En A: Fa agger ne, -CLC
De là on voitque des diviseurs de Z doivent di-iser les formules PH 758u ou + 8ou°, E— 41qu, LH 6430, etc.
Les plus simples sont # + 8ou°, & — Gou?, et dau", car c’est à cette dernière que se réduit la formule .£ -E 2884* donnée immédiatement par le °rne D = 266. * Si à ces formes onajoute celle qui a été déjà trouvée # — 1ow*, on sera en état de diminuer beaucoup le nombre des essais qui restent à faire. Et d’abord les diviseurs de 4 +- 24° étant de la forme 87 + 1 Où 82 + 3; et ceux de £*— 1ou* étant 40x + 1, 3, 9,15, 27, 31, 37, 39 ; si on rejette parmi Ceux-ci les formes qui ne sont.pas 82 + r ow 8n +3, il ne restera que les formes 40x71, 5,9, 27. Maintenant si on développe tous les nombres premiers compris dans ces formes jusqu’à 577 qui est ÿ/4, on trouvera
3473 401, 409, 445, 449, 467, 481, 521, 523, 547, 565, 569; d’où éliminant ceux qui ne peuvent être diviseurs de: —6ou*, ce qu’on reconnaitra facilement (Table IT) par les, formes 276x+4 qui con-
LS
viennent à ces diviseurs , 1l restera
F5 09; 80, 107, 163, bars »81, 401, 409, 467, Bsi : 547, 563, 560. :
Enfiñ rejetant de même parmi ces derniers ceux qui ne peuvent être diviseurs de la formule #* + 8x”, ou qui ne sont pas de la forme 328x+-4
qui convient à ces diviseurs (Table VI) ; il ne rester à essayer que les Sept nombres premiers :
Or aucun de ces nombres ne divise 353667, ainsi on est assuré que 333667 est un nombre premier.
On aurait diminué de beaucoup le nombré des tentatives, si on eùt .
observé que 3.4 étant 1001001 = 10° + 105 1 — — , les diviseurs de 4 doivent diviser 10° — r , et par conséquent doivent avoir la forme 18x += 1: Mais nous avons voulu faire voir-:comment on doitprocéder
lorsqu'on n’a aucune donnée sur la nature du nombre qu’on examine.
(259) Proposons-nous encore le nombre 10 091 401 = 4 : il faudrait, suivant le principe général , essayer la division par tous les nombres premiers moindres que ÿ/ 4, c’est-à-dire moindres que 3:76: Mais pour diminuer le nombre de ces téhtat tes. nous Chercherons tout d’un coup, par le développement de y 4 en faction continue , les diverses formules #—Æ Du’ dont 4 doit être diviseur. Soit. OR RORR RE générale du quotient-complet, on trouvera que les valeurs de D fournies par: cette opération sont successivement:
Dr, 4425 = 197.5, 1928 82.2? 17090, 2180, 5053 = Sp. Das
2872— 718.2, 3511-25r70;:3709, 0461815585! 437, 3648 — 57.8, 2619, 20 183, 2019, : 720 — É UE 2068, 152, 38.2°, 2061 — 220.5, 565, 480 —50,4°, 1119: 5415, 2712=—678.2°, 2525— 101. 5, D 0 421.3°, 184—46. 2", etc.
De à on déduit déjà plusieurs formules assez simples ; desquelles 4 doit être diviseur. Ces formules sont :
PH Brut, PH Gu, —bqu, Lu, PHBBU, 500, © — 6w.
SECONDE PARTIE. . Sor Mais il est à observer que.la formule £* — 3ou° n'apprend rien de plus que les deux précédentes # -L Gu* , H5u®; car si un. nombre premier est diviseur de & + Gu et de & + bu* ; il sera diviseur de £— 3ou’ ; de même la formule 4° + 38u° est censée comprise dans les deux précédentes & + 6n?, P — By. Il ne reste par conséquent des sept formules précédentes , que cinq qui soient distinctes les unés des autres, et qui pouvant chacune réduire le nombre des essais. à moitié, pourront par leur combinaison réduire ce nombre à sa trente-deuxième partie. Par ce moyen, le nombre des essais, ou celui des nombres premiers moindres que y 4, qui aurait été environ 454, se réduit à 14, et l'opération devient praticable. On aurait pu encore prolonger davantage le calcul des valeurs de D, et il en serait résulté les nouvelles formules 1— 55%, {°— g7u, + Su, dont À doit être diviseur. Avec tous ces secours, voici comment on trouvera toutes les formes linéaires qui conviennent aux es de 4.
. Les diviseurs de e + Su? sont en oi de la forme 6x + 1,
celle contient les quatre formes 24x+ 1,7, 13, 19. 2°. De ces quatré formes , il n’y en a que deux'qui peuvent diviser nee ce sont 240 += 1, 247 #7,
. Ces dernières, considérées par rapport aux multiples de 5, conie les huit Re 120% L; 7, 31; 40, 75, 70, 07, 103, parmi lesquelles écartant celles qui ne peuvent diviser 4 + 5w*, il restera les quatre formes ART
120% ETS 2, 105.
Les nombres premiers contenus dans ces formes diviseront donc à-la+ fois les trois formules # Æ3u°, + Gut, + but,
4. Si les quatre formes précédentes sont développées par rapport aux multiples de 11; c’est-à-dire, si au lieu dé.x, on met successivement IID, 11X-1, 112 4-2, elc., et qu'on rejette les multiples de 14 ; il en résulte les quarante formes suivantes :
1520xw 1, 7, 49, 103, 127, 169, 228, 241, 247, 280, 343, 361, 567, 409, 465, 481, 487, 520, 601, Go7, 703, 721, 727; 769, 825, 841, 889, 945, 961, 067, 1009, 1065, 10814 1087, 1129, 1183, 1201, 1207, 1240, 1803.
Parmi ces formes , il ne faut conserver que celles qui peuvent diviser
#—5bu*; pour éet effet, on prendra dans la Table III les formes 220x-+a qui divisent &— 55u* ; et la comparaison faite, on trouvera qu’il ne reste
que les vingt formes :
Maintenant si l’on prend les nombres moindres que 3176 compris dans cette formule, et qu'on en exclue. les nombres composés., ils se réduiront aux suivans :
105: 228,807; 487, 727% 825, 1087, 1321, 1423, 1489; 1543, es 1785, 2143, 2161, 2287, 2689, 3001, 3169.
Excluant encore de ceux-ciles nombr es qui ne PEUT diviser € + A il restera les onze suivans :
Enfin si on exclut de même ceux qui ne peuvent diviser, € Es 58u* >-On w'aura plus que les‘six nombr es
727.5.1087;, FEU 1489; 1788, 2281 ; et la condition qu'ils soient diviseurs de 4 — 46u*, … réduira de nou-
veau. aux “trois. nombres - 9727311425, abc
Ï est inutile d'aller plus loin dans la réduction de ces nombres, et on auraitmême pu se dispenser d'aller aussi loin ; or on trouve qu'aucun de ces nombres ne divise 10 091 401, on pourra donc conclure avec certitude que:10 091-401: est un nombre premier.
Euler est parvenu au même résultat, en s'assurant'que 10 59 4o1 ne peut se décomposer que d’une seule manière en deux quarrés , ce qui est un caractère essentiel. des nombres premiers: 4n + 1. ( Voyez le Tom: IX des Voyi: Comm: Petrop. Voyez aussi les Mémoires de Berlin , > année 1771.)
