PY

(268). Remarque I. Lorsque c est de la forme 84 as 3, au lieu du diviseur quadratique : à coefliciens impairs, lequel ne Daut jamais être de forme trimaire, on considérera son double 2py° + 2qyz+ 2r3*, où l'on a 4pr— q° = c. Si donc ce double est décomposable en trois quarrés, il y aura toujours une valeur correspondante de c exprimée aussi par la somme de trois quarrés déterminés ; c’est-à-dire, en d’autres termes, que chaque forme trinaire d’un diviseur quadratique 47 + 2 en fournit une correspondante du nombre c. Et celle-ci est toujours composée de trois quarrés impairs , car il n'y a aucune autre supposition qui puisse donner une somme 84 +5.

Remarque II. La décomposition d'un diviseur quadratique ou de son.

Re Re an. mins eg ne. Sbair E

double en trois quarrés, ne saurait avoir lieu lorsque c=—8k-+7; car si cette. décomposition était possible , il résulterait du: théorème précédent que c est la somme de trois quarrés, ce qui est impossible à l'égard de tout nombre 84 + 7:

Remarque IIT. Les trois quarrés trouvés en général pour la valeur de c, se réduisent à deux ou même à un seul, te Fe cas qu'il faut examiner.

LA mi 1°. Sil'on a (mn —m'n")—0, ou = — "7, il faudra que le quarré

(ny + n'z)° ait un rapport constant avec le quarré (my + n'z), et alors le diviseur quadratique proposé A aura la forme

A = (ny ns) + «(my ns) + (my Hans); d’où l’on déduit la valeur trinaire correspondante ce (nn — mn) + 6 (mr—mr),

laquelle n’est composée que de deux quarrés. De plus , ces deux quarrés sont affectés d’un commun diviseur , et la forme trinaire dé c sera impropre, à moins qu'on n'ait me —mn—# 1. Mais alors si l’on fait my +nz=7 et myt+nz—=57, on ne nuit bia à la généralité des valeurs de y et z (n° 45), et le diviseur A devient y? +-(a? + 62)3%, ou y° + cz*. Donc lorsque c n’a point de facteur quarré , et lorsqu'on n'a point c = «? + 6?, le cas que nous venons de considérer ne saurait avoir lieu , etil Etes que tout diviseur tinaire de la formule # + cu donne une valeur trinaire de c composée de trois quarrés dont aucun ne sera Zéro.

2°. Si les trois quarrés qui composent la valeur de c déduite du diviseur À, se réduisent à un seul, c’est-à-dire si l’on a 77 — mn" —0o et m°n — mn" — 0, il en résulte »#°— 0 et 7” — 0. Donc alors le diviseur quadratique dont il s’agit serait simplement (my + 72) + (m'y + nz), et la valeur de c correspondante c — (mr — mn)", laquelle ne sera du nombre des formes irinaires propres que dans le seul cas de c = 1.

(269) On ne regardera désormais Comme forme trinaire d'un diviseur quadratique que celle d’où lon déduit une forme trinaire Jp du nombre c; de sorte que si les trois nombres mr°— mn, mn —m'r, n'n—imn, étaient divisibles par un même facteur, l'expression

A = (my + n3) + (my + n'a)" + (ny + n'3)

serait une forme trinaire impropre, laquelle doit être exclue Comme ne 0 38

participant point aux propriétés que nous avons à démontrer sur les diviseurs trinaires. Gette condition imposée aux diviseurs trinaires, est celle que nous avons annoncée n° 265.

Ainsi quoique le diviseur 57° + 273 38z° de la formule & + Re soit susceptible de ces quatre formes trinaires

(+ 5) + (7 — 53) + 48, (27 + 23) + (y — 33) + 252, (6 pm) a cependant comme les deux dernières répondent à la forme trinaire impropre c = 12° + 6° Gi 3°, on ne regardera comme formes trinaires de À que les deux premières qui nue à des formes trinaires propres dec, savoir c—15 +4 +, C = 10 + 8° + 5?.

De même, le diviseur 137°--8yz+-133" de la formule # + 1534? ne pouvant se décomposer en trois quarrés que de cette manière

| EY+ 23) + 07° 97," laquelle répond à une valeur trinaire impropre de e, savoir c—= 9° ++ 6? + 6,

ce diviseur ne doit point être compté parmi les diviseurs trinaires de la formule + 153u°.

(270) Puisque par lemoyen d’un diviseur trinaire de la formule # cu,

on peut trouver une valeur trinaire correspondante de c; réciproquement, étant donnée une valeur trinaire de ©, il est possible de trouver un diviseur trinaire qui corresponde à cette valeur. Nous allons nous occuper de cette question qui exige-une discussion assez étendue. . Soit la forme trinaire donnée c = F°-+ G? + H*; les trois nombres F, G, H, n'ayant pas de commun diviseur, peuvent cependant en avoir, pris deux à deux. Appelons Ade commun diviseur de G et Æ, m celui dHeF,» celui de Æ et G; alors on pourra donner à c la forme suivante :

= fn + g°y?* ee lue;

TROISIÈME PARTIE. : -299 et on devra supposer de plus qu'il n'y a point de commun diviseur entre fu et gA, non plus qu'entre gr et hu, ni entre 2x et.fr.

Soit A-le diviseur trinaire correspondant à,cette.valeur de c; et un

posons qu’on ait

A = (my ns) + (my + n'z) + (m'y ne), il faudra que la valeur donnée de c soit identique avec celle qu ’on déduit de ce diviseur, laquelle est

c= (mn — mn) + (nr ma) + (ni mr).

Comme les coefliciens »m, n, m', etc. sont encore indétérminés, la comparaison des deux valeurs peut se faire dans lordre qu’on voudra; d’ailleurs les signes de f, g, h, peuvent être changés arbitrairement,

ainsi On pourra faire mé — mn —= hp

MR — MR —= fu MR — M = gr.

y . ne . . : 0 De ces trois équations on déduit les deux suivantes, qui sont linéaires,

Je». = gvA me + hAu.n = 0 Juv.n + gi. + hu.nr =0,

ou, ce qui revient au même, m m m.

FRERE = 0 DATL 4 n Relier

Mais suivant l'observation qu'on a déjà faite, il n’y a point de com-

mun diviseur entre f et À, non plus qu'entre g et, ni entre k et ». 4 mm n mn Ua

appelant. ces entiers a, a’, a’, b, db, db”, respectivement, on aura les

trois équations ab! — ab —'h

fa+ gi +ha = 0 (a) fo+gl +R —=0, et le diviseur A deviendra

A = N (ay be) pu (ay + ds) y (ay Hz) ;

d'où l’on voit que les trois quarrés composant A sont divisibles res-

pectivement parles quarrés 2°, u°, »’, qui divisent deux à deux les termes de la valeur trinaire donnée = fur + gi + Rap.

(271) Mainténant, sans entrer dans aucun détail sur la résolution des équations (a), on voit que si l’on fait ay +bz=x, dy += x", d'y +’: —=x", on aura

A= Na? HE px Lyx, (a) et les trois indéterminées x, x, x”, devront satisfaire à l'équation O—=fx + ga + ha. (x)

Âu moyen de cette dernière équation, on pourra toujours réduire les trois indéterminées x, x’, x”, à deux seulement y et 3, et alors le diviseur x u°x"°+3°x", prendra la forme ordinaire py°+2qyz-rs?, où l’on aura pr—q"—c. Ce diviseur sera celui auquel répond la valeur trinaire donnée de c. |

Par exemple, si l’on cherche le diviseur trimaire de + 10454, qui répond à la valeur trinaire 1045 — 30° + 0°. 8°, on comparera terme * à terme cette valeur avec la formule fu" + g»X Æ MX, ce qui donnera d’abord les‘diviseurs communs A1, —2, »—3, ensuite f=5, g—3, h—=4 On aura donc A= xt /4x "tt 0x", ‘et 5x+ 3x + 4x" 0; cette dernière équation est satisfaite en prenant x'=x—1/,3 et x°—3:—2x, alors le diviseur A devient x°+(2x—83} : (03 —6x) = 41x°— 1403x 1453; puis faisant x—y+23,ona son expression la plus simple A—41ÿ*=+ 24ÿ2 + 295 —(y + 23) + (27 — 43) + (6y +3z), et la, valeur correspondante de c est... c = 8? + 9° + 30°.: £

(272) La forme des équations (a), (4°), fait voir qu'on peut permuter entre elles deux des quantités f, g, h, pourvu qu’on fasse une semblable permutation dans deux des quantités À, pe, »; et le diviseur quadratique A restera toujours le même. 1l ne pourra donc y avoir qu'un seul diviseur quadratique de la formule #-+ ex? qui réponde à la valeur irinaire donnée de c. Mais comme cette propriété-est fort remarquable, il ne sera pas inutile de s’en assurer-par une autre considération.

De quelque manière qu'on satisfasse à l'équation o = fx+gx"+hx", en réduisant les trois variables x, x’, x”, à deux autres y et 3, il faut