THÉORIE DES NOMBRES GONSIDÉRÉS COMME + DÉCOMPOSABLES EN TROIS QUARRÉS

$ L Définiion de la forme trinaire ; Nombres. et diviseurs quadratiques auxquels celle orme peut ou né peut pas conpenir:

(260) L:. nombres suscéptibles d'être décomposés en trois quarrés , forment diverses classes très-étendues qui jouissent d’un grand nombre de belles propriétés, et sous ce point ‘de vue, ils méritent de fixer l’attentiôn des analystes. Nous appellerons | pour abréger, forme trinairé d’un nombre, toute manière d'exprimer ce nombre par la somme de trois quarrés ; ainsi 59 pouvant se représenter par 25 + 25 + 9, et par 49+ 9 + 1, chacune dé ces expressions sera une forme ou valeur. trmaire de 59.

Une forme trinaire est composée en général de trois quarrés, mais elle peut ne l'être que de deux où même que d’un seul, parce que dans ces cas, Zéro sera regardé comme quarré complétif. Ainsi 26 a deux formes également trinaïres 25 + 1 et 16-09 7.

(261) Lorsqu'un nombre est divisible par un quarré, les formes trinaires particulières à ce nombre sont celles dont les trois termes ne sont pas divisibles par un même quarré : celles dont les trois termes auraient un même diviseur, sont en quelque sorte étrangères à ce nombre, et. doivent être regardées comme des formes trinaires impropres. Ainsi 189 a trois formes trinaires propres, savoir

132 + 4 at 10° — 8° + 52 ER Ce 2

et-une forme trinaire impropre, savoir 12% 6° -H 3°; car les trois

termes de celle-ci étant divisibles par 3*, cette valeur n’est autre chose qu’une forme trinaire,de 21 , savoir 4° + 2° 1°, dont on a multiplié tous les termes par 3°.

Les formes trinaires impropres d'un nombre a*c se déduisent des formes'trinaires propres du nombre c, en multipliant les termes de cellesci par «; et-s’il y a plusieurs quarrés différens qui divisent un nombre proposé, il y aura également plusieurs manières de trouver des formes trinaires impropres. C’est pourquoi, dans tout ce qui suit, nous ne considérerons jamais qué les formes trinaires propres des ouest nous les appellerons simplement formes trinaires , et nous ferons abstraction des formes trinaires impropres.

(262) Une forme trinaire propre peut être composée de deux quarrés seùlement, pourvu qu'ils n'aient pas de commun diviseur, car en y ajoutant le quarré complétif o*, les trois termes ne sont pas divisibles par un même nombre. Ainsi 25 + 16.est une forme trinaire de 41, aussi bien que 36+ 4 + 1.

Mais un quarré tout seul, excepté 1, ne aps être une forme trinaire, puisque 77° 0° + 0* a ses trois termes divisibles par

(263) « Aucun nombre 82 7 ne peut être de forme trinaire. » Car tout quarré pair étant de la forme 4m, et tout quarré impair de la forme 8m 1, la somme de trois quarrés , si elle est impaire, ne peut être que de l’une des formes 4m + 4m + 8m + 1 44 + 1 8m + 1 + 8m 1 + 8m hr 8443, lesquelles ne renferment pas 87 +7.

. « Pareïllement aucun nombre de la forme 4», ne peut avoir une forme

». trinaire propre, ».

Car comme les trois quarrés ne peuvent étre pairs, puisqu’ on exclut le cas où ils auraient un diviseur commun , la somme qui en résulte ne

peut être que de la forme { 4n + 8n +1 +8 +i=4k+a2, laquelle n’est point divisible par 4.

(264). Ayant ainsi exclu les formes 8x + 7 et 47, il reste les trois

formes générales 4n+1, 4n+2 et 8743, dans lesquelles doivent être compris tous les nombrés susceptibles de la forme trinaire. Or Ia

TROISIÈME PARTIE. 305 théorie que nous allons exposer, prouve que tout nombre compris dans ces formes est effectivement décomposable d’une ou de plusieurs, manières , en trois quarrés , non divisibles par un même facteur.

(265) Pareïllement , si le nombre c appartient à l’une des formes 4n+ 1, 4n+2,8n+13, la formule # cu aura toujours au moins

un. diviseur quadratique (ou le double d’un tel diviseur dans le cas de

c— 8n 1-5), tel qu'on pourra le décomposer indéfiniment en trois quarrés, sans attribuer aucune valeur particulière aux indéterminées y etz qu'il renferme. C’est ainsi que le divisenr quadratique.......... 97° + 87: 92° appartenant à la formule # + 65u*, se décompose en ces trois quarrés (27 — 3) + (2y + 25) + (y + 23).

Cette décomposition fournissant un caractère particulier de çe genre de diviseurs ; nous appellerons diviseurs quadratiques trinaires | ou simplement diviseurs trinaires ceux qui en sont susceptibles. Mais ils doivent en outre satisfaire à une condition que nous indiquerons ci-après, sans quoi la forme trinaire serait impropre et du nombre de celles dontnous faisons abstraction.

(266) Observons qu’il est eertaines classes de diviseurs quadratiques qui ne peuyent jamais être de forme trinaire.

1°. Lorsque c est de la forme 471, les diviseurs quadratiques de & -- cu? sont de deux sortes; les uns renferment les diviseurs 4775, les autres renferment les diviseurs 473. Ceux-ci renferment à-la-fois les nombres 874 3 et 8n-+- 7; et comme aucun nombre 87-H7 me peut être de forme trimaire, il s'ensuit qu ’aucun diviseur duencatique 4n+ 3 ne peut non plus être de forme trinaire.

2°. Lorsque c est de la forme 87 + 7, il n’y a absolument aucun diviseur quadratique de la formule # + cu* qui soit de forme trinaire. La raison en.est que chaque diviseur quadratique contient à-la-fois les nombres 4n—-s et 4-5; il contient donc aussi les nombres 82 + 7, dont aucun n’est de forme trinaire.

3°. Lorsque c est de la forme 82+-3 , il ne peut par la même raison y avoir aucun diviseur quadratique impair qui soit de la forme trinaire ; cependant il peut arriver, et il arrivera réellement dans tous les cas, que l’un au moins des diviseurs quadratiques impairs aura son double de forme trinaire. Par exemple , }° 3 + 53° représente tout diviseur impair de la formule # + 104; ce diviseur quadratique n’est point de forme trinaire , mais son double-2y° -- 2y2 102 est de cette forme, puisqu'il se résout en ces trois quarrés y* (3z)° + (7 Hz}.

üre

S IT. Correspondance entre les formes trinaires dû nombre c et les diviseurs trinaires de la formule t? + cu?.

(267) « S: un diviseur quadratique de la formule + cu* est décompo. » sable en trois quarrés tels que Gny=ns) + (niynz) + (my +n 'z) : Je » dis que de cette forme trinaire du diviseur résulte une forme trinaire » correspondante du nombre c, laquelle est c—(mr'—m'n)"+(nér"—m'n") » + (mn — mn'}.

Car .en représentant le diviseur quadratique dontil s’agit par la formule ordinaire py* + 2973 rs, On aura

p=n + m me; g = mn mr mn, r=r + n° + n°.

Or ces valeurs étant susbstituées dans l'équation c = pr — g*, on en

e= (mr — mr} + (nr — mr) + (mn — mn).

Donc il y a toujours une forme trinaire, déterminée de c qui Fépons à une forme trinaire déternunée du diviseur quadratique............