ 27%"; « donc tout » nombre P, etc. »

(241) Remarque. La proposition précédente et même les propositions des art. 238 et 239, sont sujettes à exception dans trois cas, savoir :

1°. Si le diviseur quadratique est de la forme py*+ 2pyz+-2#2°, ou simplement py° + rz°, ce qui suppose 9 — 0.

(1) Cette conclusion est sujette à une exception dont il sera: fait mention dans iz Remarque suivante,

2. S'ilest de la forme Pr 29/2 + 2q7, qui suppose dc 4 8. Silest de la forme pr 2qyz-pz, qui suppose Ep À . Car il est visible que dans ces différens cas, chaque manière de re-

présenter un nombre donné P par l’un de.ces diviseurs, en. fournit imnmédiatement une seconde.

Ainsi 1°. si l’on satisfait à l'équation P=py*+rz, en PR J=M;3=R;, on y satisfait aussi en faisant y —1", —=—n, ce qui, rigoureusement parlant, est une solution différente.

2°. Si lon satisfait à l'équation H=iprf agrz + aq en faisant 7 M, 2=h) On y satisfait aussi en faisant Y=m, 2=—m—n

«+ Si lon satisfait à ‘équation P=py* + 2qyz+-pz en faisant mena 2 n, Ony salisfait aussi en faisant y=?,. 2m.

Nous appellerons, pour abréger, diviseurs quadratiques bifides, où simplement diviseurs bifides, ceux qui tombent dans Fun de ces trois cas; niais nous conviendrons en même temps de ne regarder que comme une. solution les deux qui vont ainsi ensemble et qui. se déduisent lune de: l’autre de la-:même manière. Alors les propositions précédentes seront absolument générales et il n’y aura Heu à aucune exception.

(242) ««'Fout nombre prémier Z compris dans la formule quadra- » tique py°gyz- rs" dontles coefficiens sont impairs, n’y peut être »'compris que dune seule manière , excepté ‘dans le eas évident où »deux des nombres p, g, r sont égaux, » (RE ut toujours 4pr— q° égal à un nombre positif c.)

On a déja ‘vu, n° 519, que la formule py* + qy27z * renferme les

trois suivantes :

À pp + 278 dre"

Apy° + 2q72 re |

(p—q=+r)7" + (Gp —29)yz + 4pr”, donc il faudra que le nombre premier À appartienne à l’une de ces formules. Mais celles-ci étant réduites à la forme ordinaire, où -deux coefficiens sont pairs , il suit du théorème précédent, que le nombre # ne pourrä être compris que d’une seule manière dans la formule à laquelle il appartient; donc il ne pourra être exprimé que d’une mamière par la formule proposée py°+qyz—+ 73", excepté les cas des diviseurs bifides, dont nous faisons abstraction:

” Nota. Les théorèmes précédens concernant les nombres P— 4,

PA 2 RECRRPE ou doubles de premiers, s'appliquent également aux

SECONDE PARTIÉ : 279 norbrés de la forme P— À, PA", k étant un exposant quel conque; Cat dans ces formes, Céne dde celles où Æ—7+, le nombre P ne ‘pourra appartenir qu'à a seul diviseur quadratique de la formule Etc À pe n° 232). |

(245) «Soit P un nombre composé, impair où ‘double d'un‘! hpur; $ » si lon suppose que P soit diviseur de la formulé + cw, et qu'en » conséquence P soit compris dans un ou plusieurs diviseurs quadra- » tiques de cette formule , je dis « que P sera toujours exprimé par ces » diviseurs quadratiques de 2 manières différentes , : étant le nombre » des facteurs premiers inégaux qui divisent P säns ae (A+ nn

En effet, puisque P est diviséur de là formule Pc, ni le sera de

qu'il y a d'unités dans 2" (voyez n° rgr). Soient Q, Q/, ®, etc.; ces

différentes valeurs de x moindres que: et soient En ‘même terhps

Th ci P. 2?

la formule x° ce, et Dao £ Re aura. autant de, solutions

A, f;, :R° etc. les valeurs correspondantes de là quantité —— on

pourra avec ces nombres composer les formules

PF +207 + Re Ph +20 734 Rr Py* +207z+ REA

etc.

dans lesquelles P est constamment-le même, et qui seront toutes :des diviseurs quadratiques de la formule #*+- cu*. Soit py° + 2972 rz* un des diviseurs de la: même formule, réduit à la forme la plus simple, et dans lequel le nombre P soit contenu, on pourra donc supposer P=pf°+ 2qf2 #4 rg*. Si ensuite on détermine f° et g° d'après l'équation f£°—f°g—1, et qu'on mette fy +f°z au lieu dey, et gy +g°z aulieu de 3, la formule py*° + 2qyz + rz° deviendra” par cette substitution Py°+2Myz+Nz*, et on aura Fu HAE ESS) TEE!

— fi 29/78" +78.

D'ailleurs on pourra toujours prendre f° et g° de manière que M $oit ‘moindre Où rion plus grand que = 2. De la on voit que pour que W

… puisse été successivement égal à chacun des nombres Q, Q', Q”, etc. (comme cela est nécessaire ; puisque chaque ARIRUE quadratique

Py°+2Qy:+ Re; après-avoir été réduit à la forme la: plus. simple, doit coïncider avec l’un des diviseurs représentés Par Py°+-2q/2 re +) il faut que les valeurs de f et g puissent être variées en autant de manières qu'il y a de nombres Q, Q/, Q', etc., c’est-à-dire en un nombre de manières 2*, i étant le nombre.des facteurs inter , inégaux et iapairs, qui divisent P sans diviser c

: Donc le nombre P sera compris de 27’ manières différentes dans les diviseurs quadratiques dela formule 4 + cu?.

(244) Si-le diviseur quadratique. py°.+- 2gy2-ret, Lest.le seul affecté à un même groupe de diviseurs linéaires’, il faudra que les 27° formes dont il vient d’être question soient comprises dans ce seul diviseur , et ainsi il y aura dans ce cas 27° manières de satisfaire à l'équation P—=py°+ 2972 re. Résultat remarquable, ét qui mérite d’être confirmé-par un exemple.

La: formule t+6gu a pour diviseurs; d'après la Table IV, se

nombres premiers 5, 7, 1%, 17, 19, etc.; done le produit 5.7.17, par exemple , ou 595, est un diviseur de la même formule. Ce diviseur étant de la forme 276x+ 45, la même Table fait voir qu'il doit être compris dans le diviseur quadratique 7y*-2y2+ 10°; et parce que ce diviseur est seul de son espèce, et qu’en même temps le nombre compris 595 est composé de-trois facteurs impairs, inégaux; il faudra, -d'après le corollaire précédent, que 595 soit compris de 27" ou 4 manières dans la formule 77-277 10z°. En effet, si on-met l’équation 199 77° + 2yz + 107* sous cette forme (77 +7) —4165— 6092"; et qu’on donne à z les valeurs successives O0; 1; 27 3, etc., on trouvera les solutions suivantes:

LUZ bre f

i A EE

Donc'il y a trois valeurs de z dont une répond : Sdéux valeurs de y, et ainsi ily a quatre solutions de l'équation FOR SR: RTE au théorème.

Rernarque I. 'Les mêmes exceptions qui ont été observées n° 241, Jorsque P est premier ou double d’un nombre premier, ont également lieu lorsque P est un nombre. composé; mais elles se rapportent ques aux diviseurs bifides, et on-peut en faire. abstraction. F

Remarque: IT. Si un nombre impair P est diviseur de la formule + cu, où c est. de forme 8743, et qu’en conséquence P .soit:compris dass le diviseur quadratique py°--gyz--rz* dont les coefliciens sont impairs; on prouvera, comme ci-dessus, que le nombre P sera compris; de 2? manières différentes, dans les diviseurs quadratiques de la formule “cu, : étant le nombre des facteurs premiers inégaux qui divisent P sans diviser c:

Et il n’y aura point exception , quand même on aurait r—q, pourvu qu'on regarde la solution y=m, =n, de l'équation P=py USE comme ne différant point de la solution y=m, 2=—m—n

(245) « Si cest premier ou double d’un ee tout nombre » compris dans un diviseur quadratique de la formule #- cx*, n’y » pourra être compris que d'une manière, tant qu'on n'aura pas » NS 5c.»

Pour le démontrer, nous allons chercher quelles sont les conditions pour que le nombre I soit contenu deux fois dans le diviseur quadra-

tique py°+ 2972 + 72°, Alors en faisant py + g:=x, on aurait les deux solutions

pN= 2° + cz — x" + cz?,

Soit 1°.7—Z, On ne: supposera pas en même iinns T1 parce qu'alors on aurait Y—Y > et les deux solutions n’en feraient qu’une; mais on peut supposer '—=—x, ce qui donnera p( y) +29: 0.

Puisque le nombre c=—pr—g* est premier ou double d’unspremier , les nombres pet 27 seront premiers entre eux, ou n'auront que 2 pour commun diviseur.

Dans le premier cas, on ne peut satisfaire à l'équation p( y+-7')}+-2gr=0 qu’en faisant y y = 2m, z—=—mp. On a donc alors N=—p}*—29mpy +rmép® =p{(y —mg) cm]; donc N >pem,.ou en général N>pe. Les cas de p—1 et p—3 ne donnant qu'une même solution , on aura au mins p— 5; ainsi pour que À soit contenu deux fois dans le même diviseur quadratique, il faut qu'on ait N > 5c. |

Dans le second cas, p étant pair, si l’on fait p—2xr, on aura équation x( y4-7')+-92=0, à laquelle on satisfait en faisant z=—#7#,

7HY =qm; d'où résulte V2 —2qmym tr m = = [(ar=—gm) cm]. Donc N>- "cm, ou en général N>? D On ne peut supposer p=?2,

ro A ED D Le ne NO otenes

rit PA, parce qu'il n’en résulte pas proprement deux solutions, ainsi la moindre valeur que puisse avoir p est 63 ce qui donnera N>4c

“Soit ». 7 >%, alors ayant 2°—2=—0c(72—7), l'un des facteurs tx", x —x" du premier membre devra être divisible par é ; et comme le signe de x’ est à volonté, ee APE faire LH Cu: De là résulte CE Np=i cute (Ye FH ce donc on aura Np>2c'u*, ou en général Np > 2e; et parce qu'on a p<V3c; il s'ensuit N>: xoV40- TE

Cette limite est. égale à 3c, lorsque RER et elle est plus brañde lorsque c surpasse 48. nes en examinant successivement tous les cas.où l’on a c << 48, on ne rencontre aucune exception à la praposton que nousayons énoncée. Donc on peut dire en général quesion a WN<£c, le nombre ne pourra étre contenu qu'une fois dans un même diviseur Adam de la formule #+ cu’, c étant premier ou double d’un prenuer,

12 72 fais D°—2 s. z > L—= 5 Cut

$ XIV. Sur les moyens de trouver un nombre. F rCmNET plus grand. qu'un nomire donné.

(246) Sr M un nombre contenu deux ou DhRiept fois dans la formule py°-+ 2qr5r2°, ensorte qu'on. ait

M= par + 2qaê 4 76 = py° + 2q7d + rd" ; multipliant tout par p, et faisant à l'ordinaire Pr EE €; ON aura (pa + 6) 06e = (py gd) ed.

Supposons que c ou +6. soit un nombre premier, ou qu'au moins si l'un ou l’autre est le produit de deux facteurs, l’un de ces facteurs soit commun avec p et g; alors l’équation précédente ne peut avoir lieu, à moins que pag6—(py+qd) ne soit divisible par ce. Soit donc py+gqgd =Æ(patqg6— ex), on aura, après avoir substitué et divisé par c, l'équation + 2(pa+qé)x—ex =". (a)

Toutes les fois que cette équation sera possible, c’est-à-dire, toutes les fois qu'on pourra trouver une valeur de x autre que zéro, par Jaquelle

le premier membre devienne un quarré parfait, il s’ensuivra que le nombre 1/4 ou sa moitié n’est pas un nombre premier.

(24%) Si l'équation (a) west possible qu’en faisant x—0o, il ne faudra pas encore én conclure que le nombre 7 ou sa moitié est un nombre premier. Cependant si dans ce même cas le diviseur quadratique pr? + 2gyz re relatif a la formule {+ ct, est seul.de son espèce’, ensorte qu'un nombre qui y est contenu ne puisse appartenir à aucun autre diviseur quadratique de la même formule #-Hcu°; ou en d’autres termes, sile diviseur quadratique py° + 2qye + rz° est seul affecté à un même groupe de diviseurs linéaires, comme on en voit des exemples multipliés dans les Tables IV, V, VE, et VIF, je dis qu'on pourra conclure que le nombre A ou sa moïtié est un nombre premier , saRé une exception dont il sera fait mention.+

En effet, 1°. si le nombre #7, compris dans la formule pY°+2qyztre"s est divisible par deux nombres premiers différens non-diviseurs dec, on a déjà vu (n° 2/44) que M sera compris de deux manières différentes dans la formule py*+-2qyz-rz, puisque celle-ci.est seule de son espèce. Donc alors l'équation (a) aurait au moins deux solutions.

>, Si le nombre M est égal à une puissance paire du nombre premier æ&, ou si l’on a M4", alors le nombre A appartiendra au diviseur quadratique y*+cez?; Car si dans ce diviseur on fait y—4" et 3= à un nombre pair, on obtiendra la même forme linéaire 4cx + a qui convient au nombre M. Mais on suppose que les formes linéaires dans lesquelles: A est compris ne répondent qu'à un seul diviseur quadratique py® + 2qrz+-rz"; donc ce diviseur, dans lequel M est contenu, n’est autre que y*<+-cz*, ou son équivalent ÿ°+-2yz+-(c+-1)z". J'observe maintenant que le nombre AZ qui sera exprimé par f°+ œ*, f etg étant premiers entre eux, pourra l'être aussi par la simple formule »*, en faisant ÿ—7=— 4", 3—0; et quoique cette dernière expression.ne soit pas régulière, puisqu'on doit toujours supposer y et z premiers entre eux, cependant il n’en est pas moins yrai qu'on pourra faire f°+ ce —7, et qu'ainsi l'équation (a), outre. a solution x=0, ‘en aura une autre qui donne d —0o.

3. Si le nombre W— a°"+!, à étant un nombre premier , alors il est ‘aisé de voir que & et M appartiendront au même diviseur quadratique. Car soit æy*+ 2672 + 73° le diviseur quadratique qui contient «, si l’on faity—a" et z égal à un multiple de 2c, alors ce diviseur devient de la mème forme linéaire 4cx—+a dont est 2*"*+: ou M. Mais il n’y a par supposition qu’un seul diviseur quadratique qui réponde au groupe de formes linéaires dans lequel. M est compris, donc ce diviseur pr°+2qgyz-#+rz sera identique avec le diviseur ay? 26yz+z. Or celui-ci offrira toujours deux manières de représenter M, l’une où y etz seraient premiers entre eux, l’autre où l’on ferait ÿ=4", 2= 0. Donc, en vertu de ces deux expressions , l'équation (a) auraït encore deux solutions. ;

4°. Si on a M—c”", on prouvera, d’une manière semblable, ne le

nombre M appartiendra au diviseur quadratique 27° + par 2° À

si c est impair, ou au diviseur 2y Hi ; Sic est pair. Dans les deux

cas, le nombre W pourra toujours être: exprimé de deux manières par ce diviseur, ainsi l’équation.(a) aura deux solutions.

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