Théorème de Carnot

Soit un triangle ABC, situé dans le plan d'une courbe géométrique du dçgré p, définie par Téquation cartésienne

Les côtés BC, AC et AB coupent respectivement celte courbe aux points

bi9 6,,..., bp.

Cl f Ciy > » • f Cp,

Si nous appelons (a, a'), ((3, P'), (y, y'), les coordonnées des sommets A, B, C, nous aurons» en vertu du théorème précédent,

Afe.X A6,X. . .X \bp /(g, a') Cft.XC6.X...XC6^""y(y,/)'

CaiXCa,X...XCap f{yyY) Ba,xBa,X...xBap""/(P,^')'

B/?.xpg»X...XBr^ /((3,p^) ^ Ac.X Ac,X...XACp f{oc,a')'

En multipliant ces inégalités membre à membre, on trouve

Afe, xA^aX-.-X A6^ Ac.X Ac?,X. . .X Acp Bc. xBc3X...XB6>

Ba, xBa,X...XBa;,

CgiXCaaX...XCq p ^C6.XC6,X...XC6;""'-

De là ce théorème dû à Carnot (*) :

(*) Géométrie de position, p. 291 et 436.

THÉORIE DIS TRANSYBmSÀLSS. 99

Théorème LXXI. — Quand une courbe géométrique du degré p rencontre les côtés d'un triangle en des points a, , aty . . ,,ap sur BC ; 6t , &t, . . . , frp sur AC ; Ci , Ci, . . . , c^ sur AB, on a la relation

Afe.xA6,X...X Aft^

Ac.x Ac,X...X Ac^

Bc.xBcaX...xBc^

Ba,xBa,x...xBa;,

CatXCa,X...xCfl^ ^C6.xCfc,X...XC6p""''

Ce théorème peut être étendu à un polygone quelconque.