Théorème de Newton

Soit toujours

réquation d'une courbe algébrique du degré p. On a

/{^,j) = A.^/'-hB.jPH-...-i-K.

Si Ton transporte l'origine des coordonnées au point P (a, |3), et si l'on prend des axes PX', PYY', parallèles aux axes primitifs, l'équation de la courbe deviendra

Cela posé, soient M,, M,,..., M^, les points où la courbe coupe le nouvel axe des x, et par N» , N,, . . ., N^, ceux où elle coupe le nouvel axe des y\ les segments PM,, PM,,. . ., PM^ sont les racines de l'équation

/(^'-Ha,P) = o, et les segments PN,, PN,, . . ., PN^ les racines de l'équation

/(a,/-hP) = o.

PM.X PM,X. . .X PM;,= il^y

PN.XPN, X. . .X PN^=^ î^^^l^ .

lOO LIVRE IV. CHAPITRE II.

D'où Ton déduit

PM.X PM,X ... X PM^ Bo PN.xPN,X. .XPN^^Ao"

Le second membre reste constant, quel que soit le point P où Ton transporte l'origine. De là ce théorème, attribué à Newton (*) :

Théorème LXXII. — Si par un point P on mène, dans le plan d'une courbe géométrique , deux transversales parallèles à deux axes fixes, les produits des segments, réels ou imaginaires, formés sur ces deux droites entre le point P et la courbe, ont un rapport constant, quel que soit P.