ER TS

5e, Si.le nombre M—24"+, on prouvera encore de,la même

manière ,; que le nombre M -appartiendra au. même diviseur qua-

dratique que 22, et. qu'ainsi ce diviseur pourra être représenté. par

2. 24 26yz +yz, Il y aura donc au moins deux manières de satisfaire

à l'équation M — —=p}" + 2972 re", et par conséquent au moins deux solutions de l'équation (a).

(248) Il parait, par l'examen de tous ces cas, que si le premier “membre de l'équation (a) ne peut devenir un quarré que lorsque T0, on peut en conclure qué le nombre M ou :M est un nombre pr emier. Il fâut néanmoins excepter le cas'où AZ aurait un facteur premier « non commun avec c, ét plusieurs'autres 6, y, etc. communs avec c, car alors x? + c

nombre M ne pourrait être représenté que-d’une manière par-la formule py°+2gyz#+ rs", Mais si d’une part le diviseur quadratique pr°+2qretrz qui contient W, est seul de son espèce; si d'autre part M n'a aucun diviseur commun avec c, et que l° quantité... CH 2(paq6)x—cex*, formée d'après la valeur M=—pa’+2qa6+r6, ne puisse être égale à un quarré que dans le seul-cas de x—o, on pourra conclure avec certitude de ces conditions réunies, que le nombre M ou sa moitié, sil.est pair, est un nombre premier.

l'équation —e ne serait susceptible que d’une solution , et le

(249) Gela posé, si on prend pour & et 6 des nombres quelconques ‘premiers entre eux, on pourra regarder comme autant de théorèrhes les -résultats suivans choisis entre plusieurs autres semblables qui sont con- -tenus dans nos. Tables. Ils indiquent diverses formules .générales dans

lesquelles tout nombre compris sera premier ou double. d’un premier ; si la formule conditionnelle ne peut être un quarré que lorsque 0, £t si en même temps 7 et «sont premiers entre eux, -ainsi que « et 6

Tormule conditionnelle.

Formule de nombres premiers;

CE Hia(a 6) x x84 at ab T46*

ÉL2(a HÉ)x—37x | a 4 346 4 386% CE E6 (a EC) x "577" Bai + Ga + 226* 4-6 (a +6) x —095x* 5a° + 6a6 +546?

62 2 (1004276) x — 193x* nr xrat + 14a6 + 226 EH 2 (2246) x — 117° as a6 + 56:

.. 622 (2a+6) x — 192 . + ab+ 56e

2624 2 (2246) x —43x° a uCt 116%

2 6H 2 (2446) x — 67x* . Latta6higét .

€ 46 (2246) x — 1292 à Ba + 346 116 EH 2 (2246) x = a662 0 a db 44e 6? Hao(2a-6) x — 255% bar + baG = 1366

ÉL 242 — 10x° a? "106?

62H baux — 322%, d “+ 226? :

1 6 2ax— 58x° a? -L 586 62 -L:roax 170201: Doi? + 146* 62 Gax — 102x*: 5a+ 5462 6? 10œ4x — 190x*

ba 386

(250) Pour s'assurer si la tre sex 2( ARRETE ne peut “étre un quarré ‘que lorsque æ—0:, il faudra essayer pour x toutes les valeurs en‘nombresientiers-Comprises entre les deux racines de léquation 62 ( ds bei à Le: nombre: des ‘essais est donc en

général? ÿpM, M étant le nombre pa aqa6rés. dont on veut dé-

terminer la nature. La formule la plus avantageuse, ou celle qui exige le moins d'essais, est donc celle où, toutes choses d'alleurs égales, p sera le plus peut et c le plus grand.

Par exemple, si on considère la formule 44 46-416, ou plutôt 24°*+24€-+82€?, afin de l’assimiler à la formule générale py?+2q72"+-r5, le nombre des essais pour s'assurer si le nombre N—a+a6+416* est un nombre premier, sera - #6 ou à peu près av.

La formule ba°+-58€°, qui répond au nombre c= 190, est encore plus

BR = SR Sn ee "7", OUR Em EN BE RS laine A ARRET D Re O2 Se —

avantageuse au moins en prenant 4 impair; car, si l'on fait V—5a°-1386,

le nombre des essais. sera EX où uv N< AN. Si l'on suppose

de plus dans.cette seconde frame » que le nombre 6 soit impair, ainsi que æ ; la quantité €: TA 1QO ne pourra être de la forme 8247,

ni par ou devenir un quarré, à moins qu'on ne suppose x de la forme 44 ou 4k—«, et ainsi les Dites 4k=2, ir étant exclues,

lenombre des essais! se réduit à EA4 NN.

(251) Enfin on peut observer que plus « sera petit, plus la limite de x sera petite. D’après toutes ces considérations, voici la manière qui paraît la plus simple de trouver un nombre premier plus grand qu’une DE donnée Z.

Ayant faittæ—1, prenez pour 6 un nombre impair > VE 7 ©t mon-

divisible par 5, vous aurez le nombre impair N=5+ 38€? plus grand que la limite Rte L; ce nombre n’a pomt de diviseur commun avec 190; donc pour savoir si !V est un nombre premier ; il restera à examinér sl y a une valeur de x autre que zéro qui puisse rendre la quantité 6? r10ox— 190x° égale à un quarré. Les valeurs de x à essayer seront tous les nombres de forme 44 ou 4k+-3, tant positifs que négatifs,

moindres que : si aucun de ces nombres ne rend la quantité dont

V/190 il s’agit égale à un quarré, on en conclura que le nombre b+-386* est un nombre premier.

Soit proposé, par exemple ; de trouver par cette méthode un nombre —

premier plus grand que 1000000; on prendra 6 impair et > Soit 6— 163, il faudra voir si on peut satisfaire à à l'équation A

26569 +- ton jones Ep"

Les valeurs de x à essayer seront seulement — 1, 3, Æ4, —D,7, Æ8;, — 9,11; et Comme, aucune d'elles ne rend le ; premier membre gal à un Quarré, il s'ensuit que le nombre, 5 ne 386 — LO0DQAT. est un tombre premier,

(252) Dans des exemples plus compliqués, on. parviendrait facile

‘ment à diminuer encore le nombre des tentatives , en observant quels sont les restes des quarrés divisés par 5, par 7, ou, par quelqu'autre

nombre premier , et excluant les valeurs de x qui ne peuvent donner ces restes: Ainsi, en prénant 65h, on trouverait:que x ne peut avoir aucune -des quatre formes en 94, #46, 9h47, ce qui réduit le nombre des essais aux 5 du nombre total. Si fon avait 6—22h#r, les formes exclues seraient x 1141, 6, 8, 9, 10, et le nombre des essais serait réduit aux <=. Donc par la combinaison de deux semblables Suppositions, c’est-à-dire en prenant € Fe #21, le nombre des valeurs de x à essayer se réduirait à 5.-5 où 12 dunombre total, quiest environ == L, et deviendrait ceblémnent ve V L. . Soit; par: exemple, C—681; pour, savoir si le nombre 5 + 386? “HN 62 02% est un nombre premier ; il faut voir si on peut satisfaire à l'équation 465761 + 10x — 1902? — —7*; et d'après ce que nous venons de trouver, les valeurs de x à essayer se réduisent aux suivantes :

42; 27) 353. 86445 475 hsrTB51 0), 727726, 37; 40 44e Or:la valeur 85 donne y = 485, donc le nombre dont il est question n’est pas un nombre premier.

Soit encore: 6— 747, on aura la edité 558009 +-107— 1902"; ÿ des kiquelle il faudra subsütuer:. pour chacun des nombres suivans : 1 J: 27 39, 36 > 44 Apres —9;— 17,58, —37;—40,—44,—52,—53.

Ft comme on tr ouve qu aucun de ces nombres ne rend la quantité dont il s’agit égale à un quarré ,ils “ensuit qué le nombre 5458621 204 547 est un nombre premier. | de

(258) ‘On peut; d’après ces principes, expliquer d'une manière satisfishatés, pourquoi certaines formules renferment une suite de nombres premiers assez étendue. (Voyez Introd. n° XX):

Par exemple, ‘on trouve dans la Table (n° 249) que la formule a +a+41 doit être égale à un nombre premier, toutes les fois que la quantité 14 (44 + 2)x- —163x° ne pourra devenir un quarré qu’en faisant x — 0. Or on voit au premier coup-d’ œil, que cette quantité ne pourra être un quarré, ni même un nombre positif, tantque 442 sera L168, ou æ<40. Donc si 6n fait successivement 20, 2, 3... jusqu'à 59, toutes les valeurs qui en résulteront pour &2+41, doive être des nombres premiers:

On trouve: également; dans la Table du n° 2/9, que la formule ‘ep b8: désigrie an nombre. premiér ou son double, toutes les fois que s'en 58% ne pour! étre’ un ‘quarré Foxcente en faisant T0):

ER TEE REA . ss SRE RRTER RELSES DER re DS MES JAP NE CII moque el t. © DS

: SECONDE PARTIE. 285 Oral est manifeste que cette quantité ne peut étre un quarré tant que & sera au-dessous de 29: On voit donc a priori que les 29 premiers nombres contenus dans la formule #2 + 58 doivent être premiers ou doubles de premiers. &

Il en est de même des 19 premiers nombres contenus dans la formule 53258, parce que la quantité 1 + 104x—190x° ne peut devenir un quarré tant que & est au-dessous de 19.

Remarque. Le problème de déterminer un nombre premier plus grand qu'un nombre donné, n’est pas résolu complètement dans ce paragraphe. On a indiqué seulement diverses formules, dans lesquelles prenant au hasard un nombre plus grand que la limite Rita il ÿ a déjà une probabilité assez grande que ce nombre sera premier. Mais pour s’en assurer entièrement, il faut faire des essais qui sont d'autant plus longs , que le nombre dont il s’agit doit être plus considérable ; et si cette grandeur passe certaines limites, il pourra être plus a bbet de suivre les mé: thodes indiquées dans le paragraphe s suivant.

$ X V. Usage des Théorèmes précédens pour reconnaître si un nornbre donné est premier ou s’il ne l’est pas.

(254) É: Tables de nombres premiers qu'on a construites jusqu'à présent n'étant pas fort étendues, il serait à desirer, pour la perfection de la théorie des nombres, qu'on trouyât une méthode praticable au moyen de laquelle on püt décider assez promptement si un nombre donné qui excède les limites des Tables est premier ou s’il ne Fest pas. ÆEn attendant que cette méthode soit trouvée, nous allons faire voir quels secours on peut tirer des théorèmes exposés jusqu’ à présent, pour la s0= lution de ce problème particulier,

On a déjà vu que si le nombre proposé 4 est de la forme #7, ou.s’il est seulement diviseur de cette formule , tout nombre premier qui divise À doit être de la forme 72x41 ou 27x--1 lorsque » est im pair ; car s’il n’était pas de cette forme, il diviserait le nombre plus petit

ÿ SA : à F a 1, y étant un diviseur impair de 7. Ayant donc examiné tous les

nombres a x, qui remplissent cette condition, si aucun de leurs facteurs premiers ne divise Z , on sera assuré que les diviseurs de À ne peuvent étre que de la forme mentionnée 7x+4-1 ou 27x+4+ 1; et si x est impair, 1l. faudra non-seulement que les diviseurs de 4 soient de la forme 27x-1, mais qu'ils soient aussi de l'une des formes linéaires qui conviennent aux diviseurs de #—au*. Ces formes étant connues par nos Tables (au moins lorsque a ne passe pas leurs limites), on pourra, par la combinaison de ces deux conditions, réduire beaucoup: la multitude des nombres premiers moindres que ÿ/4 par lesquels il fant essayer de diviser 4. Nous ayons déjà donné des exemples de cette methode dans le $S V; nous ajouterons encore les deux suivans.

(255) Considérons 1°.le nombre 2®%—1=(2—1),1082401, et proposons-nous de trouver tous les diviseurs du facteur 1082401 = 4; comme ce nombre n’est pas divisible par 25— 1 —31, il ne peut avoir pour diviseur que des nombres de la forme 5ox--1. De plus, le nombre

SECONDE PARTIE, 587 A étant diviseur de la formule 2*°—2 qui est de la forme {— ou, il faudra que les diviseurs de 4 soient de da forme 82--1, ou de la forme 8n—7. Mais la forme 5ox-+-1 renferme les. quatre

excluant donc la seconde et la troisième qui ne s'accordent pas avec les formes 8n<+1 et 8n+-7, il ne restera pour les diviseurs de Z que les

deux formes 200% 1, 200% 101.

Les nombres moindres que ÿ/4 compris dans ces formes sont : 151, 201, 351, 401, 551, Gor, 75x, 801, 951, 1001;

d'où excluant ceux qui ne sont pas premiers, il reste les quatre seuls nombres 151, 401, Go1, 751, par lesquels il faut.essayer de diviser Æ,

La division ne réussit ni par 151, ni par 401, mais elle réussit par Gor , et on a pour quotient 1801 ; donc le nombre 4 n’est pas un nombre premier. Et quant au quotient 180%, il est nécessairement premier, car s’il ne l'était pas, il admettrait la division par un nombfe moindre que vi 1801, ce qui n’est pas possible, puisque le momdre nombre premier qui divise.Æest 601: Donc on a simplement:4=—6o1.1801.

Considérons 2°, le nombre 27— 1=(2%—1).262657,. et soit proposé.

de trouver les diviseurs du nombre 4—262657 ; il est facile de s’assurer que ce nombre n’est divisible par aucun de ceux qui divisent 2°—+ ou 2®— 1; donc ses diviseurs: , sil en a, sont de la forme 54% + 1. D'ailleurs Z étant lui-même diviseur de 2%— 2, les diviseurs de Z sont aussi de la forme #— 24", et par conséquent de l'une des formes 87: et 8n+7. Si on combine donc ces deux formes avec la forme 54x+ 1, on aura les deux formes 216x-+1, 216x-+55, lesquellesné comprennent, au-dessous de ÿ4=—512', que les cinq nombres 55,:217, 271, 433, 487. Retranchant de ceux-ci les nombres composés, il ne reste à essayer que des trois nombres prénmiers 271, 433, 487 ; et comme aucun de ces trois

nombres ne’ divise 262657 ,-oen conclura avec CIRE que: AU

‘<st-unmombre prentier:

(256) En général , étant proposé un nombre quelconque Z, on tà- -chera deraimener ce nombre ou-un de ses multiples, à la forme +4, aétantam nombre le moins grand possible’, et qui ne passe pas les Liaites des Fables. Pour cela, il fantextraire la râcine quarrée tant de

A que de quelques-uns de ses multiples 24, 54, 44, etc., et on fera ensorte que le reste, positif ou négatif, soit de la forme aw*;ru* étant le plus grand quarré par lequel'ce reste est divisible.

Dès qu’on aura mis 4, ou en général, À A4 sous la forme £a, on sera sûr que les diviseurs de À sont compris parmi les formes linéaires des diviseurs de la formule un; et comme ces formes linéaires excluent la moitié des nombres premiers, autant on aura trouvé de‘formes différentes “4 Æ au* pour À ou ÆA, autant de fois on aura réduit à moitié le nombre de diviseurs à essayer pour le nombre 4. Si donc il y a nombres premiers compris depuis r jusqu'à ÿ/ 4, et.que z soit le nombre des formes #Æau? dont il s’agit, on n'aura plus à essayer que ()'." nombres premiers, pour s'assurer si 4 est premier, ou s'il ne l’est pas.

Si À étaitun diviseur de la formule a": ; ou a" P", a.et b étant premiers entre eux, on aurait de plus les conditions dont nous avons déjà parlé, qu'on combinerait avec celles qui résultent de Ja forme lÆau,. :

(257) Enfin,on peut encore indiquer un moyen qui le plus souvent aura du succès. Il. consiste à convertir en fraction continue y/4 ou ÿ/24, (V4 34, etc. Car si en général VI est un quotient-complet provenant du développement de 4, et que soit la fraction convergente qui répond à ce quotient, on aura (n° 50) HD=—p°—Kk49, ou kAg°—p°Æ D. Donc les diviseurs de 4 sont diviseurs de pÆD, ou en général de #Dw, savoir de #—+Du* lorsque le quotientcomplet est de rang pair, et de £— Du? lorsqu'il est de rang impair.

-Dans cette opération, le nombre D n'excède jamais 24/44, et le -plus souvent il est beaucoup plus petit; ainsi on pourra connaitre, par ce moyen, des formules assez simples #ÆDu* dont les facteurs de 4 doivent être diviseurs. Et s'il arrivait qu'on trouvât deux formules Du, —Du contenant la même valeur de D, il s’ensuivrait que À qui divise l’unetet l’autre, divise {*+-1°,.et par conséquent, que’ses propres diviseurs doivent être aussi de la forme y?+4-3°; et dela-forme linéaire 4x1, ce qui abrégerait les calculs.

(258) Appliquons ces principes au nombre 3386674. On trouvera -dabord, par l'extraction de la racine, 4=—577° + 82.3°; donc 4°est de la forme © +4-8au*, et ses diviseurs doivent étre du nombre de ceux

qui conviennent à cette formule. Pour trouver d’autres formes, j'essaie de décomposer dés multiples de 4, je trouve, par ÉRémibe RE 34 = 1001001 — (1001 }— 10(10 )*, quantité de la forme # — 1ow° donc les diviseurs de À doivent être de l’une des formes qui vont aux diviseurs de & — rou°. Ces deux formes réduiraïent déjà ‘au quart seulement les nombres premiers qui sont à essayer pour diviseurs de 4, et qui doivent être moindres que ÿ/4 ou 577. Maïs comme l'opération serait encore longue , nous chercherons de nouvelles formes'par le déve= loppement de y en fraction continue. Ce développement donne les quotiens-complets qui suivent :

V4 + o V4 + 577 A+ 16 VAL 956 y4+387.

VA+ 471 VA+ Bu WA VA+ 519 V4 + 42 392 ? 606 2? 407 1472 158 2 947 2

VAHSS VAS VAHA4S : VA + Ba