TROISIÈME PARTIE. Box

que le diviseur transformé A —py° + 2qy2- rs contienne les mêmes nombres qui-sont contenus dans le diviseur non transformé... .2. AN x°#utx%yx"#, en ayant égard à la condition fx+gx+hx"—0. Soient donc # et k’ les deux plus petits nomhyres contenus dans le diviseur Àx? px? px", il faudra que ces deux mêmes nombres se retrouvent dans le diviseur transformé py°—-2qyz + rz°; or si Ce diviseur est réduit à la forme la plus simple, comme on peut le supposer, p et r seront les deux plus petits nombres contenus (n° 56); donc il faut que p et r soient égaux à k et #”, de sorte que le diviseur réduit sera 4y° + 2g72+Kz°. D'ailleurs il faut toujours qu’on ait #K#—q°— ; donc 4 est déterminé; donc il ne peut y avoir qu'un diviseur quadratique qui résulte dela transformation de Xx°+yu°x"?+yx", en ayant égard à la condition fx + gr'+ hx" = 0.

Remarquons en même temps que si l'on fait x’ =—0, Jeqpauon fe + gx — 0 donnera x'=f, x—=—g et A = \g+nuf", De même la supposition de x'—0 donnera AN + »:f*, et celle de x—0 donnera A—y°h?+ 1°; ces trois nombres deyront donc être contenus dans le diviseur transformé A = py° + 2973 r2°.

(275) Une même valeur trinaire du nombre ce ne peut répondre qu’a un seul diviseur quadratique , ainsi qu’on vient de le démontrer ;:mais il est possible qu’elle réponde à deux formes trinaires de ce Fri Par exemple, le diviseur 5y°+ 4y3-+5z°, qui appartient à la formule {+210 , peut se mettre sous les deux formes irinaires

(27 Hz) ++ 42 : (y +2) +z +47", et ces deux formes répondent à à une même valeur trinaire de €, savoir, c—16—+4-—+ 1. Il est donc nécessaire de chercher a priori quels sont les cas où différentes formes trinaires d’un diviseur quadratique donneront la même valeur irinaire de c.

Puisque deux quelconques des trois nombres f, g, sont premiers entre eux, On pourra toujours en trouver deux autres 2 et 8 qui satisfassent à l’équation

F=gl+ 18;

substituant cette valeur dans l'équation o —fx+-2x"+ hx" on aura

ga + x) + Rx + 0x) =0;

ré

d’où l’on voit qu'en faisant x Re on aura 2x qu Alors le diviseur À devient

Axe pu Gus La y (gu—Ux), et il se réduit à la forme ordinaire 44? 2Bux + Cx°, en prenant à, AZ ph y'g* -

PB=— ph 105 € — À’ ue + y°0. -

(274) Soit maintenant py°+ 2gy2+-r3° l'éxpression la plus simple de ce même diviseur, et soit l’une des formes trinaires qui correspondent à la valeur ne de c:

= À (ay + ds) pu (ay + V2) +? (ar + b'z) ; on deyra avoir D = Aa? + pa? + »°@'2 qg = Nab+ pal + ya" r — 2h: + p°b® + vb", ét pour que la forme trinaire supposée corresponde à la valeur donnée de c, il faudra de plus satisfaire aux équations ad —ab=Rh - fa+gad+ha=0o fo + gb + hb"—= 0.

Soit comme ci-dessus f—g + 8, les deux dernières équations se résoudront , en introduisant deux indéterminées &«, 6, de cette manière :

d'——{a+ha, b'=— (+R d'=—0a—ga, L'=—0b—326, et l'équation ab —«'b—h deviendra Et.

Maintenant si on substitue les valeurs de #/, a”, etc. dans les expressions des coefliciens p, g, r, on aura

p= Au? — 2Baa + Ce g = Au6— B(a6 Æ ab) + Cab r = A6: — 2Bb6 + Ch.

TROISIÈME PARTIE. 303 Mais comme-on a déjà exprimé la condition pr— g* =, on peutfaire abstraction de la seconde équation et ne considérer que les deux autres

p= Aa — 2Baa + Ce r = 46° — 2Bb6 + CP.

Ces valeurs coïncident avec celles qu'on obtiendrait en réduisant à la forme la plus simple le diviseur A= Au +2Bux+ Cx°; Car en faisant

Uu—= — ay — 63

x ay #+bs,

ce diviseur se réduira à la forme py° + 29) + 73°, et les valeurs supposées de u et x sont telles qu’elles doivent être pour la transformation, puisqu'on a a6—a4b=1.

(275) Il est clair maintenant que s’il y a différentes valeurs de 4, b, a’, L', eic., à raison des différentes formes trinaires de A qui répondent à une même valeur trimaire de c, il faudra que l’une au moins des deux équations | p= Au — 2Baa+ Ca r = AC —2B6b+ CP, +

oué susceptible de deux solutions. Mais comme la quantité... Ay°® — 2By'# + Cz° est en général équivalente à py°— 2qy2+rs", il faudra donc : aussi que l’une au moins des deux SU 0

P=p}" —2qY2 hr

D pY—2qY2+ 12° soit susceptible de deux solutions. Or le second membre étant réduit à l'expression la plus simple, p et r» Sont les moindres nombres que la forte PY°—2qÿ2+Hrz contient, et il n'y a que très-peu de cas où l’un de ces nombres soit contenu de deux manières dans cette formule. Ces cas sont ceux des AVIUS ddrauques bifides, et.il n’y ena que . savoir, 1°. lorsqu'on a p—7r; 2». lorsqu'on a 29=p ou =r;

: : loue on-a — 0.

(276) Au reste, on peut voir immédiatement dans ces différens cas qu'il y a ou qu'il peut y avoir deux formes trinaires du diviseur À correspondantes à une même valeur trinaire de c.

En effet, 1°.:s1 l’on a pr; les deux indéterminées y et z pourront être échangées entre elles, et le diviseur A aura à-la-fois les deux formes trinaires

A = (my ns) + (ny ns } + (m'y + n'z ) A=(ny + ms) + (ny + néz) (n'y + m'e).

Ces deux formes seront différentes l’une de l’autre, à moins qu’on n'ait

A = (my + ns) (ny ms) + (my Enz) ; car alors la permutation faite entre y et z ne change rien aux trois quarrés composant A. Dans cette hypothèse, la valeur de € serait

c=(m— nr) E(mnzmm) + (mmeEnin) ;

et comme ces trois termes sont divisibles par (2=2m)", il-faut faire sera à ce qui donnera

Cc— (nm): me me.

Soit en même temps 7 ÆEz—7", et la valeur de A deviendra Gny+e) + Go a) ny 26 pag + y Qr cette forme ne peut s’accorder avec la forme supposée py°—2gya-bpr’, qu'en supposant p—2—;(c1), ou c=—5; cas dont on peut faire abstraction, puisqu’alors le diviseur 2y*+2y3+ 23 n’est susceptible qe de la seule forme trinaire y*+ (y Hz) +3:

. Si l’on a r—2q ou A=py°+2qyz + 2q%, la simple substitution as —% à la place de y, donne

Apr (p—qhr's +, ce qui rentre dans le cas précédent; on obtiendra donc alors deux formes trinaires différentes , excepté lorsqu'on a p— ou 292: Lorsque p—2, comme 2g ne peut être plus grand que 2, on a aussi nécessairement 27 —2, èt on retombe sur le cas de c—5. Lorsque 279 — 2, le diviseur Apr" —+ 273 ee ne peut se parlager en trois quarrés que de cette manière

A=(a+i. 72) + (ay—5) + bye laquelle ne change pas en mettant —y—3x à la place de z: Ainsi il n'y a alors qu'une forme trinaire de A qui réponde à la valeur trinaire donnée de c. 2

3°. Enfin lorsqu'on a 9—0, ou A—py°—+r, il est clair qu'on peut changer à volonté le signe de l’une des indéterminées; de sorte qu’on aura a-la-fois les deux formes :

A = (ny + n3) + (my + n'3) Æ (m'y + n°2) A = (my — 12) + (my — 3) + (niy — ns), lesquelles répondront à une même valeur trinaire de c.

Les deux formes de A seront différentes entre GLÈE, à moins quon n'ait

A = (my +nz) + (my —nz) (ns).

Alors la valeur correspondante de c serait c—=(2mn) + (mn) + (mm), et pour qu'elle n'ait pas de facteur commun à tous ses termes, il faudra faire m—1, ce qui donnera A—2y°+ 77. Donc le seul cas de

p —=2 ou r— 2 excepté, il y aura toujours deux formes trinaires du diviseur À qui correspondront à une même valeur trinaire donnée de c.

(277) Il résulte de cette analyse, qu’étant donnée la forme trinaire c— fur +e»N+Pxu, syTlon veut trouver le diviseur trinaire correspondant de la formule # ce ci, .

1°. Ce diviseur sera donné par la formule Axa ya, où les indéterminées x, x’, x", doivent être réduites à deux, d’après l'équation fx + gx’ + hx" —0.

2°. De quelque manière qu’on fasse cette réduction, en substituant deux variables quelconques y etz, au lieu des trois x, x’, x", le résultat, ramené à l’expression la plus simple, offrira toujours le même de quadratique py°+2qyz +72. ;

3e. Si ce diviseur réduit est du nombre des diviseurs. bifides , C'està-dire, s’il tombe dans l’un des trois cas p=r, 29—p ou r,.qg—=0, et si en même temps le plus petit des deux nombres p etr, n’est ni 1 ni 2, le diviseur quadratique A aura toujours deux formes trinaires correspondantes à la valeur donnée dec, et il n’en pourra avoir plus de deux.

4. Si le diviseur quadratique A n’est pas bifide, ou si, étant bifide ; son plus petit coefficient est 1 ou 2, il n’y aura jamais qu'une, forme irinaire du diviseur À qui répondra à une valeur trinaire donnée de c.

EEE

$ III. Théorèmes concernant les diiseurs quadratiques trinaires.

(278) Taéorème I. « S; c est premier ou double d’un premier, deux » formes trinaires différentes de € ne pourront répondre à un même » diviseur trinaire de la formule “cu. »

Gar soit l’une des formes données c—#Æ°-L(K°-+17>*)6?, et l’autre c—F?+(K:-LL7:)6:, K et L étant premiers entre eux, ainsi que K' et L'; si le même diviseur quadratique A répondait à-la-fois aux deux formes trinaires données de €, il faudrait que les deux nombres K°+L° et K°+L* appartinssent à ce diviseur (n° 272). Ainsi faisant KL =r, K°4+L°= 7, on devrait avoir (n° 231)

TR =ÿy" + cz.

Multipliant cette équation par 8°”, et substituant les valeurs æ9—c—#, RO8—c— F2, on aura

(e—F)(e—F?) = (7° +cr) 882,

ou bien c— 0 (F° + 1%) + FF": =? 00e + cz°0°6" ;

d'où l'on voit que F*F"®— y2@#2 doit être divisible par c.

Soit 1°. c un nombre premier, il faudra que l’un des facteurs. .. EF'— y64, FF'+yW, soit divisible par c; et comme le signe de y est à volonté, on pourra faire FF'— y cu où 78 — FF'— cu.

Soit 2°. c double d’un premier, il faudra toujours que Fun de ces facteurs soit divisible par £c; mais leur différence 2746’ étant un nombre pair, si leur produit est divisible par un nombre 2c, il faudra qu'ils soient tous deux pairs. Donc Æ7"—y66" sera encore divisible par c, et on pourra faire de même »09— FF'— cu.

Substituant cette valeur dans l'équation précédente , et divisant tout par €, on aura c— F°—#f2— 306" cu — ou FF", ou

c— PF = (F" — Fu) + (c— Fu +266.

La quantité c— F* étant positive, cette équation ne peut subsister à

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