CHAPITRE IL

THÉORIE DES TRANSVERSALES

1. Sens géométrique de V expression f[oL, (3). Prenons des coordonnées rectangulaires, et soit

f(x,jr)=o

réquation cartésienne d'une courbe géométrique du degré p.

Par un point arbitraire P, dont les coordonnées sont a et (3, menons une transversale PQ, dont la direction ascendante fera avec le sens positif de Taxe des x un angle égal à 9.

Cette sécante rencontre la courbe en des points Mi, Ma,. . . , M^. Désignons par z,, z,,. . ., z^ les segments PM, , PM,,. . ., V^py ces quantités seront les racines de l'équation

/(a-hijcoscp, p + zsincp) = o,

algébrique, entière, et du degré p par Rapport à la variable z. En ordonnant par puissances décroissantes, on trouve

/(a-hzcoscp, j3-i--3sincp) = K2/'-t-A,3/''-h. . .-+■/(«, P) = o.

K dépend de l'angle 9 et des divers coefficients du polynôme f(Xy j), mais ni de a ni de (3.

On a donc

^z-z,)[z-z,).,.{z-zp) = î^^y

K désignant une quantité constante pour toutes les positions possibles du point P sur la droite PQ.

De là ce théorème :

Théorème LXX. — Le produit des distances des points d'intersection d'une sécante avec la courbe géométrique

f[Xyf) = Oy à un point quelconque (ocy ^) de la sécante^ est proportionnel à l* expression /(a, (3).